5.2. Уравнения движения для систем со структурой дерева

Системы многих тел со структурой дерева встречаются на практике реже, чем системы с замкнутыми цепями. Однако можно привести два довода в пользу рассмотрения первым этого класса систем. Один из доводов состоит в большей простоте математического описания структуры взаимосвязей и кинематики систем. Второй довод заключается в том, что любую систему с замкнутыми цепями можно преобразовать в систему со структурой дерева, разрезав надлежаще выбранные шарниры. Следовательно, для получения уравнений движения системы с замкнутыми цепями необходимо всего лишь добавить в уравнения движения системы со структурой дерева внутренние силы и кинематические связи,

соответствующие разрезанным шарнирам. Эта процедура будет описана в разд. 5.3. В настоящем разделе будут детально изучены системы со структурой дерева. Задача не будет рассматриваться сразу в самом общем виде, а будет усложняться постепенно, шаг за шагом. Это позволяет, помимо всего прочего, продемонстрировать применение как подхода Ньютона — Эйлера, так и принципа Даламбера.

5.2.1. Математическое описание структуры взаимосвязей

Если система со структурой дерева связана с внешним телом, движение которого задано как функция времени, то без ограничения общности можно предположить, что она связана с этим телом только одним шарниром. Если имеются несколько шарниров, то система на самом деле подразделяется на несколько динамически независимых подсистем (см., например, рис. 5.7 с двумя независимыми подсистемами). Если, с другой стороны, система не связана с внешним телом, совершающим заданное движение, то, как было указано ранее, следует предполагать наличие подвижного базиса и фиктивной связи между основанием и одним из тел системы. Таким образом, независимо от способа действия всегда существует основание с базисом движение которого относительно инерциального пространства задается функцией времени, и это основание связано шарниром с одним из тел системы. В дальнейшем тело, представленное базисом будет отмечаться номером нуль (т. е. тело 0).

Рис. 5.7. Система, которая разделяется телом 0 на две динамически независимые подсистемы.

Пусть — число тел в системе (не считая тела 0). Тогда количество шарниров всегда будет равно если учитывать шарнир между системой и телом 0. Телам и шарнирам присваиваются номера от 1 до Порядок нумерации произволен, за исключением того, что тело, смежное с телом 0, и шарнир между ними помечаются соответственно как тело 1 и шарнир 1. В качестве примера на рис. 5.8,а изображена система с Следует помнить, что описание структуры взаимосвязей должно давать полную информацию о том, какие тела соединены шарнирами, и что это описание

не отражает физических свойств шарниров. Структура взаимосвязей лучше всего отображается графом системы. Этот граф состоит из точек, называемых вершинами, и линий, соединяющих вершины и называемых ребрами. Вершины представляют тела системы, а также подвижный базис в то время как ребра представляют шарниры. Очевидно, что граф системы также будет иметь структуру дерева. На рис. 5.8,б показан граф, соответствующий системе, изображенной на рис. 5.8,а. Вершина, представляющая базис обозначена символом . Остальные вершины и ребра обозначены через соответственно, причем последовательности индексов определяются номерами тел и шарниров в механической системе. Для того чтобы можно было отличить индекс вершины от индекса ребра, будем использовать для первого буквы , а для последнего — .

Рис. 5.8. а — система со структурой дерева; б — граф системы; в — ориентированный граф системы.

Придадим теперь каждому ребру графа какое-либо направление. Эта процедура порождает ориентированный граф. Его направленные ребра называются дугами. На рис. 5.8,в показан ориентированный граф для системы, изображенной на рис. 5.8,а. Направление дуги указано стрелкой. Цель введения направления состоит в том, чтобы сделать различимыми две соединенные дугой

вершины и, следовательно, два соединенных шарниром тела. Это необходимо по следующим причинам. При описании кинематики движения одного из смежных тел относительно другого необходимо четко указать, относительное движение какого тела имеется в виду. Внутренние силы в шарнирах действуют на смежные тела в противоположных направлениях. При описании динамики системы необходимо четко указать направления сил, приложенных к смежным телам.

