5.2.6.2. Кинематика движения тел относительно инерциального пространства

От кинематики движения смежных тел относительно друг друга мы переходим к кинематике движения тел относительно инерциального пространства. Связь между движениями двух тел дает определение как разности

Это же можно записать в виде

Объединим все уравнений в одно матричное уравнение:

с матрицами-столбцами и Умножив его слева на и принимая во внимание (5.5) и (5.6), получим

Тогда для абсолютной угловой скорости отдельного тела найдем выражение

на основании которого найдем абсолютное угловое ускорение

здесь

Угловую скорость входящую в это выражение, можно было бы выразить при помощи соотношения (5.87) через Однако такую подстановку нет необходимости выполнять в символьной форме. Составляемые уравнения движения можно использовать

только для численных расчетов. В программе для ЭВМ следует сначала проводить расчет величин , а затем вычислять произведения Все уравнений (5.88) можно объединить в одно матричное уравнение;

в котором представляют собой матрицы-столбцы соответственно. Остается выразить явным образом через обобщенные координаты и их производные по времени. Это достигается путем объединения уравнений (5.84) в одно матричное уравнение:

В правой части стоят матрица-столбец матрица-столбец

и квазидиагональная матрица транспонированная матрица которой имеет вид

Эта матрица имеет столбцов, каждый из которых соответствует одному шарниру, а количество строк ее равно числу угловых переменных в полной системе. Подставим теперь уравнение (5.90) в уравнение (5.89), в результате получим

В этом окончательном результате угловые ускорения представляют собой матрицу-столбец:

В правой части уравнения для угловое ускорение является известной функцией времени, матрица — известной функцией обобщенных координат, а — известной функцией обобщенных координат и их первых производных по времени. Угловая ориентация тела относительно системы координат

является функцией обобщенных координат системы. Эту функцию можно выразить следующим образом. Матрица преобразования определяется соотношением

Эти матрицы связаны с матрицами преобразования из соотношения (5.85) посредством альтернативных уравнений

Практическое использование этих формул при рекурсивном вычислении матриц по матрицам продемонстрируем на системе, ориентированный граф которой имеет вид, показанный на рис. 5.8,в. Матрицы вычисляются в таком порядке:

Математическое описание кинематики системы является теперь полным. Угловая ориентация, а также абсолютные угловые скорости и ускорения всех тел выражены как функции . Подставим уравнения (5.87) и (5.92) для скоростей и ускорений в уравнения движения (5.81). В результате приходим к уравнению

где — известная теперь функция времени, а также .