3.1. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия есть скалярная величина. Для материальной точки массы она определяется как , где — абсолютная скорость массы т. е. ее скорость относительно инерциального базиса отсчета. Везде в этой главе точка над вектором обозначает дифференцирование по времени в инерциальном базисе. Для твердого тела как для любого протяженного тела кинетическая энергия определяется как интеграл

Рис. 3.1. Радиус-векторы материальной частицы твердого тела. Центр масс С и неизменно связанная с телом точка Р.

Пусть Р — произвольная фиксированная точка тела (рис. 3.1). Абсолютная скорость материальной частицы в силу соотношения (2.25) равна, , где — абсолютная скорость полюса Р, — абсолютная угловая скорость тела и радиус-вектор материальной частицы относительно точки Р. На рис. 3.1 точка С с радиус-вектором указывает центр

масс тела. Вычисление интеграла дает

Это выражение принимает особенно простой вид, если фиксированная в теле точка Р является неподвижной и в инерциальном пространстве или если в качестве полюса выбран центр масс С. В первом случае так что первые два члены равны нулю. В последнем случае так что средний член исчезает. Тогда первый член представляет собой кинетическую энергию поступательного движения , а третий член — кинетическую энергию вращательного движения . Для подынтегрального выражения в третьем члене имеет место тождество

Запишем это выражение в тензорном виде (см. соотношение (1.27)):

Тогда получаем

где — тензор:

Он называется тензором инерции тела относительно точки Р. В связанном с телом базисе в котором имеет матрицу координат тензор имеет матрицу координат

или в явном виде

Интегралы стоящие на диагонали, называются моментами инерции, а интегралы произведениями инерции относительно точки Р в базисе . Сама симметрическая матрица называется матрицей инерции тела относительно Р в Это — геометрическая величина, определяемая распределением массы тела. С учетом (3.2) вьцэажение (3.1) для кинетической энергии принимает вид