2.3. Соотношения между угловой скоростью тела и обобщенными координатами, описывающими угловую ориентацию тела

Вообще говоря, угловую скорость тела нельзя представить как производную по времени от другого вектора (такое представление возможно только в тривиальном случае, когда направление вектора со постоянно в теле). Поэтому координаты вектора в связанном с телом векторном базисе не являются обобщенными скоростями в смысле аналитической механики. Отсюда следует, что обобщенные координаты, характеризующие угловую ориентацию тела, нельзя определить в результате непосредственного интегрирования функций . Вместо этого необходимо интегрировать дифференциальные уравнения, в которых служат переменными коэффициентами. Эти уравнения будут выведены для случаев, когда в качестве обобщенных координат берутся направляющие косинусы, углы Эйлера, углы Брайнта и параметры Эйлера.

2.3.1. Направляющие косинусы

Пусть — угловая скорость жестко связанного с телом базиса относительно другого базиса — связанный с телом вектор с постоянной матрицей координат Тогда зависящая от времени матрица координат вектора дается выражением , где — матрица направляющих косинусов, связывающая два базиса. Производная по времени от есть

(здесь и далее в этой главе производные по времени от скаляров обозначаются точками). Та же самая величина получается в результате разложения вектора базисе Это дает . Из сравнения с соотношением (2.26) получаем . Поскольку это равенство имеет место для любой матрицы координат множители перед ней должны быть равны. Опуская верхний индекс и переходя в обеих частях равенства к транспонированным матрицам, получаем

Эти уравнения представляют собой искомые дифференциальные уравнения в матричной форме для девяти направляющих косинусов.

Они известны как уравнения Пуассона. Для отдельных элементов матрицы они имеют вид

Ввиду наличия шести уравнений связей (2.1) только три дифференциальных уравнения нуждаются в интегрировании.

2.3.2. Углы Эйлера

Из рис. 2.1 видно, что угловая скорость базиса относительно выражается в виде

Разложение в приводит к уравнениям в координатной форме

Разрешая эти уравнения относительно находим

Эти уравнения представляют собой искомые кинематические дифференциальные уравнения. Они снова показывают, что численные трудности возникают, если 0 близко к критическим значениям

2.3.3. Углы Брайнта

Согласно рис. 2.3,

Разложение в приводит к уравнениям в координатной форме

Разрешая их относительно , находим

Эти уравнения представляют собой кинематические дифференциальные уравнения для углов Брайнта. Они имеют особенность для критических значений . При выводе уравнений (2.6) было показано, что для малых углов ориентация тела в базисе в линейном приближении может быть описана вектором поворота с координатами . Из уравнений (2.31) следует, что в линейном приближении Поэтому угловая ориентация тела находится в результате непосредственного интегрирования:

Эти приближенные формулы для малых угловых перемещений часто используются в технических задачах.

2.3.4. Параметры Эйлера

Заменим в уравнениях Пуассона (2.27), которые можно записать в виде матрицы матрицей, транспонированной по отношению к матрице, фигурирующей в соотношении (2.13), и ее производной по времени соответственно

Отсюда получаем

Для упрощения этого выражения используем уравнение связи (2.12) и соотношение, получаемое в результате его дифференцирования

по времени:

Примем во внимание также уравнения (1.22) - (1.29). В уравнении (2.33) произведение последних двух выражений в скобках содержит среди других следующие члены:

С учетом этих выражений уравнение (2.33) можно переписать в виде

Используем в этом уравнении тождества

Они приводят выражение в квадратных скобках к . В результате получаем

или с учетом соотношения (1.29)

так что .

Таким образом, координаты вектора со в базисе представляются линейными комбинациями , а также . В явной форме эти уравнения даются тремя последними строками матричного уравнения

Первая строка представляет собой результат дифференцирования по времени уравнения связи. Она добавлена для того, чтобы матрица коэффициентов была квадратной. В силу уравнения связи эта матрица является ортогональной с определителем, равным единице. Поэтому ее обратная матрица равна транспонированной матрице. Разрешим последнее уравнение относительно и представим получаемый результат в виде

Рис. 2.8.

Эти уравнения представляют собой искомые кинематические дифференциальные уравнения для параметров Эйлера. Все четыре уравнения численно интегрируются. Уравнение связей служит для корректировки ошибок округления. Если после некоторого числа шагов интегрирования получаемые значения для строго не удовлетворяют уравнению связей, то вычисления следует продолжать не с скорректированных значений

Задачи

(см. скан)

Брайнта, т. е. как углы поворота внешней рамки вокруг внутренней рамки относительно внешней рамки и тела относительно внутренней рамки соответственно. Для плоскости рамок перпендикулярны одна другой, и, кроме того, базисные векторы и базиса отсчета, а также связанный с телом базисный вектор лежат в плоскости внешней рамки. Вывести выражение для матрицы направляющих косинусов и кинематические дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям (2.32).

3. Основные принципы динамики твердого тела

В динамике твердого тела двумя наиболее важными физическими величинами являются кинетическая энергия и момент количества движения. Обе непосредственно приводят к определению тензора инерции.