5.3.1. Математическое описание структуры взаимосвязей. Обобщение раздела 5.2.1

Пусть — число тел, включая тело 0. Тогда приведенная система имеет шарниров. Число разрезанных шарниров обозначим через Например, для системы на рис. 5.43 равны соответственно семи и трем. Тела и шарниры пронумеруем следующим образом. Тело 0 уже помечено. Оставшиеся тела и шарниры приведенной системы пронумеруем по отдельности в произвольном порядке от 1 до Разрезанные шарниры пронумеруем в произвольном порядке .

На рис. 5.44,а показана одна из возможных нумераций. Для полной системы, состоящей из тел и вершин, можно начертить ориентированный граф, вершины и дуги которого представляют собой соответственно тела и шарниры. Направления дуг выбираются произвольно. На рис. показан один из возможных ориентированных графов для системы, изображенной на рис. 5.44,а. Дуги, представляющие разрезанные шарниры, указаны пунктирными линиями. Сплошные линии образуют ориентированный граф приведенной системы, называемый кратко приведенным графом.

Рис. 5.44. Система, изображенная на рис. 5.43,а, с нумерацией тел и шарниров (а) и ее ориентированный граф (б). Пунктирные дуги представляют шарниры, разрезаемые при выделении приведенной системы.

В разд. 5.2.1 функции были определены для Теперь их определение обобщается для всех значений так что указывают индексы вершин, в которых дуга соответственно начинается и кончается. Для ориентированного графа на рис. 5.44,б эти функции имеют следующие значения:

(см. скан)

В разд. 5.2.1 функции использовались для определения матрицы инцидентности ориентированного графа со структурой дерева (см. (5.41)). Обобщенная формула

определяет прямоугольную матрицу инцидентности для графа, не имеющего структуру дерева. Как и прежде, каждая вершина представляется одной строкой и каждая дуга — одним столбцом. Первые столбцов представляют собой матрицу инцидентности

приведенного графа. Полную матрицу расчленим на четыре субматрицы:

Например, для ориентированного графа, изображенного на рис. 5.44,б, матрица инцидентности и ее субматрицы имеют вид

Субматрицы и определяются ориентированным графом со структурой дерева. Они совпадают с одноименными матрицами в разд. 5.2.1, за исключением одного небольшого различия. В разд. 5.2.1 только первый элемент субматрицы был отличен от нуля, в то время как сейчас может быть отлично от нуля любое число элементов в зависимости от числа шарниров на теле 0. В уравнениях движения систем со структурой дерева важную роль играют матрицы и определяемые формулами (5.147) и (5.148). Здесь они определяются так же. Дополнительно вводятся матрицы Все четыре матрицы получаются из и соответственно, если в последних каждый элемент —1 заменить нулем.

К приведенному графу непосредственно применимо определение матрицы Т для графа со структурой дерева (см. (5.4)). Например, для приведенного графа, изображенного на рис. 5.44,б, матрица Т имеет вид

Для графа, не обладающего структурой дерева, определение матрицы Т нельзя обобщить так, чтобы дуги представлялись дополнительными строками. Причина заключается в том, что в графе с замкнутыми цепями путь между вершинами не определяется однозначно для всех вершин Следует отметить, что не все элементы в первой строке матрицы Т отличны от нуля, как это было в случае графа со структурой дерева, в котором только одна дуга инцидентна Сохраняются соотношения

Доказательство последнего соотношения точно такое же, как в разд. 5.2.1. В элемент равен . Только одна-единственная дуга дает вклад в эту сумму, а именно дуга, которая принадлежит пути между и которая инцидентна Для этой дуги имеют противоположные знаки. Отсюда следует первое соотношение.

Рис. 5.45. Ориентированный граф с правильной нумерацией для системы, изображенной на рис. 5.44,а

До сих пор нумерацию тел и шарниров приведенной системы мы считали произвольной. На практике так делать нежелательно. В разд. 5.2.1 для системы со структурой дерева, в которой на теле О имеется только один шарнир, было определено понятие правильной нумерации. Обобщим теперь это понятие на случай, когда в системе со структурой дерева, подобной приведенной системе, число шарниров на теле 0 произвольно. Предварительно мы установили, что приведенная система содержит столько независимых подсистем, сколько шарниров имеется на теле 0. Правильная нумерация обладает следующими свойствами. Набор индексов тел и набор индексов шарниров совпадают для каждой подсистемы и представляют собой непрерывный отрезок последовательности целых чисел. Кроме того, каждая подсистема обладает правильной нумерацией в смысле, определенном в разд. 5.2.1, т. е. дуга, предшествующая каждой из вершин, имеет тот же номер, что и эта вершина, и последовательность номеров вдоль пути от вершины к любой другой вершине монотонно возрастает. Например, на рис. 5.45 показан ориентированный граф для системы, изображенной

на рис. 5.44,а. В нем подграф, соответствующий приведенной системе, имеет правильную нумерацию. Эта приведенная система состоит из трех независимых подсистем, содержащих соответственно одно, два и четыре тела (не считая тела 0). Непрерывные отрезки чисел выбраны следующим образом: (1), (2, 3) и (4, 5, 6, 7). Матрица инцидентности и матрица Т имеют для этого графа особенно простую структуру:

(см. скан)