5.2.4. Системы с шаровыми шарнирами, не связанные с внешним телом, совершающим заданное движение

Системы, изучаемые в настоящем разделе, отличаются от систем, рассмотренных в разд. 5.2.2, только тем, что они не связаны с внешним телом, движение которого задано как функция времени. Типичными примерами таких систем служат состоящий из многих тел космический аппарат в полете и человеческое тело

в фазе движения без контакта с Землей. На рис. 5.21 показана система семи тел. Для описания ее движения необходимо иметь векторный базис положение которого в инерциальном пространстве должно быть известной функцией времени. Выбор этого базиса зависит от конкретной рассматриваемой задачи. Так, движение прыгающего человека лучше всего описывать в базисе который неподвижен в инерциальном пространстве. Вращательные движения спутника Земли на круговой орбите проще всего описать в базисе вращающемся относительно Земли с орбитальной угловой скоростью спутника. Как было объяснено в разд. 5.1, в этом случае вводится фиктивный шарнир, который связывает начало базиса с одним произвольно выбранным телом системы. На рис. 5.21 этот шарнир обозначен штриховой линией. Все тела и шарниры пронумерованы согласно правилам, указанным в разд. 5.2.1. Структура системы и нумерация на рис. 5.21 такие же, как для систем, изображенных на рис. 5.10 и 5.8,а. Следовательно, можно снова воспользоваться ориентированным графом, представленным на рис. 5.8,в.

Рис. 5.21. Система с шаровыми шарнирами, которая не связана с внешним телом, совершающим заданное движение. Радиус-векторы центра масс системы и центра масс тела

Уравнения движения будут получены из закона Ньютона и теоремы об изменении момента количеств движения. С этой целью введем опять диаграммы свободных тел, разрезав все шарниры системы. В результате получим систему отдельных тел, к которым приложены внешние и внутренние силы и моменты сил. Используем для всех величин такие же обозначения, как на рис. 5.11. Основные уравнения движения совпадают, следовательно, с уравнениями (5.7) и (5.8). Они имеют вид

Внутренняя сила и момент внутренней силы в фиктивном шарнире 1 тождественно равны нулю. Поэтому вектор не имеет физического значения. Для удобства положим его равным нулю:

Суммируя все уравнений (5.39) и принимая во внимание, что каждая из внутренних шарнирных сил встречается в двух уравнениях с противоположными знаками, получаем

Используя полную массу М системы и радиус-вектор

центра масс всей системы, приведем уравнение к виду

Дифференциальное уравнение (5.42) описывает движение центра масс всей системы. Существование этого уравнения представляет собой основное различие между системами, имеющими и не имеющими материальный шарнир между телами 0 и 1. Все последующие отличия в математическом описании систем обоих видов являются следствием этого уравнения. Пусть — радиус-вектор центра масс тела относительно центра масс всей системы (рис. 5.21), так что Тогда уравнение (5.39) можно записать таким образом:

или, принимая во внимание уравнение (5.42),

где суть безразмерные величины:

Объединим уравнений движения в одно матричное уравнение

Матрицы были определены в связи с уравнением (5.9), а представляют собой соответственно матрицу-столбец -матрицу с элементами Запишем уравнений (5.40) в матричной форме:

Это уравнение совпадает с уравнением (5.10).

Прежде чем представить эти уравнения в развернутом виде, необходимо привести некоторые важные свойства матрицы . Радиус-векторы удовлетворяют соотношению из которого следует

и, таким образом,

Матрицу можно записать в виде

Используем теперь это выражение, чтобы доказать тождества

Разность между произведениями, стоящими в правой и левой частях, есть

Выражение в скобках равно М, на основании чего сразу следует справедливость тождества (5.48). Отсюда заключаем, что матрица особенная. В самом деле, сумма всех строк дает строку, которая содержит только нули. Это можно выразить таким образом:

Для доказательства подставим (5.47), тогда

Установив свойства матрицы рассмотрим снова уравнения (5.44) и (5.45). Из первого уравнения, умножив его слева на Г, можно найти силы реакций связей в явном виде:

Подставив их в (5.45), получим уравнение

заключающее в себе скалярных дифференциальных уравнений. Учитывая уравнения (5.42), к ним следует добавить еще три, так что их общее число равно полному числу степеней свободы в шарнире 1 и три в каждом из оставшихся шарниров). Уравнение (5.50) аналогично уравнению (5.12), которое мы составили ранее, выразив радиус-векторы и связанные с телами векторы Эквивалентные выражения существуют для векторов Векторы определены равенствами (5.17). Их физический смысл был продемонстрирован на рис. 5.14. В данном случае необходимо иметь в виду, что вектор равен нулю (ср. уравнение (5.41)). Отсюда следует, что концы всех векторов находятся в центре масс тела 1. Сумма всех векторов по при фиксированном значении представляет собой поэтому вектор с началом в центре масс тела и концом в центре масс тела 1, т.е.

