Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5.2.3. Частный случай плоских движенийПусть снова дана система многих тел со структурой дерева. Одно из ее тел соединено с телом 0, совершающим заданное движение. В противоположность предыдущему разделу основными являются следующие предположения. Во-первых, все шарниры являются цилиндрическими и все их оси параллельны одна другой (два тела, соединенных цилиндрическим шарниром, имеют одну степень свободы и могут вращаться одно относительно другого, поступательное движение каждого из них относительно другого вдоль оси шарнира невозможно). Во-вторых, заданная абсолютная угловая скорость вращения тела 0 не имеет компоненты, перпендикулярной к осям цилиндрических шарниров. Система трех тел такого рода изображена на рис. 5.18. Вследствие наличия связей в шарнирах каждое тело совершает плоское движение относительно всех других тел. Движения по отношению к инерциальному пространству представляют собой плоские движения только тогда, когда поступательное движение тела 0 не имеет составляющей вдоль осей шарниров. В данный момент это не предполагается.
Рис. 5.18. Система с цилиндрическими шарнирами, оси которых параллельны.
Рис. 5.19. Векторные базисы и угловые координаты в системе с цилиндрическими шарнирами, оси которых параллельны. Уравнения движения для таких систем легко составить на основании уравнений движения для систем с шаровыми шарнирами (уравнения (5.34)). Между двумя видами систем существует лишь одно различие, которое объясняется следующим образом. Представим себе, что на оси каждого цилиндрического шарнира выбрана произвольная точка и что в эту точку помещен шаровой шарнир. В результате такой процедуры получится система вида, рассмотренного в предыдущем разделе. Первоначальную систему с цилиндрическим шарниром можно снова получить из указанной системы, если ввести в каждом шаровом шарнире момент силы реакции связи, который исключит степень свободы, отвечающую вращению вокруг оси, перпендикулярной осям цилиндрических шарниров. Векторы этих моментов сил реакций связей направлены перпендикулярно осям цилиндрических шарниров. Следовательно, уравнения движения системы с цилиндрическими шарнирами совпадают с уравнениями (5.34), в которые к уже существующим моментам внутренних шарнирных сил Остается показать, что скалярные дифференциальные уравнения не зависят от выбора точек на осях цилиндрических шарниров, в которых помещены шаровые шарниры и приложены моменты сил реакций связей. В уравнениях (5.34) от расположения этих точек зависят только величины, представляющие собой компоненты векторов Скалярное умножение уравнения (5.34) на
Она имеет вид
Отсюда следует, что, матрицей преобразования, определенной уравнением
Матрицы координат для
В выражениях для Относительно внешних сил
Принимая во внимание эти выражения, получим из уравнения (5.34) скалярное матричное уравнение:
Члены, содержащие
Они удовлетворяют тождеству
и элемент произведения
Легко показать, что элемент (3,3) в
в искомое скалярное уравнение движения. Вторым несколько сложным выражением является
Отсюда непосредственно следует, что третий элемент полного выражения равен
Представляя такимже образом оставшиеся члены уравнения (5.36), получим скалярные дифференциальные уравнения
в которых использованы следующие обозначения:
Элементы
Особый интерес представляют механические системы с торсионными пружинами и демпферами в шарнирах. Фиксируем теперь векторные базисы
Знак устанавливается на основании соглашения, что
Последний член выделен по той причине, что
где
Матрицы если Уравнения движения в специальной форме (5.38) и в более общей форме (5.37) пригодны для приложения ко многим представляющим интерес механическим системам. Одним из примеров является задача о походке антропоморфной фигуры. Отдельные части человеческого тела совершают движения, которые с приемлемой точностью можно рассматривать как плоские движения. Уравнения (5.37) справедливы для фазы движения, в которой одна нога имеет контакт с землей. Для фаз движения без контакта с землей и с опорой на две ноги такие уравнения будут установлены в разд. 5.2.4 (уравнение (5.62)) и 5.3.2 (иллюстративный пример 5.5).
Рис. 5.20. Модель консольной балки с телом 0, неподвижным в инерциальном пространстве. Иллюстративный пример 5.1. На рис. 5.20 показана простая система весьма специального вида, описываемая уравнениями (5.38). Это модель консольной балки. Балка изображена в недеформированном состоянии и сильно деформированном состоянии, для которого уравнения для балок, известные из теории упругости, не справедливы. Система состоит из соотношений
где
Матрица
Как видно из выражений для элементов матриц
Эти уравнения можно использовать для определения константы к пружины. Она должна иметь величину, которая давала бы для наинизшей собственной частоты системы тот же результат, что и линеаризованные уравнения балки. Как только к определено, можно рассматривать нелинейные уравнения движения. В тейлоровских разложениях уравнений в ряды за линейными членами следуют члены третьего порядка вида
|
1 |
Оглавление
|