Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5.3.2. Уравнения движенияУказанное обобщение понятий теории графов позволяет записать уравнения движения для приведенной системы в более удобной форме, чем уравнения (5.181). Новых вычислений не требуется! Читатель может убедиться сам, что результаты разд. 5.2.8 (с небольшой модификацией, которая сейчас будет объяснена) остаются в силе, если во всех уравнениях матрицы изменений не требуется. Как видно из формулы (5.157), затрагивается только матрица
Индекса
В частном случае, когда система многих тел не связана физически с телом, движение которого задано как функция времени, уравнения движения были получены в виде уравнений (5.108) и (5.174)- (5.176). В этих уравнениях матрицу 5.3.2.1. Учет уравнений связейПосле указанных замечаний по поводу приведенной системы можно теперь записать принцип Даламбера для полной системы с замкнутыми цепями. При этом, как было указано ранее, необходимо принимать к рассмотрению все связи и все внутренние шарнирные силы (отличные от реакций связей), которые были устранены при построении приведенной системы. Например, в системе, изображенной на рис. 5.44,а, при построении приведенной системы, изображенной на рис. 5.44,б, могли быть устранены и силы реакций, и силы упругости пружин. В результате восстановления кинематических связей вариации обобщенных координат приведенной системы становятся зависимыми. Связи могут быть либо голономными, либо неголономными. Общее число устраненных связей назовем голономные связи
неголономные связи
По определению уравнения неголономных связей являются неинтегрируемыми, поскольку в противном случае они свелись бы к голономным связям. На практике
где В общем случае функции Вариации функций
где
Из уравнений (5.184) следует, что вариации обобщенных координат удовлетворяют также соотношениям
или
где
Принцип Даламбера для полной системы с замкнутыми цепями можно теперь записать в виде
Каждому уравнению связи ставится в соответствие множитель Лагранжа
Члены, содержащие
с
Предполагается, что все Отсюда получим
Эти уравнения вместе с уравнениями связей (5.183) и (5.184) описывают движение полной системы. Для практических приложений такой записи еще недостаточно, так как она не допускает применения алгоритмов численного интегрирования. Для получения уравнений, которые можно интегрировать численно, нужно исключить неизвестные
Здесь матрица-строка
Действительное вычисление функций Ф является несложной процедурой, хотя на практике она может приводить к громоздким выражениям (см. иллюстративные примеры 5.3 и 5.5). Продифференцируем теперь один раз по времени уравнения неголономных связей (5.184):
Матрица-строка
где матрица Н определена в (5.189), а Т - матрица-столбец:
Если все связи стационарны, то последняя матрица равна нулю. Аналогично, уравнения (5.193) и (5.194) объединяются в матричное уравнение
где
Предположим, что интегрирование начинается в момент времени
При надлежащем выборе начальных условий эти уравнения имеют точное решение Баумгарту [18] принадлежит идея заменить дифференциальные уравнения (5.197) другими, которые при допустимых начальных условиях (удовлетворяющих уравнениям (5.183) и
Любая ошибка вычислений, вызывающая отклонение
где
и
где
В матричном виде эти уравнения записываются как
где
За исключением различия в правых частях, уравнение (5.200) совпадает с (5.197). Исключим теперь множители Лагранжа. Уравнение (5.191) дает
Если все уравнения связей независимы, то матрица Н имеет полный ранг, равный количеству строк
Подставляя X снова в уравнение (5.191), получим
Это и есть окончательная форма уравнений движения для систем с замкнутыми цепями. Число уравнений равно числу обобщенных координат в приведенной системе. Выполнение уравнений связей обеспечивается членами Независимость уравнений связей мы предполагали в двух местах, а именно при переходе от уравнения (5.190) к (5.191) и при разрешении уравнения (5.202) относительно X. На практике часто случается, что составленные уравнения связей оказываются зависимыми. Одна причина заключается в том, что даже для относительно простых систем функции Кроме того, может оказаться, что уравнения связей являются независимыми всюду, кроме частного множества значений обобщенных координат. Если эти значения случайно встретятся в процессе численного интегрирования, то программа не сможет выполняться, так как матрица Матрица-столбец
|
1 |
Оглавление
|