6.2. Мгновенные приращения скоростей

При предположениях предыдущего раздела задача удара сводится к определению двух групп механических величин. В первую группу входят мгновенные конечные приращения интересующих нас скоростей. Среди них могут быть первые производные от обобщенных координат, а также угловые скорости тел и скорости центров масс и других фиксированных в телах точек. Вторая группа включает внутренние импульсы и импульсные пары в шарнирах с голономными связями, а также импульс в точке соударения. Нахождение явного решения для указанных величин начнем с отыскания кинематического соотношения для двух фиксированных в телах соударяющихся точек. Мы различали два случая соударения. Для идеально пластического удара (случай (i)) кинематическое соотношение тривиально. Пусть — абсолютные скорости двух фиксированных в телах соударяющихся точек непосредственно перед ударом и — конечные приращения этих скоростей в результате удара. Условие, что относительная скорость соударяющихся точек непосредственно после удара равна нулю, имеет вид

Это и есть искомое соотношение для случая (i). Теперь рассмотрим случай (ii). На рис. 6.2 точка соударения обозначена через Р. Для данных рассуждений не имеет значения, принадлежат ли соударяющиеся тела различным системам или одной и той же системе многих тел. Не имеет значения также, сколько смежных тел связано шарнирами с соударяющимися телами. На рис. 6.2 для каждого из двух тел указано только по одному смежному телу. Разрежем все шарниры, а также материальный контакт соударяющихся тел в точке Р. В результате получим набор изолированных тел, каждое из которых во время удара подвергается импульсам и импульсным парам в точках, где были сделаны разрезы. Тела действуют друг на друга с импульсами, равными по величине и противоположными по направлению. На рис. 6.3 показано одно из соударяющихся тел со всеми импульсами и импульсными парами, которые действуют в фазе сжатия. В точке соударения приложен импульс Единичный вектор перпендикулярен к касательной плоскости в этой точке. Импульсы и импульсные

пары, действующие в разрезанном шарнире, эквивалентны одному импульсу , направленному к центру масс С тела, и одной импульсной паре Величины равны предельным значениям интегралов

где промежуток времени, соответствующий фазе сжатия. Величины суть импульсивные силы и моменты, величины которых конечны, пока конечно.

Рис. 6.2. Соударение двух тел, которые связаны с другими телами посредством .

Рис. 6.3. Распределение импульсов и импульсных пар при выделении одного из соударяющихся тел, изображенных на рис. 6.2.

Закон Ньютона и теорема о моменте количества движения для тела имеют вид

Интегрирование от до в пределе при дает

(член конечен, и в пределе интеграл от него равен нулю). Величина представляет собой конечное приращение абсолютной скорости центра масс тела в фазе сжатия. Аналогично есть приращение абсолютной угловой скорости в фазе сжатия. Точка приложения импульса также испытывает приращение скорости, равное

Это кинематическое соотношение, справедливое для абсолютно твердого тела, применимо в данном случае, так как скорость деформации

тела в начале и в конце фазы сжатия равна нулю. Аналогичные уравнения справедливы и для другого соударяющегося тела, показанного на рис. 6.2. В частности, они определяют приращение скорости точки тела, совпадающей с Р. В конце фазы сжатия две фиксированные в телах соударяющиеся точки имеют скорость относительно друг друга, компонента которой вдоль единичного вектора равна нулю. Это можно выразить в форме

где — абсолютные скорости двух указанных точек непосредственно перед ударом. Динамические уравнения (6.5), а также кинематические уравнения (6.6) и (6.7) являются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами и неизвестными приращениями скоростей, импульсами и импульсными парами. Это позволяет сделать заключение, что для всех этих неизвестных существуют соотношения типа (6.1). В частности, суть приращения скоростей двух соударяющихся точек тел между моментами времени непосредственно до удара и непосредственно после него. С учетом этих соотношений предыдущее уравнение принимает вид

или

Величина в левой части уравнения есть компонента вдоль относительной скорости двух соударяющихся точек тел непосредственно после удара. Она равна аналогичной величине непосредственно перед ударом, умноженной на . Это и есть искомое кинематическое соотношение для случая Оно имеет ту же простую форму, как в классической теории соударения двух абсолютно твердых тел (ср. Раус [36]).

Теперь мы имеем простую процедуру определения всех интересующих нас приращений скоростей, которые возникают при соударении двух систем многих тел или при соударении двух тел одной и той же системы многих тел. Эти два случая снова показаны на рис. 6.4,а,б. Соударяющиеся тела снабжены номерами . Точки соударения тел определяются фиксированными в телах векторами проведенными из их центров масс. Импульс взаимодействия , которым обмениваются тела, является неизвестной величиной. Она должна определяться вместе с приращениями скоростей. Импульсы, приложенные к соударяющимся телам, равны по величине и противоположны по направлению. Положения и скорости всех участвующих в процессе тел непосредственно перед ударом считаются известными. Пусть

и приращения абсолютных скоростей фиксированных в телах соударяющихся точек. Как было показано, приращения скоростей связаны с импульсами линейными соотношениями с постоянными коэффициентами. Эти коэффициенты не могут быть скалярами, так как из равенства со скаляром а следовало бы, что имеет направление вектора . В общем случае это, конечно, неверно. Наиболее общая линейная функция от вектора есть скалярное произведение этого вектора на тензор, как, например, член в (6.5). Тогда соотношения для при соударении двух систем многих тел запишутся в виде

и для соударения внутри одной системы многих тел в виде

Рис. 6.4. Соударение между двумя системами (а) и между двумя телами, принадлежащими одной и той же системе (б).

