4.7.2. Решение динамических уравнений движения

В этом разделе будет получено в замкнутой форме решение дифференциальных уравнений (4.68) на основе метода, предложенного Вангерином [13] и развитого далее Виттенбургом [12]. Этот подход приводит к вещественным функциям времени . Другой метод, развитый Вольтерра [14] (см. также [12]), приводит к комплексным функциям времени.

Начнем с интегралов движения. Умножим соотношение (4.69) на неопределенный скаляр X, имеющий размерность момента инерции, и вычтем из него соотношение (4.70). Результат можно представить в виде

где

Функция имеет полюсы первого порядка для . Отсюда следует, что в каждом из интервалов она принимает по крайней мере одно из всех значений от до . Возьмем для X значение для которого

Если существует несколько значений, удовлетворяющих этим условиям, то возьмем любое из них.

Уравнение представляет собой уравнение четвертой степени. Если ввести новые переменные определяемые соотношениями

то уравнение (4.75) примет вид

вещественными коэффициентами

Это уравнение определяет двойной конус с эллиптическим поперечным сечением и осью (рис. 4.11). Этот конус является также геометрическим местом полодий, так как его уравнение есть линейная комбинация уравнений, определяющих эллипсоиды. Уравнение (4.79) можно заменить параметрическими уравнениями конуса

Рис. 4.11. Двойной конус, описываемый уравнением (4.79), и полодия.

В силу этих уравнений и соотношений (4.78), также гявляются функциями . Подставляя выражения для интеграл энергии (4.69), получаем для квадратное уравнение

с коэффициентами

Решение для имеет вид

Это уравнение вместе с уравнениями (4.81) и (4.78) выражает все три проекции угловой скорости в виде функций одной переменной . Для получения полного решения остается установить зависимость от времени. Это можно сделать следующим образом. Производная по времени от интеграла (4.69) имеет вид

Подставим сюда для следующие выражения, получаемые из соотношений (4.78) и (4.81):

Это дает

Подставим в выражение, являющееся множителем перед вместо соответствующие функции от которые находятся из уравнений (4.78) и (4.81):

На втором и третьем шаге этого преобразования были использованы соотношения (4.82), (4.83) и (4.85). Преобразуем теперь выражение, стоящее множителем перед в уравнении (4.86). Подставляя в это выражение из уравнений (4.78) и из соотношений (4.80), получаем

Пока были использованы только два интеграла движения. Теперь примем во внимание последнее из трех дифференциальных уравнений движения (4.68). Если это уравнение разрешить относительно то получим с обратным знаком выражение в квадратных скобках, фигурирующее в приведенном выше последнем уравнении. Поэтому

Подставляя это выражение вместе с выражением (4.87) в уравнение (4.86), после разделения переменных получаем для

уравнение

Из соотношений (4.82) — (4.84) видно, что подкоренное выражение имеет вид

где — постоянные коэффициенты. Следовательно, этот интеграл является эллиптическим интегралом первого рода. Для его приведения к нормальной форме необходимо сделать последовательность замен новых переменных, после чего нужно решать другое уравнение четвертого порядка (первое уравнение дает корень уравнения (4.77)). Дополнительные затруднения возникают в связи с необходимостью различать четыре комбинации знаков некоторых постоянных для того, чтобы избежать комплексных функций времени. За подробностями отсылаем читателя к работе Виттенбурга [12]. Здесь ограничимся утверждением, что проекции угловой скорости являются вещественными эллиптическими функциями времени.

В только что приведенном анализе некоторые из математических выражений аналогичны другим выражениям, которые играли роль в связи с перманентными вращениями. Примерами являются уравнения (4.78) и (4.71) и уравнения (4.84) и (4.72). Эта аналогия подсказывает способ исследования вопроса о том, может ли корень уравнения (4.77) совпасть с корнем X уравнения (4.72). Функция определенная уравнением (4.76), имеет производную по X:

Сравнение с уравнением (4.72) приводит к тождеству

Это соотношение между проиллюстрировано на рис. 4.12. Функция стационарна для тех значений X параметра X, которые являются корнями уравнения (4.72) и определяют проекции угловой скорости перманентных вращений. Кроме того, в силу уравнения (4.77), равно параметру который связан с X уравнением (4.73).

