Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 4.5. Симметричное тяжелое тело в кардановом подвесеНа рис. 4.8 изображен симметричный твердый ротор в двух-рамочном подвесе. Все три оси вращений пересекаются в одной точке О. Эта точка совпадает с центром масс ротора, а также с центром масс внутренней рамки. Когда все три оси вращения взаимно перпендикулярны, эти оси являются главными осями инерции ротора и внутренней рамки. Ось внешней рамки совпадает с вертикалью на Земле (которая, как предполагается, представляет инерциальное пространство). На оси симметрии ротора на расстоянии рамок с инерциальными свойствами и момента сил реакции связей, перпендикулярного оси внешней рамки, который передается системе посредством подшипников на этой оси.
Рис. 4.8. Симметричный ротор в кардановом подвесе с вертикальной осью внешней рамки и используемой в качестве баланса материальной точкой m. В последующем исследовании в качестве обобщенных координат используются углы Брайнта
Эти уравнения будут использованы для установления подобия и отличия между двумя различными системами. В качестве полюса при вычислении момента количеств движения и моментов сил возьмем точку О. Пусть отсутствует трение в подшипниках; тогда результирующий момент сил, приложенных к ротору, не имеет составляющей вдоль оси ротора. Поэтому проекция Отметим, что интеграл площадей существует только тогда, когда ось внешней рамки вертикальна! В выражениях для проекции
Матрицами координат абсолютных угловых скоростей являются
Как было установлено ранее, для ротора третья проекция Интеграл момента количеств движения можно получить следующим образом. Пусть
Проекция
или, принимая во внимание уравнения (4.51),
Полная кинетическая энергия системы выражается через
или с учетом соотношений (4.51)
Уравнения (4.52) и (4.53) соответствуют уравнениям (4.36) и (4.37) для симметричного тяжелого волчка. Они тождественно совпадают с этими уравнениями, если моменты инерции всех рамок положить равными нулю. Для получения общего решения задачи используем тот же самый подход, что и для симметричного тяжелого волчка. Разрешим уравнение (4.52) относительно
Подстановка в интеграл (4.53) приводит к дифференциальному уравнению для 0
Оно соответствует уравнению (4.41). Как и раньше, заменим
Когда моменты инерции всех рамок равны нулю, это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением для и, которое было получено для симметричного тяжелого волчка. Учет инерции рамок сказывается в том, что правая часть выражения вместо кубического полинома есть рациональная алгебраическая дробь от и. Поэтому решение имеет совершенно иной характер. Его нельзя выразить через известные специальные функции. Интересно отметить, что уравнение неразрешимо даже в частном случае, когда отсутствует точечная масса и, следовательно, момент силы тяжести равен нулю. Более подробное исследование динамических эффектов подвешенных систем приведено в книгах Магнуса [6], Арнольда и Маундера [9] и Саидова [10].
|
1 |
Оглавление
|