Выражения дерево, граф, вершина, ребро и дуга заимствованы из математической теории графов Будут полезными два других выражения: инцидентность и путь между двумя вершинами. Соотношение между дугой (или ребром, поскольку направление здесь несущественно) и двумя вершинами, соединенными ею, выражается фразой: дуга (ребро) инцидентна двум вершинам. На рис. 5.8,в, например, инцидентна Путь между двумя вершинами определяется следующим образом (ср. с определением пути между двумя телами, данным выше). Перейдем из вдоль последовательности вершин и дуг (не принимая во внимание направление) по такому пути, чтобы ни одна дуга не проходилась более одного раза. Тогда (неупорядоченное) множество определенных таким образом дуг называется путем между . В графе со структурой дерева путь между определяется единственным образом для каждой комбинации и например, на рис. 5.8,в путь между представляет собой совокупность дуг . Говорят, что вершина лежит на пути между и если хотя бы одна дуга, принадлежащая этому пути, инцидентна . В соответствии с этим определением, вершины сами находятся на пути между

С помощью этих понятий определим следующие отношения слабого упорядочения для вершин. Символ означает, что лежит на пути между Отношение означает, что лежит на пути между но не совпадает с . Наконец, есть отрицание Заметим, что для двух вершин могут одновременно выполняться оба отношения: (рассмотрите, например, на рис. 5.8,в).

Структура взаимосвязей ориентированного графа определяет единственным образом две целочисленные функции , которые устанавливают соотношения между индексами дуг и вершин. Для значение равно индексу вершины, из которой дуга на выходит, равно индексу вершины, в которую дуга на входит. Для ориентированного графа, изображенного

на рис. 5.8,в, значения этих функций следующие:

(см. скан)

Если для ориентированного графа со структурой дерева функции (а) и заданы, то можно воспроизвести граф. Для этого нужно отметить на листе бумаги вершину Затем для начертить дугу, идущую из . В результате этой процедуры получается первоначальный граф. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между ориентированным графом и парой функций . Это не означает, однако, что для любой произвольно выбранной пары целочисленных функций существует ориентированный граф со структурой дерева! В качестве примера рассмотрим функции

(см. скан)

Они определяют объект, который в математике также называется графом, но он не имеет структуру дерева. Необходимо, следовательно, отличать допустимые и недопустимые пары функций. Однако здесь нет надобности рассматривать условия допустимости, поскольку все пары функций, с которыми придется иметь дело, будут всегда выводиться из заданных ориентированных графов со структурой дерева.

Та же самая информация, которая заключена в паре функций и содержится в матрице инцидентности ориентированного графа. Эта матрица имеет строку и столбцов, которые отвечают вершинам и дугам соответственно. Обозначим ее элементы через (следует помнить, что буквы используются в качестве индексов вершин, а — в качестве индексов дуг).

(кликните для просмотра скана)

образом:

Для ориентированного графа, приведенного на рис. 5.8,в, эта матрица такова:

Существуют следующие важные соотношения между матрицами :

где Е — единичная -матрица, а — матрица-столбец, каждый из элементов которой равен 1.

Доказательство. Доказательство соотношения (5.5) основано на том, что в матрице отличен от нуля только первый элемент и что, согласно определению все элементы в первой строке матрицы Т равны Чтобы установить соотношение (5.6), достаточно доказать, что произведение есть единичная матрица. Это произведение представляет собой -матрицу с элементами Согласно (5.1), равно +1 для —1 для и нулю в других случаях. Таким образом Рассмотрим сначала случай Дуга либо направлена к либо выходит из Если справедливо первое, то если же выполняется второе, то Следовательно, в любом случае Далее, пусть a и b различны. Рассмотрим два пути: между и между и соответственно. Дуга принадлежит либо каждому из путей, либо не принадлежит

ни одному из них. В любом случае , следовательно, .

Из определения следует, что в столбце матрицы Т множество индексов строк всех ненулевых элементов совпадает с множеством индексов всех дуг, принадлежащих пути между . Например, столбец матрицы Т для графа, изображенного на рис. 5.8,в, дает множество дуг . Как показывает этот пример, порядок расположения дуг вдоль пути из нельзя определить только из столбца матрицы . Однако его можно найти, рассматривая всю матрицу Т. Это следует из того, что определяется по Г, функции находятся по а по указанным функциям можно построить ориентированный граф.

