Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5.2.4. Системы с шаровыми шарнирами, не связанные с внешним телом, совершающим заданное движениеСистемы, изучаемые в настоящем разделе, отличаются от систем, рассмотренных в разд. 5.2.2, только тем, что они не связаны с внешним телом, движение которого задано как функция времени. Типичными примерами таких систем служат состоящий из многих тел космический аппарат в полете и человеческое тело в фазе движения без контакта с Землей. На рис. 5.21 показана система семи тел. Для описания ее движения необходимо иметь векторный базис
Рис. 5.21. Система с шаровыми шарнирами, которая не связана с внешним телом, совершающим заданное движение. Радиус-векторы центра масс системы и центра масс тела Уравнения движения будут получены из закона Ньютона и теоремы об изменении момента количеств движения. С этой целью введем опять диаграммы свободных тел, разрезав все шарниры системы. В результате получим систему
Внутренняя сила
Суммируя все
Используя полную массу М системы и радиус-вектор
центра масс всей системы, приведем уравнение к виду
Дифференциальное уравнение (5.42) описывает движение центра масс всей системы. Существование этого уравнения представляет собой основное различие между системами, имеющими и не имеющими материальный шарнир между телами 0 и 1. Все последующие отличия в математическом описании систем обоих видов являются следствием этого уравнения. Пусть
или, принимая во внимание уравнение (5.42),
где суть безразмерные величины:
Объединим
Матрицы
Это уравнение совпадает с уравнением (5.10). Прежде чем представить эти уравнения в развернутом виде, необходимо привести некоторые важные свойства матрицы
и, таким образом,
Матрицу
Используем теперь это выражение, чтобы доказать тождества
Разность между произведениями, стоящими в правой и левой частях, есть
Выражение в скобках равно М, на основании чего сразу следует справедливость тождества (5.48). Отсюда заключаем, что матрица
Для доказательства подставим (5.47), тогда
Установив свойства матрицы рассмотрим снова уравнения (5.44) и (5.45). Из первого уравнения, умножив его слева на Г, можно найти силы реакций связей
Подставив их в (5.45), получим уравнение
заключающее в себе
В матричной форме эти
Умножая последнее соотношение слева на
Подставим его в уравнение (5.50):
Второй член содержит произведение множитель
соответствующему уравнению (5.18) для систем с шаровым шарниром 1. Важная роль, которую играли в этих системах векторы
и подставим выражение (5.21) для
Учитывая последнее соотношение, представим радиус-вектор
Это следует из равенства (5.51). Таким образом, показано, что векторы
В случае
Член, стоящий в скобках, можно записать в виде
или, используя равенства (5.20) и одно из только что упомянутых тождеств, в виде
Аналогично получаем
После этого
Полученное простое выражение соответствует значительно более сложному выражению (5.22) для систем с шаровым шарниром 1.
Рис. 5.22. Множества Разложим теперь матричное уравнение (5.52) на
которые, принимая во внимание только что установленные выражения для
Это соответствует уравнениям (5.23). Два первых члена можно объединить в одно более простое выражение. Представим с помощью величин
Рис. 5.23. Векторы, определяющие положение материальной частицы тела Если к указанному выражению добавить сумму
Два первых члена в уравнении (5.57) можно теперь выразить следующим образом:
где
Выражения для
будут подставлены позже. Уравнения движения допускают простую физическую интерпретацию, если их записать в следующей форме:
где
Рис. 5.24. Интерпретация выражения Они имеют вид уравнения момента количеств движения для одного твердого тела в частном случае, когда в качестве полюса для вычисления момента количеств движения и моментов внешних сил используется центр масс. Роль твердого тела играет дополненное тело Последний член можно интерпретировать следующим образом. Пусть дополненное тело действия проходила через шарнирную точку тела Для завершения подготовки к численным и аналитическим приложениям приведем уравнения движения к виду уравнений (5.34). Подставив выражения (5.59) в уравнения движения, получим
где
Двойное векторное произведение в левой части перепишем таким образом:
Затем определим тензоры
Они удовлетворяют соотношению
Используя их, придадим уравнениям движения окончательную форму:
Эти уравнения следует дополнить одним уравнением (5.42), описывающим движение центра масс всей системы. Кроме того, необходимо составить кинематические дифференциальные уравнения. Они совпадают с уравнениями, которые добавляются к уравнениям (5.34), так что нет необходимости в дополнительных пояснениях. Уравнения (5.61) совпадают по форме с уравнени исключением составления и подстановки уравнения (5.42). Для систем, в которых шарнир 1 не является материальным шаровым шарниром, все шаги этой схемы проще с математической точки зрения. Это следует из того, что в таких системах ни одно тело или шарнир не играет главенствующей роли. В системах с материальным шарниром 1 указанный шарнир, а также тело 0 нарушают симметрию, что отражается на математическом описании системы. Задачи(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|