В матричной форме эти соотношений имеют вид

Умножая последнее соотношение слева на учитывая (5.46) и (5.49), получим явное выражение для R:

Подставим его в уравнение (5.50):

Второй член содержит произведение тождественное выражению согласно (5.48). Поэтому можно ввести дополнительный

множитель что приводит к уравнению

соответствующему уравнению (5.18) для систем с шаровым шарниром 1. Важная роль, которую играли в этих системах векторы теперь принадлежит векторам Так же как и векторы они допускают простую интерпретацию. Чтобы ее установить, запишем

и подставим выражение (5.21) для и выражение (5.43) для Принимая во внимание (5.20), в результате получим

Учитывая последнее соотношение, представим радиус-вектор в виде суммы

Это следует из равенства (5.51). Таким образом, показано, что векторы дополненного тела являются доминирующими параметрами в уравнениях движения (5.52). Дальнейшее преобразование аналогично преобразованию уравнения (5.18), хотя и много проще. Сначала рассмотрим -матрицу Обозначим элемент с индексами через тогда

В случае это выражение можно значительно упростить. С этой целью разделим ориентированный граф системы на две части, проведя линию, пересекающую произвольную дугу на пути между (рис. 5.22). Обозначим множество индексов всех вершин той части, которая содержит через а множество индексов всех вершин, расположенных на другой части, через II. Тогда для всех индексов к, принадлежащих множеству I (сокращенно к ), имеет место тождество а для всех к — тождество . В соответствии с этим представим следующим образом:

Член, стоящий в скобках, можно записать в виде

или, используя равенства (5.20) и одно из только что упомянутых тождеств, в виде

Аналогично получаем

После этого принимает форму

Полученное простое выражение соответствует значительно более сложному выражению (5.22) для систем с шаровым шарниром 1.

Рис. 5.22. Множества индексов вершин для

Разложим теперь матричное уравнение (5.52) на отдельных векторных уравнений

которые, принимая во внимание только что установленные выражения для запишем в следующем виде:

Это соответствует уравнениям (5.23). Два первых члена можно объединить в одно более простое выражение. Представим с помощью

величин смысл которых ясен из рис. 5.23, абсолютную производную по времени от момента количеств абсолютного движения первоначального (не дополненного) тела относительно барицентра тогда имеем

Рис. 5.23. Векторы, определяющие положение материальной частицы тела Центр масс и барицентр

Если к указанному выражению добавить сумму , то получатся два первых члена в левой части уравнения (5.57). Исходя из этого, можно объяснить их физический смысл. Эти члены представляют собой абсолютную производную по времени от момента количеств абсолютного движения дополненного тела относительно его барицентра . Сумма по к дает вклад точечных масс которые присоединены к телу в концах векторов (см. рис. 5.23). Пусть — тензор инерции дополненного тела относительно его барицентра. Он связан с центральным тензором инерции первоначального тела соотношением

Два первых члена в уравнении (5.57) можно теперь выразить следующим образом:

где — абсолютная угловая скорость вращения тела Учитывая это, представим уравнения движения в виде

Выражения для :

будут подставлены позже. Уравнения движения допускают простую физическую интерпретацию, если их записать в следующей форме:

где

Рис. 5.24. Интерпретация выражения как силы, приложенной в точке подвеса маятника.

Они имеют вид уравнения момента количеств движения для одного твердого тела в частном случае, когда в качестве полюса для вычисления момента количеств движения и моментов внешних сил используется центр масс. Роль твердого тела играет дополненное тело Полюсом для К является на самом деле его центр масс, т. е. барицентр Во-первых, момент силы содержит момент внешней силы и главный момент всех внутренних шарнирных сил, приложенных к телу. Во-вторых, внешняя сила линия действия которой проходит через центр масс дает момент (рис. 5.24).

Последний член можно интерпретировать следующим образом. Пусть дополненное тело подвешено как маятник в инерциальном пространстве в своей шарнирной точке, ведущей к телу и пусть оно подвержено действию своей внешней силы После этого сообщим телу его истинные угловые скорость и ускорение, тогда оно будет действовать на точку подвеса с силой Эту силу необходимо перенести так, чтобы ее линия

действия проходила через шарнирную точку тела ведущую к телу на рис. 5.24). Тогда она даст момент относительно барицентра Суммируя эти моменты сил по всем получим последний член .

Для завершения подготовки к численным и аналитическим приложениям приведем уравнения движения к виду уравнений (5.34). Подставив выражения (5.59) в уравнения движения, получим

где

Двойное векторное произведение в левой части перепишем таким образом:

Затем определим тензоры :

Они удовлетворяют соотношению

Используя их, придадим уравнениям движения окончательную форму:

Эти уравнения следует дополнить одним уравнением (5.42), описывающим движение центра масс всей системы. Кроме того, необходимо составить кинематические дифференциальные уравнения. Они совпадают с уравнениями, которые добавляются к уравнениям (5.34), так что нет необходимости в дополнительных пояснениях.

Уравнения (5.61) совпадают по форме с уравнени полученными для систем с материальным шарниром 1. Составление тех и других уравнений проводится по единой схеме, за

исключением составления и подстановки уравнения (5.42). Для систем, в которых шарнир 1 не является материальным шаровым шарниром, все шаги этой схемы проще с математической точки зрения. Это следует из того, что в таких системах ни одно тело или шарнир не играет главенствующей роли. В системах с материальным шарниром 1 указанный шарнир, а также тело 0 нарушают симметрию, что отражается на математическом описании системы.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)