Имеется простой способ определения порядка дуг вдоль пути между использующий обе матрицы описатьг необходимо ввести термины: дуга, предшествующая вершине, и вершина, предшествующая вершине. Дуга, предшествующая вершине , представляет собой дугу, которая принадлежит пути между и которая, кроме того, инцидентна Вершина, предшествующая вершине , есть вершина, которая связана с дугой, предшествующей . Например, на рис. 5.8,в представляют собой для соответственно предшествующую дугу и предшествующую вершину.

Опишем с помощью этих понятий предлагаемый рекурсивный способ следующим образом. На каждом шаге для некоторой вершины определяются предшествующая ей дуга и вершина На первом шаге вершиной является вершина На каждом последующем шаге в качестве берется предшествующая вершина определенная на предыдущем шаге. Процедура заканчивается, когда совпадает с Упорядоченная последовательность предшествующих дуг, определенная таким образом, представляет собой последовательность, в которой дуги расположены в определенном порядке вдоль пути из Остается показать, как можно найти предшествующие дугу и вершину по матрицам Т и Обе величины отличны от нуля только для дуги . Отсюда следует, что а является пересечением двух множеств индексов, а именно множества индексов всех столбцов, для которых и множества индексов с всех строк, для которых . Вершиной, предшествующей служит одна из двух вершин и именно та, которая не совпадает с . Итак, находится по столбцу матрицы .

В произвольном графе со структурой дерева вершины и дуги можно пронумеровать таким образом, что будут выполнены следующие условия. Для всех вершин номер дуги, предшествующей равен , а номер вершины, предшествующей

меньше k. Вообще говоря, способ, при помощи которого можно присвоить номера, удовлетворяющие этим условиям, не является единственным. Любая такая нумерация называется правильной. Для произвольного заданного графа с данной вершиной правильную нумерацию можно получить следующим образом. Граф содержит по меньшей мере одну граничную вершину. Граничными вершинами являются все вершины, за исключением с которыми инцидентна только одна дуга. Этим граничным вершинам присваиваются наибольшие номера Такие же номера даются соответствующим предшествующим дугам. Затем все вершины и дуги, которые уже помечены (кроме ), отсекаются от графа. В результате получается меньший граф с новыми граничными вершинами, которым в свою очередь присваиваются наибольшие из имеющихся еще в наличии номеров. Эта рекурсивная процедура продолжается до тех пор, пока не окажутся помеченными все вершины и дуги. Поступая таким образом, мы обозначим только, как и прежде, вершину, смежную с и дугу, связывающую эти две вершины, соответственно через и .

Рис. 5.9. Ориентированный граф системы с правильной нумерацией для системы рис. 5.8,а.

Матрицы и Т для ориентированного графа со структурой дерева, имеющего правильную нумерацию, обладают некоторыми важными свойствами. Так, один из номеров и которые поставлены в соответствие двум вершинам, соединенным дугой совпадает с , а другой меньше . Как следствие получаем, что все диагональные элементы матрицы отличны от нуля и что все другие ненулевые элементы расположены выше главной диагонали. Кроме того, для дуга принадлежит пути между Следовательно, все элементы главной диагонали матрицы Т также не равны нулю. Наконец, дуга может только принадлежать пути между и такой вершиной для которой к а. Отсюда следует, что в матрице Г, так же, как ниже главной диагонали нет ненулевых элементов. Выше главной диагонали матрицы Т ненулевые элементы находятся только в первых строках, где — номер граничной вершины в графе. Продемонстрируем эти свойства на примере. На рис. 5.9 изображен граф, представленный на рис. 5.8,в, с новой правильной нумерацией. Направление дуг

не изменилось. Матрицы и Т теперь имеют вид

В этом частном случае равно 4. Если в графе с правильной нумерацией все дуги направлены к , то все ненулевые элементы Т и все элементы на главной диагонали равны Если, с другой стороны, все дуги направлены от то в этих матрицах все элементы, о которых только что говорилось, равны —1. Рассмотрим снова задачу определения порядка, в котором располагаются дуги вдоль пути от Общий метод, базирующийся на использовании матриц и был описан ранее. В графе с правильной нумерацией индексы дуг монотонно возрастают вдоль этого пути. Следовательно, порядок можно установить непосредственно по столбцу матрицы Т.

Задачи

(см. скан)