Рис. 4.12 соответствует системе параметров, для которых существует шесть осей перманентных вращений. Корни X занумерованы в порядке возрастания их величин. Относящиеся к ним

величины отмечаются соответствующими индексами. Для комбинаций параметров, для которых существуют только четыре оси перманентных вращений, функция имеет стационарные значения только в одном из интервалов Она не имеет стационарных значений ни в одном из этих интервалов, если существуют только две оси перманентных вращений.

Рис. 4.12. Связь между функциями

Рис. 4.13. Полодии на двойном конусе, соответствующие (а) неустойчивому и (б) устойчивому перманентным вращениям.

В заключение можно отметить следующее. Если гиростат находится в состоянии перманентного вращения и если, кроме того, соответствующий корень X уравнения (4.72) лежит в интервале то это значение X является также корнем уравнения (4.77) и его можно взять в качестве во всех последующих уравнениях. Ни при каких других условиях не является одновременна корнем уравнений (4.77) и (4.72).

Используя равенство можно получить критерий устойчивости перманентных вращений, когда и показаны на рис. 4.12), на основе исследования точных решений уравнений движения. Из соотношений (4.84) и (4.72) следует, что так что решениями для определяемыми уравнением (4.85), являются и

Благодаря соотношению (4.81) первое решение дает , следовательно, в силу (4.78),

Этими формулами описывается перманентное вращение, отвечающее значению А, (ср. уравнение (4.71)). Из равенств следует, что вершина конуса на рис. 4.11 лежиг на эллипсоиде энергии. Помимо этой особой точки, конус и эллипсоид энергии пересекаются по полодии, описываемой уравнением (4.89). Форма этой полодии определяет, будет или нет устойчивым перманентное вращение. Если вершина конуса служит двойной точкой полодии (рис. 4.13,а), то эта полодия является сепаратрисой и перманентное вращение неустойчиво. Если, наоборот, полодия представляет собой замкнутую кривую, изолированную от вершины конуса (рис. 4.13,б), то перманентное вращение устойчиво. Природа полодии определяется следующим образом. При уравнение (4.88) принимает вид

где

Это уравнение имеет решение

где — линейная функция времени и

Для решение является периодическим. Тогда полодия имеет вид, указанный на рис. 4.13,б, и перманентное вращение, отвечающее вершине конуса, устойчиво. Для и также для решение является апериодическим. Принимая во внимание выражения для можно непосредственно показать, что в обоих случаях функция стремится к нулю при . Поэтому, в силу соотношения (4.89), также стремится к нулю. Это означает, что движение по полодии асимптотически приближается к вершине конуса. Следовательно, полодия имеет вид, представленный на рис. 4.13,а, и перманентное вращение неустойчиво. Из соотношений (4.90)

для величины получаем выражение

Таким образом, знак производной по X от функции график которой представлен на верхнем из рис. 4.12, определяет характер устойчивости. Перманентное вращение, соответствующее меньшему корню X, устойчиво, а перманентное вращение, отвечающее корню X, неустойчиво. Неустойчивость имеет место также в случае двойного корня когда равно нулю.

Аналогично можно установить критерий устойчивости перманентных вращений для случая, когда корень X лежит в интервале . Было показано, что эти корни являются также корнями уравнения Детали предоставляем читателю. Для этого сначала необходимо получить соответствующие уравнения вида (4.79) — (4.88), которые отвечают корню уравнения лежащему в интервале . Это можно сделать в результате простой перестановки индексов. Исследуя новые уравнения, можно показать, что перманентные вращения для устойчивы, если положительна, и неустойчивы в противном случае. Таким образом, перманентное вращение, соответствующее значению X, указанному на рис. 4.12, устойчиво, а перманентное вращение, отвечающее значению неустойчиво.

