Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4.7.2. Решение динамических уравнений движенияВ этом разделе будет получено в замкнутой форме решение дифференциальных уравнений (4.68) на основе метода, предложенного Вангерином [13] и развитого далее Виттенбургом [12]. Этот подход приводит к вещественным функциям времени Начнем с интегралов движения. Умножим соотношение (4.69) на неопределенный скаляр X, имеющий размерность момента инерции, и вычтем из него соотношение (4.70). Результат можно представить в виде
где
Функция
Если существует несколько значений, удовлетворяющих этим условиям, то возьмем любое из них. Уравнение
то уравнение (4.75) примет вид
вещественными коэффициентами
Это уравнение определяет двойной конус с эллиптическим поперечным сечением и осью
Рис. 4.11. Двойной конус, описываемый уравнением (4.79), и полодия. В силу этих уравнений и соотношений (4.78),
с коэффициентами
Решение для
Это уравнение вместе с уравнениями (4.81) и (4.78) выражает все три проекции угловой скорости в виде функций одной переменной
Подставим сюда для
Это дает
Подставим в выражение, являющееся множителем перед
На втором и третьем шаге этого преобразования были использованы соотношения (4.82), (4.83) и (4.85). Преобразуем теперь выражение, стоящее множителем перед
Пока были использованы только два интеграла движения. Теперь примем во внимание последнее из трех дифференциальных уравнений движения (4.68). Если это уравнение разрешить относительно
Подставляя это выражение вместе с выражением (4.87) в уравнение (4.86), после разделения переменных получаем для уравнение
Из соотношений (4.82) — (4.84) видно, что подкоренное выражение имеет вид
где В только что приведенном анализе некоторые из математических выражений аналогичны другим выражениям, которые играли роль в связи с перманентными вращениями. Примерами являются уравнения (4.78) и (4.71) и уравнения (4.84) и (4.72). Эта аналогия подсказывает способ исследования вопроса о том, может ли корень
Сравнение с уравнением (4.72) приводит к тождеству
Это соотношение между Рис. 4.12 соответствует системе параметров, для которых существует шесть осей перманентных вращений. Корни X занумерованы в порядке возрастания их величин. Относящиеся к ним величины отмечаются соответствующими индексами. Для комбинаций параметров, для которых существуют только четыре оси перманентных вращений, функция
Рис. 4.12. Связь между функциями
Рис. 4.13. Полодии на двойном конусе, соответствующие (а) неустойчивому и (б) устойчивому перманентным вращениям. В заключение можно отметить следующее. Если гиростат находится в состоянии перманентного вращения и если, кроме того, соответствующий корень X уравнения (4.72) лежит в интервале Используя равенство
Благодаря соотношению (4.81) первое решение дает
где
Это уравнение имеет решение
где
Для для величины
Таким образом, знак производной по X от функции Аналогично можно установить критерий устойчивости перманентных вращений для случая, когда корень X лежит в интервале Устойчивость перманентных вращений, отвечающих корням Пока эллипсоид момента количеств движения пересекаетсяг с эллипсоидом энергии по замкнутой кривой, можно уменьшать или увеличивать эллипсоид кинетического момента, уменьшая (увеличивая) значения параметра вращений может быть установлена следующим образом. Для
В левой части
является отрицательно определенной для
Рис. 4.14. Вид полодий на эллипсоиде энергии (схематично). а — общий случай шести различных вещественных корней уравнения (4.72); б — сепаратриса, соответствующая двойному вещественному корню уравнения (4.72). Анализ устойчивости дает представление о виде полодий на эллипсоиде энергии. На рис. 4.14,а схематически показан вид этих кривых. Сепаратрисы, соответствующие двум неустойчивым перманентным вращениям, имеют «вид восьмерок», показанных утолщенными линиями. Они разделяют эллипсоид на пять областей, а именно по два «глаза» для каждой кривой в виде восьмерки и область между двумя кривыми в виде восьмерок. Большой глаз одной фигуры в виде восьмерки покрывает всю обратную сторону, а также внешнюю часть передней стороны эллипсоида. Точки пересечения осей перманентных вращений с эллипсоидом энергии отмечены теми же самыми индексами, что и соответствующие величины на рис. 4.12. Полодии, изображенные штриховыми линиями, относятся к перманентным вращениям с индексами 2 и 5. Полодия, охватывающая точку с индексом 1, соответствует решению уравнения (4.91) для выбрана так, что уравнение (4.72) имеет двойной корень
Рис. 4.15. Полодии на эллипсоиде энергии в случае шести (а) и двух (б) осей перманентных вращений. Оба рисунка соответствуют параметрам На рис. 4.15 показаны семейства полодий, полученные численно из точных решений уравнений движения. Параметры двух гиростатов, которым соответствуют рисунки, отличаются только направлением в несущем теле момента количеств движения
|
1 |
Оглавление
|