4.5. Симметричное тяжелое тело в кардановом подвесе

На рис. 4.8 изображен симметричный твердый ротор в двух-рамочном подвесе. Все три оси вращений пересекаются в одной точке О. Эта точка совпадает с центром масс ротора, а также с центром масс внутренней рамки. Когда все три оси вращения взаимно перпендикулярны, эти оси являются главными осями инерции ротора и внутренней рамки. Ось внешней рамки совпадает с вертикалью на Земле (которая, как предполагается, представляет инерциальное пространство). На оси симметрии ротора на расстоянии от О прикреплена материальная точка с массой . Такая система имеет много общих свойств с симметричным тяжелым волчком (см. рис. 4.4). Отличия состоят только в наличии

рамок с инерциальными свойствами и момента сил реакции связей, перпендикулярного оси внешней рамки, который передается системе посредством подшипников на этой оси.

Рис. 4.8. Симметричный ротор в кардановом подвесе с вертикальной осью внешней рамки и используемой в качестве баланса материальной точкой m.

В последующем исследовании в качестве обобщенных координат используются углы Брайнта Они представляют собой соответственно угол поворота внешней рамки относительно инерциального пространства, внутренней рамки относительно внешней рамки и ротора относительно внутренней рамки. Угол равен нулю, когда плоскость внутренней рамки горизонтальна. Это определение углов Брайнта то же самое, как и в разд. 2.1.2. Указанные углы связаны с углами Эйлера которые были использованы в предыдущем разделе для симметричного тяжелого волчка, уравнениями

Эти уравнения будут использованы для установления подобия и отличия между двумя различными системами. В качестве полюса при вычислении момента количеств движения и моментов сил возьмем точку О. Пусть отсутствует трение в подшипниках; тогда результирующий момент сил, приложенных к ротору, не имеет составляющей вдоль оси ротора. Поэтому проекция абсолютной угловой скорости ротора на это направление постоянна. Результирующий момент сил, приложенных ко всей системе, который слагается из момента сил реакций, приложенных к оси внешней рамки, и момента силы тяжести точечной массы, не имеет вертикальной составляющей. Следовательно, проекция на это направление абсолютного момента количеств движения всей системы постоянна. Дополнительно к этим двум интегралам движения существует третий интеграл, выражающий постоянство полной энергии Е системы. Они являются теми же самыми интегралами, на которых был основан анализ симметричного тяжелого волчка.

Отметим, что интеграл площадей существует только тогда, когда ось внешней рамки вертикальна!

В выражениях для проекции кинетического момента и энергии содержатся члены, обусловленные наличием двух рамок. Для получения этих величин разложим абсолютную угловую скорость каждого из трех тел по главным осям соответствующей системы координат. Для внешней рамки этими осями координат служит базис, обозначенный на рис. 4.8 через , а для двух других тел можно использовать базис, обозначенный через . Два базиса связаны соотношением

Матрицами координат абсолютных угловых скоростей являются

Как было установлено ранее, для ротора третья проекция постоянна. Используя уравнения (4.51), это соотношение можно представить в форме тождественной интегралу (4.31).

Интеграл момента количеств движения можно получить следующим образом. Пусть — момент инерции внешней рамки относительно ее вертикальной оси. Главные моменты инерции в базисе обозначим через для внутренней рамки и через для ротора вместе с точечной массой. Тогда абсолютный момент количеств движения отдельных тел будет иметь матрицы координат

Проекция на вертикаль момента количеств движения системы равна первому элементу матрицы столбца . В результате простой перегруппировки членов получаем выражение

или, принимая во внимание уравнения (4.51),

Полная кинетическая энергия системы выражается через при добавлении потенциальной энергии точечной массы интеграл энергии принимает вид

или с учетом соотношений (4.51)

Уравнения (4.52) и (4.53) соответствуют уравнениям (4.36) и (4.37) для симметричного тяжелого волчка. Они тождественно совпадают с этими уравнениями, если моменты инерции всех рамок положить равными нулю. Для получения общего решения задачи используем тот же самый подход, что и для симметричного тяжелого волчка.

Разрешим уравнение (4.52) относительно :

Подстановка в интеграл (4.53) приводит к дифференциальному уравнению для 0

Оно соответствует уравнению (4.41). Как и раньше, заменим новой переменной . В результате получим дифференциальное уравнение для и

Когда моменты инерции всех рамок равны нулю, это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением для и, которое было получено для симметричного тяжелого волчка. Учет инерции рамок сказывается в том, что правая часть выражения вместо кубического полинома есть рациональная алгебраическая дробь от и. Поэтому решение имеет совершенно иной характер. Его нельзя выразить через известные специальные функции. Интересно отметить, что уравнение неразрешимо даже в частном случае, когда отсутствует точечная масса и, следовательно, момент силы тяжести равен нулю. Более подробное исследование динамических эффектов подвешенных систем приведено в книгах Магнуса [6], Арнольда и Маундера [9] и Саидова [10].