4.2. Симметричное твердое тело в отсутствие момента сил

Решения, полученные в предыдущем разделе, становятся особенно простыми, если рассматриваемое тело имеет два равных главных момента инерции, как это часто имеет место в технических приложениях. Предоставляем читателю возможность приспособить общие решения для этого частного случая. Здесь предпочтительно снова исходить из уравнений движения и непосредственно из них получить специальные решения. Предположим, что главная ось является осью симметрии тела, так что . Главный момент инерции может быть больше или меньше, чем (тривиальный случай рассматривать не будем). При этих предположениях уравнения Эйлера приводятся к виду

Они сразу дают

и, подставляя это значение в первые два уравнения, получаем

где

Дифференциальные уравнения имеют первый интеграл со . Общее решение для начальных значений имеет вид

Рассмотрим теперь кинематические уравнения. Снова используем углы Эйлера, при этом — угол между осью симметрии и неподвижным в инерциальном пространстве вектором кинетического момента По-прежнему имеют место уравнения (4.15) и (4.16), так что

Таким образом, оказываются постоянными. Для лучшего понимания этих результатов снова рассмотрим интерпретацию движения Пуансо. Эллипсоидом энергии на рис. 4.2 теперь служит эллипсоид вращения с осью симметрии Поэтому полодии (а также герполодии) представляют собой окружности. Ось движется до круговому конусу, осью которого служит вектор кинетического момента Угловая скорость в этом движении по конусу, называемая угловой скоростью прецессии, равна Вектор угловой скорости тела всегда лежит в плоскости, проходящей через ось симметрии и кинетический момент . В теле вектор движется по круговому конусу, определяемому полодией. В инерциальном пространстве вектор также движется по круговому конусу. Осью этого конуса служит кинетический момент . В соответствии с разд. 2.2 (рис. 2.7) движение тела можно наблюдать как качение без скольжения конуса, связанного с телом, по конусу, неподвижному в инерциальном пространстве. На рис. 4.3,а,б показаны конус, ометаемый вектором и два конуса, ометаемые вектором Изображены лишь их проекции на плоскость, проходящую через . Эллипсы представляют собой контуры эллипсоида энергии. Необходимы оба рисунка, так как тела в форме стержней, для которых имеют движение, отличное от движения тел в форме дисков, для которых Для первых тел величина положительна, а для последних отрицательна (ср. уравнение (4.20)). Отметим, что наблюдатель движения может видеть конус, описываемый осью симметрии и не видеть двух других конусов (Магнус [8] описывает экспериментальное устройство,

которое позволяет наблюдать движение по конусу, связанному с телом). Предоставляем читателю проверить, что углы X и связаны уравнением

В технических приложениях движения симметричных тел обычно мало отличаются от перманентных вращений около оси симметрии. Для таких движений практически совпадает с очень мал. Тогда угловая скорость прецессии приближенно равна

Рис. 4.3. Неизменно связанный с телом конус А, ометаемый вектором , катится по неподвижному в пространстве конусу , ометаемому вектором ; ось симметрии ометает неподвижный в пространстве конус С. Эллипсоид энергии пересекается с конусом А по полодии и катится по неподвижной плоскости. а — тело в форме стержня; — тело в форме диска.