5.3.2. Уравнения движения

Указанное обобщение понятий теории графов позволяет записать уравнения движения для приведенной системы в более удобной форме, чем уравнения (5.181). Новых вычислений не требуется! Читатель может убедиться сам, что результаты разд. 5.2.8 (с небольшой модификацией, которая сейчас будет объяснена) остаются в силе, если во всех уравнениях матрицы понимать как новые матрицы, которые только что были определены. Следовательно, уравнения движения, записанные в виде (5.171) — (5.173), остаются справедливыми. Необходимо выполнить только следующую модификацию. Равенства (5.139) для векторов определенных в (5.138), больше не выполняются, так как на теле 0 может быть более одного шарнира. Отсюда следует, что выражение (5.142) для матрицы не приводится к виду (5.143). По той же причине матрица и больше не определяется формулой (5.155). Вместо этого ее элементы определяются формулой (5.154). Других

изменений не требуется. Как видно из формулы (5.157), затрагивается только матрица , причем только два последних ее члена. Необходимые изменения можно резюмировать следующим образом. Выражение в (5.157) не задается теперь формулой (5.163), а представляет собой матрицу-столбец с элементами

Индекса векторов имеет следующий смысл. Каждому телу приведенной системы отвечает определенный шарнир на теле 0, посредством которого тело связано непосредственно или косвенно с телом 0. Индекс этого шарнира и назван Другими словами, есть индекс дуги в приведенном графе, которая инцидентна дуге , кроме того, принадлежит пути между Для ориентированного графа, изображенного на рис. 5.44,б, индекс имеет следующие значения:

В частном случае, когда система многих тел не связана физически с телом, движение которого задано как функция времени, уравнения движения были получены в виде уравнений (5.108) и (5.174)- (5.176). В этих уравнениях матрицу не требуется модифицировать! Это следует из того, что подвижный базис связан фиктивным шарниром только с одним телом системы.

5.3.2.1. Учет уравнений связей

После указанных замечаний по поводу приведенной системы можно теперь записать принцип Даламбера для полной системы с замкнутыми цепями. При этом, как было указано ранее, необходимо принимать к рассмотрению все связи и все внутренние шарнирные силы (отличные от реакций связей), которые были устранены при построении приведенной системы. Например, в системе, изображенной на рис. 5.44,а, при построении приведенной системы, изображенной на рис. 5.44,б, могли быть устранены и силы реакций, и силы упругости пружин. В результате восстановления

кинематических связей вариации обобщенных координат приведенной системы становятся зависимыми. Связи могут быть либо голономными, либо неголономными. Общее число устраненных связей назовем . Из них связей будем предполагать голономными. Уравнения связей запишем в следующем виде:

голономные связи

неголономные связи

По определению уравнения неголономных связей являются неинтегрируемыми, поскольку в противном случае они свелись бы к голономным связям. На практике суть линейные функции обобщенных скоростей, так что указанные уравнения можно записать в виде

где — общее число обобщенных координат.

В общем случае функции являются нелинейными функциями всех или части обобщенных координат и времени. Это показывает, например, обозначение Практическое определение этих функций будет показано в иллюстративных примерах 5.3-5.5.

Вариации функций вызванные вариациями обобщенных координат (при фиксированном времени), равны нулю, откуда следует

где

Из уравнений (5.184) следует, что вариации обобщенных координат удовлетворяют также соотношениям

или

где — матрицы-строки:

Принцип Даламбера для полной системы с замкнутыми цепями можно теперь записать в виде

Каждому уравнению связи ставится в соответствие множитель Лагранжа Полную возможную работу, совершаемую во всех разрезанных шарнирах, обозначим через Ее можно записать в виде где матрица-столбец образована из обобщенных сил, которые действуют в разрезанных шарнирах. Явное выражение для будет получено позже. Теперь перепишем принцип Даламбера в виде

Члены, содержащие , можно объединить в матричной записи как , где X — матрица-столбец прямоугольная матрица:

с строками и столбцами. Субматрица, образованная первыми строками, представляет собой якобиан уравнений голономных связей. Теперь уравнение (5.188) принимает вид

Предполагается, что все уравнений связей независимы. Тогда найдутся линейно зависимых вариаций обобщенных координат (элементов вектора ). Оставшиеся вариаций линейно независимы. Множители выбираются таким образом, чтобы коэффициенты при линейно зависимых вариациях в уравнении (5.190) обратились в нуль. Коэффициенты при остальных вариациях должны быть нулями в силу независимости этих вариаций.

