2.1.3. Параметры Эйлера

Угловая ориентация связанного с телом базиса рассматривается как результат одного поворота, в начале которого этот базис совпадает с базисом отсчета Поворот выполняется в направлении часовой стрелки на угол вокруг оси, определяемой единичным вектором . Теорема Эйлера (см. гл. 1) утверждает, что любая угловая ориентация базиса может быть описана вещественным углом и единичным вектором и с вещественными координатами. Эти координаты являются одними и теми же в обоих базисах Нижеследующие рассуждения опираются

на предположение о том, что так же как и , заданы, а матрица направляющих коринусов, связывающая выражена как функция этих величин. Эта функция находится в результате сравнения матриц координат связанного с телом вектора в базисах . На рис. 2.5 этот вектор изображен в его положениях до и после поворота соответственно. В обоих положениях указанный вектор лежит на круговом конусе, ось которого определяется единичным вектором и. Обозначим через матрицы координат вектора соответственно. Тогда , где — матрица, транспонированная по отношению к матрице Матрица координат совпадает с матрицей координат вектора в базисе так как до поворота совпадает с а связанный с телом вектор совпадает с . Поэтому

В соответствии с рис. 2.5 векторы связаны уравнением или, принимая во внимание, что ,

Введем в рассмотрение половину угла посредством соотношений

Далее определим новые величины

Вектор имеет одинаковые координаты в обоих базисах поскольку и обладает этим свойством. Обозначим через координаты вектора Параметрами Эйлера называют четыре скаляра Они удовлетворяют уравнению связи

В другой форме это уравнение записывается в виде

или

С математической точки зрения параметры Эйлера представляют собой нормированные кватернионы. С учетом соотношений (2.11)

и (2.10) уравнение (2.9) принимает вид

В базисе отсюда получаем уравнение в координатной форме

Сравнение с уравнением (2.8) показывает, что выражение в скобках представляет собой искомое выражение для матрицы Применяя соотношение (1.28) к произведению и используя уравнение (2.12), представим транспонированную матрицу в виде

или в явном виде

Из этого выражения нетрудно получить явные формулы для решения обратной задачи, когда матрица задана и требуется определить соответствующие параметры Эйлера. Для следа матрицы находим соотношение

и, следовательно,

Подставляя это выражение в формулы для диагональных элементов находим

В отличие от углов Эйлера и Брайнта (или любой другой совокупности трех обобщенных координат) здесь нет критических случаев, в которых правые части этих обратных формул имели бы особенность.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)