4.1.4. Решение кинематических дифференциальных уравнений

Последняя часть задачи состоит в том, чтобы указать движение тела в инерциальном пространстве. Для этой цели в качестве обобщенных координат воспользуемся углами Эйлера. В соответствии с рис. 2.1 промежуточный угол измеряется между двумя осями, одна из которых неподвижна в базисе (связанном с инерциальным пространством), а другая неподвижна в теле. Удобно выбрать в качестве оси, неподвижной в инерциальном пространстве, направление вектора кинетического момента потому что только оно является важной осью. В теле ось охватывается полодиями, для которых . В случае полодии

охватывают ось . Поэтому выберем эту ось. Рассмотрим сначала случай представленный на рис. 4.2. На этом рисунке 0 есть угол , а измеряется в неизменяемой плоскости между отрезком прямой и некоторой прямой, проходящей через точку А и неизменно связанной с инерциальной системой координат.

Нет необходимости решать кинематические дифференциальные уравнения вида (2.29). Задача может быть значительно упрощена, если воспользоваться тем обстоятельством, что момент количеств движения имеет постоянную величину и направление в инерциальном пространстве. В системе главных осей вектор имеет координаты . Эти координаты можно также выразить как функции углов Эйлера и производных по времени от углов Эйлера. Согласно рис. имеет направление вектора Поэтому его координаты в системе главных осей находятся в третьем столбце матрицы направляющих косинусов, определяемой соотношением (2.2). Искомые выражения имеют вид

Отсюда без интегрирования находим

Только угол не определяется непосредственно. Его производная по времени в соответствии с уравнением (2.28) имеет вид

С учетом уравнений (4.12) — (4.14) выражения для принимают вид

Отсюда дифференцированием находим

Выражая через через последнюю формулу можно представить в виде

С учетом этого выражения уравнение (4.16) для принимает вид

Результаты показывают, что являются периодическими функциями времени. Знак совпадает со знаком а величина всегда положительна (вращение около по часовой стрелке). Если нужно определить функцию , то уравнение (4.18) лучше переписать в форме

с новыми постоянными . Это выражение представляет собой нормальную форму эллиптического интеграла третьего рода (см. Тёльке [7]).

Решение для можно использовать для ответа на вопрос — является ли ориентация оси в инерциальном пространстве в перманентном вращении около этой оси устойчивой или нет. В силу симметрии полодий на эллипсоиде энергии необходимо рассмотреть только случай . Эллиптическая функция имеет нижнюю границу , где — модуль, определяемый уравнением (4.11). Это дает для неравенство

Для движений, близких к перманентному вращению около оси немного больше, чем . Полагая где получаем неравенство

Оно указывает, что, выбирая соответствующие начальные условия, угол можно сделать меньшим любого данного произвольно малого угла. Следовательно, ориентация в инерциальном пространстве оси перманентного вращения устойчива.

Выкладки, аналогичные приведенным выше, дают решения в случае . Как было установлено ранее, теперь угол измеряется между и Отправляясь от уравнений нетрудно получить результаты в форме

Единственное отличие по сравнению со случаем состоит в том, что теперь и о имеют противоположные знаки. В остальном результаты качественно являются теми же самыми. В частности, находим, что ориентация в инерциальном пространстве оси перманентного вращения устойчива.

Исследование частного случая оставляем читателю (см. задачу 4.2). За исключением этого случая, результаты, изложенные в этом и предыдущем разделах, дают полное решение задачи о движении несимметричного твердого тела при отсутствии момента внешних сил.

Задача

(см. скан)