2.1.2. Углы Брайнта

Эти углы называют также углами Кардана. Угловая ориентация связанного с телом базиса представляется по-прежнему как результат последовательности трех поворотов, в начале которых этот базис совпадает с базисом отсчета. Первый поворот на угол выполняется вокруг оси приводит к вспомогательному базису (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Углы Брайнта

Рис. 2.4. Углы Брайнта для карданова подвеса.

Второй поворот на угол вокруг оси приводит к базису . Третий поворот на угол вокруг оси сообщает связанному с телом базису его окончательную ориентацию, которая на рис. 2.3 обозначена символом Уравнения преобразований для отдельных поворотов имеют вид

где

Матрица направляющих косинусов, связывающая равна произведению или в явном виде с использованием сокращенных обозначений

Единственное существенное отличие по сравнению с углами Эйлера состоит в том, что индексы осей поворотов определяются последовательностью (1, 2, 3). Углы Брайнта также можно проиллюстрировать на примере твердого тела в двухрамочном кардановом подвесе. Базисы связаны соответственно с неподвижным основанием и телом, как показано на рис. 2.4.

Рис. 2.5. Вращение неизменно связанного с телом вектора вокруг оси с единичным вектором и.

Углы в указанном порядке являются углом поворота внешней рамки относительно неподвижного основания, внутренней рамки относительно внешней и тела относительно внутренней рамки. Для три оси вращения взаимно ортогональны. Как и для углов Эйлера, существует критический случай, а именно , в котором плоскости двух рамок совпадают, так что оси поворотов на углы сливаются. В отличие от углов Эйлера не возникает математических особенностей, если все три угла близки к нулю. По этой причине углы Брайнта особенно

удобны в случаях, когда тело движется таким образом, что связанный с ним базис лишь незначительно отклоняется от . Для достаточно малых углов в линейном приближении имеем

Вводя в рассмотрение вектор с координатами это выражение можно записать в форме Отметим, что оно не зависит от того, интерпретируются ли как координаты в базисе или в базисе или в осях соответственно. Это можно показать следующим образом. Если через обозначить матрицу координат в то в линейном приближении матрицей координат в базисе будет . Эта матрица, в силу тождества (см. соотношение (1.26)), совпадает с . На основе изложенного заключаем, что в линейном приближении углы малых поворотов можно складывать как векторы.

В ряде случаев возникает необходимость в вычислении углов Брайнта по заданной матрице направляющих косинусов. Это можно сделать при помощи формул, получаемых из соотношения (2.5):