Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.2.4. Системы с шаровыми шарнирами, не связанные с внешним телом, совершающим заданное движениеСистемы, изучаемые в настоящем разделе, отличаются от систем, рассмотренных в разд. 5.2.2, только тем, что они не связаны с внешним телом, движение которого задано как функция времени. Типичными примерами таких систем служат состоящий из многих тел космический аппарат в полете и человеческое тело в фазе движения без контакта с Землей. На рис. 5.21 показана система семи тел. Для описания ее движения необходимо иметь векторный базис
Рис. 5.21. Система с шаровыми шарнирами, которая не связана с внешним телом, совершающим заданное движение. Радиус-векторы центра масс системы и центра масс тела Уравнения движения будут получены из закона Ньютона и теоремы об изменении момента количеств движения. С этой целью введем опять диаграммы свободных тел, разрезав все шарниры системы. В результате получим систему
Внутренняя сила
Суммируя все
Используя полную массу М системы и радиус-вектор
центра масс всей системы, приведем уравнение к виду
Дифференциальное уравнение (5.42) описывает движение центра масс всей системы. Существование этого уравнения представляет собой основное различие между системами, имеющими и не имеющими материальный шарнир между телами 0 и 1. Все последующие отличия в математическом описании систем обоих видов являются следствием этого уравнения. Пусть
или, принимая во внимание уравнение (5.42),
где суть безразмерные величины:
Объединим
Матрицы
Это уравнение совпадает с уравнением (5.10). Прежде чем представить эти уравнения в развернутом виде, необходимо привести некоторые важные свойства матрицы
и, таким образом,
Матрицу
Используем теперь это выражение, чтобы доказать тождества
Разность между произведениями, стоящими в правой и левой частях, есть
Выражение в скобках равно М, на основании чего сразу следует справедливость тождества (5.48). Отсюда заключаем, что матрица
Для доказательства подставим (5.47), тогда
Установив свойства матрицы рассмотрим снова уравнения (5.44) и (5.45). Из первого уравнения, умножив его слева на Г, можно найти силы реакций связей
Подставив их в (5.45), получим уравнение
заключающее в себе
В матричной форме эти
Умножая последнее соотношение слева на
Подставим его в уравнение (5.50):
Второй член содержит произведение множитель
соответствующему уравнению (5.18) для систем с шаровым шарниром 1. Важная роль, которую играли в этих системах векторы
и подставим выражение (5.21) для
Учитывая последнее соотношение, представим радиус-вектор
Это следует из равенства (5.51). Таким образом, показано, что векторы
В случае
Член, стоящий в скобках, можно записать в виде
или, используя равенства (5.20) и одно из только что упомянутых тождеств, в виде
Аналогично получаем
После этого
Полученное простое выражение соответствует значительно более сложному выражению (5.22) для систем с шаровым шарниром 1.
Рис. 5.22. Множества Разложим теперь матричное уравнение (5.52) на
которые, принимая во внимание только что установленные выражения для
Это соответствует уравнениям (5.23). Два первых члена можно объединить в одно более простое выражение. Представим с помощью величин
Рис. 5.23. Векторы, определяющие положение материальной частицы тела Если к указанному выражению добавить сумму
Два первых члена в уравнении (5.57) можно теперь выразить следующим образом:
где
Выражения для
будут подставлены позже. Уравнения движения допускают простую физическую интерпретацию, если их записать в следующей форме:
где
Рис. 5.24. Интерпретация выражения Они имеют вид уравнения момента количеств движения для одного твердого тела в частном случае, когда в качестве полюса для вычисления момента количеств движения и моментов внешних сил используется центр масс. Роль твердого тела играет дополненное тело Последний член можно интерпретировать следующим образом. Пусть дополненное тело действия проходила через шарнирную точку тела Для завершения подготовки к численным и аналитическим приложениям приведем уравнения движения к виду уравнений (5.34). Подставив выражения (5.59) в уравнения движения, получим
где
Двойное векторное произведение в левой части перепишем таким образом:
Затем определим тензоры
Они удовлетворяют соотношению
Используя их, придадим уравнениям движения окончательную форму:
Эти уравнения следует дополнить одним уравнением (5.42), описывающим движение центра масс всей системы. Кроме того, необходимо составить кинематические дифференциальные уравнения. Они совпадают с уравнениями, которые добавляются к уравнениям (5.34), так что нет необходимости в дополнительных пояснениях. Уравнения (5.61) совпадают по форме с уравнени исключением составления и подстановки уравнения (5.42). Для систем, в которых шарнир 1 не является материальным шаровым шарниром, все шаги этой схемы проще с математической точки зрения. Это следует из того, что в таких системах ни одно тело или шарнир не играет главенствующей роли. В системах с материальным шарниром 1 указанный шарнир, а также тело 0 нарушают симметрию, что отражается на математическом описании системы. Задачи(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|