Устойчивость перманентных вращений, отвечающих корням нельзя исследовать таким же способом. Однако имеется другой и даже более простой метод исследования. С этож целью сначала отметим, что значения соответствующие этим; перманентным вращениям и на рис. 4.12), представляют собой наименьшее и наибольшее соответственно из всех значений Это можно доказать следующим образом. Для каждого значения отвечающего одному из перманентных вращений, для которых полодия состоит из особой точки и, кроме того, замкнутой кривой (см. рис. 4.13).

Пока эллипсоид момента количеств движения пересекаетсяг с эллипсоидом энергии по замкнутой кривой, можно уменьшать или увеличивать эллипсоид кинетического момента, уменьшая (увеличивая) значения параметра и по-прежнему будем получать кривую пересечения эллипсоидов. Кривая пересечения вырождается в особую точку, если достигает некоторого минимального (максимального) значения. Эти экстремальные значения представляют собой значения которые соответствуют Для значений не принадлежащих интервалу не существует вещественных полодий. После этих предварительных замечаний устойчивость рассматриваемых перманентных

вращений может быть установлена следующим образом. Для уравнение (4.75) с учетом соотношений (4.71) принимает вид

В левой части представляют собой отклонения от проекций угловой скорости перманентного вращения, соответствующего . Функция

является отрицательно определенной для и положительно определенной для Кроме того, полная производная по времени от V равна нулю, поскольку V есть линейная комбинация двух интегралов движения. Функция V с такими свойствами может служить функцией Ляпунова, доказывающей устойчивость двух перманентных вращений.

Рис. 4.14. Вид полодий на эллипсоиде энергии (схематично). а — общий случай шести различных вещественных корней уравнения (4.72); б — сепаратриса, соответствующая двойному вещественному корню уравнения (4.72).

Анализ устойчивости дает представление о виде полодий на эллипсоиде энергии. На рис. 4.14,а схематически показан вид этих кривых. Сепаратрисы, соответствующие двум неустойчивым перманентным вращениям, имеют «вид восьмерок», показанных утолщенными линиями. Они разделяют эллипсоид на пять областей, а именно по два «глаза» для каждой кривой в виде восьмерки и область между двумя кривыми в виде восьмерок. Большой глаз одной фигуры в виде восьмерки покрывает всю обратную сторону, а также внешнюю часть передней стороны эллипсоида. Точки пересечения осей перманентных вращений с эллипсоидом энергии отмечены теми же самыми индексами, что и соответствующие величины на рис. 4.12.

Полодии, изображенные штриховыми линиями, относятся к перманентным вращениям с индексами 2 и 5. Полодия, охватывающая точку с индексом 1, соответствует решению уравнения (4.91) для , а решение для отвечает сепаратрисе, проходящей через точку с индексом 3. Если система параметров

выбрана так, что уравнение (4.72) имеет двойной корень то точки с индексами 2 и 3 на эллипсоиде энергии совпадают и также сливаются изображенная штриховой линией полодия, охватывающая точку с индексом 7, и сепаратриса, проходящая через точку с индексом 5. Вид такой специальной полодии схематично показан на рис. 4.14,б. Ей соответствует решение уравнения (4.91) для

Рис. 4.15. Полодии на эллипсоиде энергии в случае шести (а) и двух (б) осей перманентных вращений. Оба рисунка соответствуют параметрам Отличие состоит в направлении вектора и. Его координаты: для .

На рис. 4.15 показаны семейства полодий, полученные численно из точных решений уравнений движения. Параметры двух гиростатов, которым соответствуют рисунки, отличаются только направлением в несущем теле момента количеств движения в относительном движении. Моменты инерции величина вектора и постоянная интеграла энергии являются одними и теми же в обоих случаях. Гиростат слева имеет шесть, а гиростат справа — две оси перманентных вращений.