Отсюда получим

Эти уравнения вместе с уравнениями связей (5.183) и (5.184) описывают движение полной системы. Для практических приложений такой записи еще недостаточно, так как она не допускает применения алгоритмов численного интегрирования. Для получения уравнений, которые можно интегрировать численно, нужно исключить неизвестные . Для этой цели уравнения голономных связей (5.183) продифференцируем по времени:

Здесь матрица-строка определена в (5.185), а матрица-столбец Дифференцируя еще раз по времени, получим

Действительное вычисление функций Ф является несложной процедурой, хотя на практике она может приводить к громоздким выражениям (см. иллюстративные примеры 5.3 и 5.5). Продифференцируем теперь один раз по времени уравнения неголономных связей (5.184):

Матрица-строка определена в (5.186). То что было сказано о функциях , относится к (см. иллюстративный пример 5.4). Уравнения (5.192) и (5.184) объединим в виде

где матрица Н определена в (5.189), а Т - матрица-столбец:

Если все связи стационарны, то последняя матрица равна нулю. Аналогично, уравнения (5.193) и (5.194) объединяются в матричное уравнение

где

Предположим, что интегрирование начинается в момент времени . Сначала нужно определить начальные значения обобщенных координат и скоростей. Для обобщенных координат они должны удовлетворять уравнениям (5.183). Как только определены начальные значения для нахождения начальных обобщенных скоростей используется уравнение (5.195). Исходя из полученных таким образом начальных условий, далее можно в принципе поступить следующим образом. Для исключения X используются две системы дифференциальных уравнений второго порядка (5.191) и (5.197) (уравнение (5.191) разрешается относительно результат подставляется в уравнение (5.197), последнее разрешается относительно , подставляется снова в (5.191)). Получающиеся дифференциальные уравнения для обобщенных координат можно далее интегрировать численно при помощи какого-либо стандартного алгоритма. Однако в действительности этот метод обречен на неудачу по следующей причине. Уравнение (5.197) совпадает с уравнениями

При надлежащем выборе начальных условий эти уравнения имеют точное решение Однако в процессе численного интегрирования неизбежные ошибки вычислений вызовут неограниченный рост что приведет к нарушению уравнений связей.

Баумгарту [18] принадлежит идея заменить дифференциальные уравнения (5.197) другими, которые при допустимых начальных условиях (удовлетворяющих уравнениям (5.183) и имеют то же решение которое асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова. Имеется бесчисленное множество таких уравнений. Простейшие уравнения можно взять в виде

Любая ошибка вычислений, вызывающая отклонение или от номинальных нулевых значений, будет теперь затухать автоматически. Для эффективной стабилизации удобно выбрать (критическое демпфирование). Не верно, что эффект стабилизации будет тем лучше, чем больше выбраны величины

. Нужно избегать того, чтобы стабилизирующие члены (которые отличаются от нуля только вследствие ошибок вычислений) стали доминирующими при численном интегрировании полной системы дифференциальных уравнений. Следует также обратить внимание на то, что в результате стабилизации голономных связей в систему вводятся дополнительные собственные частотых). С учетом уравнений (5.193) и (5.194) вновь построенные дифференциальные уравнения можно записать в виде

где

и

где

В матричном виде эти уравнения записываются как

где — матрица-столбец:

За исключением различия в правых частях, уравнение (5.200) совпадает с (5.197). Исключим теперь множители Лагранжа.

Уравнение (5.191) дает Подстановка в (5.200) приводит к уравнению

Если все уравнения связей независимы, то матрица Н имеет полный ранг, равный количеству строк . Есть теорема, утверждающая, что имеет тот же ранг если — определенная квадратная матрица [19]. Здесь это условие выполнено. Следовательно, обратная матрица существует, так что

Подставляя X снова в уравнение (5.191), получим

Это и есть окончательная форма уравнений движения для систем с замкнутыми цепями. Число уравнений равно числу обобщенных координат в приведенной системе. Выполнение уравнений связей обеспечивается членами . Матрица Ф, в частности, гарантирует стабилизацию связей при численном интегрировании. Численное интегрирование начинается от начальных условий для и которые удовлетворяют уравнениям (5.183) и (5.195).

Независимость уравнений связей мы предполагали в двух местах, а именно при переходе от уравнения (5.190) к (5.191) и при разрешении уравнения (5.202) относительно X. На практике часто случается, что составленные уравнения связей оказываются зависимыми. Одна причина заключается в том, что даже для относительно простых систем функции в уравнениях (5.183) и (5.184) могут быть настолько сложными, что проверка их независимости оказывается затрудненной. Такой случай рассматривается в иллюстративном примере 5.3.

Кроме того, может оказаться, что уравнения связей являются независимыми всюду, кроме частного множества значений обобщенных координат. Если эти значения случайно встретятся в процессе численного интегрирования, то программа не сможет выполняться, так как матрица в уравнении (5.202) становится вырожденной (в действительности обращение матрицы будет невозможным не только в критической точке, но и в некоторой ее окрестности). Этой трудности можно избежать, если уравнение (5.202) для X решать не обращением матрицы коэффициентов, а с помощью какого-либо алгоритма решения линейных уравнений. Предположим, что ранг матрицы коэффициентов, а следовательно, и ранг матрицы меньше скажем Тогда из уравнения (5.202) можно определить только множителей. Те столбцы матрицы в уравнении (5.190), которые соответствуют множителям, оставшимся неопределенными, являются линейными комбинациями остальных столбцов. Иными словами, уравнений связей являются следствием остальных уравнений связей. Неопределенные множители, которые соответствуют зависимым связям, оказываются излишними и могут быть положены равными нулю. Так найденное решение для X заменяет уравнение (5.203).

Матрица-столбец вычисляется не из (5.204), а прямой подстановкой численного результата для к в (5.191).