5.2.3. Частный случай плоских движений

Пусть снова дана система многих тел со структурой дерева. Одно из ее тел соединено с телом 0, совершающим заданное движение. В противоположность предыдущему разделу основными являются следующие предположения. Во-первых, все шарниры являются цилиндрическими и все их оси параллельны одна другой (два тела, соединенных цилиндрическим шарниром, имеют одну

степень свободы и могут вращаться одно относительно другого, поступательное движение каждого из них относительно другого вдоль оси шарнира невозможно). Во-вторых, заданная абсолютная угловая скорость вращения тела 0 не имеет компоненты, перпендикулярной к осям цилиндрических шарниров. Система трех тел такого рода изображена на рис. 5.18. Вследствие наличия связей в шарнирах каждое тело совершает плоское движение относительно всех других тел. Движения по отношению к инерциальному пространству представляют собой плоские движения только тогда, когда поступательное движение тела 0 не имеет составляющей вдоль осей шарниров. В данный момент это не предполагается.

Рис. 5.18. Система с цилиндрическими шарнирами, оси которых параллельны.

Рис. 5.19. Векторные базисы и угловые координаты в системе с цилиндрическими шарнирами, оси которых параллельны.

Уравнения движения для таких систем легко составить на основании уравнений движения для систем с шаровыми шарнирами (уравнения (5.34)). Между двумя видами систем существует лишь одно различие, которое объясняется следующим образом. Представим себе, что на оси каждого цилиндрического шарнира выбрана произвольная точка и что в эту точку помещен шаровой шарнир. В результате такой процедуры получится система вида, рассмотренного в предыдущем разделе.

Первоначальную систему с цилиндрическим шарниром можно снова получить из указанной системы, если ввести в каждом шаровом шарнире момент силы реакции связи, который исключит степень свободы, отвечающую вращению вокруг оси, перпендикулярной осям цилиндрических шарниров. Векторы этих моментов сил реакций связей направлены перпендикулярно осям цилиндрических шарниров. Следовательно, уравнения движения системы

с цилиндрическими шарнирами совпадают с уравнениями (5.34), в которые к уже существующим моментам внутренних шарнирных сил должны быть добавлены оговоренные выше моменты сил реакций связей. Если эти уравнения умножить скалярно на единичный вектор параллельный осям цилиндрических шарниров, то добавочные моменты сил реакций связей снова будут исключены. Система векторных дифференциальных уравнений приводится, таким образом, к системе скалярных дифференциальных уравнений, число которых совпадает с числом степеней свободы (одна в каждом из шарниров).

Остается показать, что скалярные дифференциальные уравнения не зависят от выбора точек на осях цилиндрических шарниров, в которых помещены шаровые шарниры и приложены моменты сил реакций связей. В уравнениях (5.34) от расположения этих точек зависят только величины, представляющие собой компоненты векторов вдоль единичного вектора . Легко проверить, что эти компоненты исключаются в результате скалярного умножения уравнений на . В качестве примера рассмотрим член . Абсолютная угловая скорость сама имеет направление вектора Достаточно, следовательно, исследовать выражение , которое тождественно выражению Из такой формы видно, что компоненты векторов вдоль действительно исчезают. Чтобы упростить последующие вычисления, положим эти компоненты с самого начала равными нулю. Таким же образом поступим с компонентами векторов вдоль , а также с компонентами векторов перпендикулярными .

Скалярное умножение уравнения (5.34) на осуществим теперь следующим образом. С каждым телом свяжем векторный базис так, чтобы единичный вектор совпадал с (рис. 5.19). Направления в теле произвольны. Начало помещается на оси шарнира 1. Его радиус-вектор в инерциальном пространстве представляет собой известную функцию Искомое скалярное произведение уравнения (5.34) на получается в результате разложения этого векторного уравнения в базисе и сохранения только уравнения для третьей координаты. На рис. 5.19 наряду с базисами показан также неподвижный в инерциальном пространстве базис е. Его базисный вектор также параллелен . В качестве обобщенной координаты для описания угловой ориентации тела выбран угол между Пусть — матрица преобразования, определенная уравнением

Она имеет вид

Отсюда следует, что, матрицей преобразования, определенной уравнением является матрица

Матрицы координат для в базисе записываются в виде

В выражениях для и скаляры и представляют собой абсолютные значения проекций этих векторов на плоскость Третьи компоненты заменены нулями по причинам, которые были объяснены ранее. Постоянные углы и Р определяют положение проекций векторов в плоскости

Относительно внешних сил и ускорения предполагается, что известны их координаты в базисе неподвижном в инерциальном пространстве. Не относящиеся к делу координаты заменены нулями. Матрицы координат для в базисе суть

Принимая во внимание эти выражения, получим из уравнения (5.34) скалярное матричное уравнение:

Члены, содержащие преобразованы с помощью тождеств . Согласно (5.32), (3 X 3)-субматрица имеет вид

Они удовлетворяют тождеству которое представляет собой скалярную форму соотношения (5.33). Каждый член в уравнениях (5.36) есть матрица-столбец, состоящая из трех элементов. Представляет интерес только третий элемент. Чтобы его найти, необходимо выполнить умножение во всех произведениях. Рассмотрим подробно два более сложных выражения. Первое из них — произведение . Вследствие того что имеет простую форму, необходимо выразить только элемент с индексом субматрицы Остановимся лишь на случае Произведение представляет собой матрицу

и элемент произведения с индексом (3,3) равен

Легко показать, что элемент (3,3) в обращается в нуль. Следовательно, в случае член дает вклад

в искомое скалярное уравнение движения. Вторым несколько сложным выражением является Произведение двух его последних сомножителей дает

Отсюда непосредственно следует, что третий элемент полного выражения равен

Представляя такимже образом оставшиеся члены уравнения (5.36), получим скалярные дифференциальные уравнения

в которых использованы следующие обозначения:

Элементы и удовлетворяют соотношениям . Уравнения движения можно также записать в матричной форме:

Особый интерес представляют механические системы с торсионными пружинами и демпферами в шарнирах. Фиксируем теперь векторные базисы в телах таким образом, чтобы все они были параллельны один другому и базису когда положение системы таково, что пружины не напряжены. Ради простоты все коэффициенты пружин и демпферов предполагаются постоянными. Обозначим их для шарнира а соответственно через . С учетом введенных обозначений момент внутренней силы принимает вид

Знак устанавливается на основании соглашения, что есть момент силы, приложенной к телу , а также того, что в данном случае это момент силы, препятствующий возрастанию двух разностей, указанных в скобках. Это уравнение можно записать также в форме

Последний член выделен по той причине, что отлично от нуля только для . Матрица-столбец всех моментов шарнирных сил равна теперь

где — диагональные -матрицы коэффициентов пружин и демпферов соответственно. Подставив это выражение в уравнение (5.37), получим

Матрицы симметрические, а кососимметрическая. Произведение представляет собой матрицу-столбец . Первоначальное предположение о том, что пружины и демпферы имеют постоянные коэффициенты, можно теперь отбросить. Очевидно, что уравнения остаются тем не менее справедливыми,

если являются функциями .

Уравнения движения в специальной форме (5.38) и в более общей форме (5.37) пригодны для приложения ко многим представляющим интерес механическим системам. Одним из примеров является задача о походке антропоморфной фигуры. Отдельные части человеческого тела совершают движения, которые с приемлемой точностью можно рассматривать как плоские движения. Уравнения (5.37) справедливы для фазы движения, в которой одна нога имеет контакт с землей. Для фаз движения без контакта с землей и с опорой на две ноги такие уравнения будут установлены в разд. 5.2.4 (уравнение (5.62)) и 5.3.2 (иллюстративный пример 5.5).

Рис. 5.20. Модель консольной балки с телом 0, неподвижным в инерциальном пространстве.

Иллюстративный пример 5.1. На рис. 5.20 показана простая система весьма специального вида, описываемая уравнениями (5.38). Это модель консольной балки. Балка изображена в недеформированном состоянии и сильно деформированном состоянии, для которого уравнения для балок, известные из теории упругости, не справедливы. Система состоит из одинаковых твердых элементов, соединенных цилиндрическими шарнирами, оси которых параллельны. Во всех шарнирах имеются одинаковые торсионные пружины с постоянным коэффициентом к (демпферы отсутствуют). Основание, к которому крепится балка (тело 0), неподвижно в инерциальном пространстве. Внешние силы и моменты внешних сил не действуют. Векторные базисы ориентированы, как показано на рисунке. В недеформированном состоянии все углы равны нулю. При этих условиях правая часть уравнения (5.38) есть тождественный нуль. В теле векторы параллельны поэтому для Для всех комбинаций индексов имеет место одно из

соотношений Если тела пронумерованы так, как показано на рис. 5.20, то влечет за собой . С учетом этих упрощений выпишем элементы матриц А и В:

где

Матрица принимает вид

Как видно из выражений для элементов матриц , для линеаризации уравнений требуется, чтобы все разности были малыми. Недостаточно, чтобы указанные разности были малыми для всех пар смежных тел. Линеаризованные уравнения запишем в форме

Эти уравнения можно использовать для определения константы к пружины. Она должна иметь величину, которая давала бы для наинизшей собственной частоты системы тот же результат, что и линеаризованные уравнения балки. Как только к определено, можно рассматривать нелинейные уравнения движения. В тейлоровских разложениях уравнений в ряды за линейными членами следуют члены третьего порядка вида