Тензоры и пока не определены. Они постоянны и зависят только от состояния системы (или систем) непосредственно перед ударом. Как они определяются, будет показано ниже. Допустим на время, что они известны. Предположим, что соударяются две системы (рис. 6.4,а) и удар идеально пластический. Последнее предположение означает, что справедливо соотношение (6.3) с заменой индексов 1 и 2 соответственно на . Откуда с использованием (6.9) получаем

или

Чтобы разрешить это уравнение относительно запишем его в координатной форме, разлагая все тензоры в некоторой общей

системе отсчета, например в базисе тела 0. Тогда получим матричное уравнение

со скалярной -матрицей и со скалярными матрицами-столбцами Решение в рассматриваемом случае идеально пластического удара двух систем многих тел имеет вид

Обратная матрица существует, если существует единственное решение для т. е. если задача имеет физический смысл. Используя это выражение для импульса взаимодействия, приращения скоростей можно получить по формулам (6.9). Наконец, можно определить все остальные интересующие нас приращения скоростей, так как они тоже представляются линейными функциями от Коэффициенты этих функций, конечно, еще подлежат определению, что будет сделано ниже. Если удар двух систем многих тел не является идеально пластическим, но отсутствует трение, то вместо соотношения (6.3) нужно взять (6.8). Неизвестный импульс имеет направление единичного вектора и поэтому можно записать Подставляя это выражение и (6.9) в (6.8), получим

Таким образом, в случае удара двух систем многих тел при отсутствии трения скалярная величина вектора выражается соотношением

Рассуждения, проведенные сейчас для случая соударения систем многих тел, полностью переносятся на случай соударения внутри одной системы многих тел. Тогда формулы (6.9) заменяются соотношениями (6.10), и результат в случае идеально пластического соударения внутри одной системы многих тел принимает вид

и в случае соударения внутри одной системы многих тел при отсутствии трения вид

Определим теперь тензоры , а также все другие тензоры, которые связывают приращения скоростей с импульсами. Для указанных выше задач было бы достаточно рассмотреть одну систему многих тел, в которой на два различных тела к и I одновременно действуют импульсы и . Этот случай показан на рис. 6.4,б. В частности, он включает в себя случай, представленный на рис. 6.4,а, где в системе многих тел приложен только один импульс. Однако, имея в виду задачи, которые будут рассматриваться далее, остановимся сейчас на более общей ситуации.

Предположим, что одновременно действующие импульсы приложены не только к двум, но и ко всем телам системы многих тел. Импульс, приложенный к телу назовем Он приложен в точке, расположение которой определяется фиксированным в теле вектором проведенным из центра масс тела (рис. 6.5). Для еще большей общности предположим, что каждое тело в то же самое время подвержено импульсной паре . В качестве мотивировки такой постановки задачи, наверное, достаточно будет сказать, что некоторые из этих импульсов и импульсных пар в дальнейшем будут интерпретироваться как внутренние импульсы и импульсные пары в разрезанных шарнирах. Уравнения, которые нам предстоит вывести, будут служить также для определения и этих неизвестных величин.

Рис. 6.5. Система, в которой к каждому телу приложены один импульс и одна импульсная пара.

Искомые соотношения для приращений скоростей можно получить из дифференциальных уравнений непрерывного движения системы многих тел. С этой целью предположим, что входящие в эти уравнения внешние силы и моменты суть импульсные силы и моменты, которые действуют в течение интервала времени . Предположим также, что их интегралы по времени от до в пределе при равны указанным выше импульсам и импульсным парам. Тогда искомые соотношения получаются интегрированием дифференциальных уравнений на интервале времени в пределе при Этот способ уже использовался при выводе (6.5) из (6.4). В качестве наиболее общей системы дифференциальных

уравнений движения возьмем систему (5.204):

Она справедлива для систем с замкнутыми цепями. Для систем без замкнутых кинематических цепей матрица Я отсутствует, и уравнения имеют более простую форму:

где соответствует замкнутым некинематическим цепям. Входящие в (6.15) матрицы определяются формулами (5.171), (5.172), (5.213), (5.189) и (5.201). Внешние силы и моменты, действующие на тела системы, входят только в матрицу В. Ее можно представить в виде

где — сумма всех членов, которые не зависят от внешних сил и моментов. Матрицы коэффициентов при и М определены в предположении, что линия действия силы приложенной к телу проходит через центр масс этого тела (см. рис. 5.11). Однако в данном случае мы должны рассматривать силы приложенные в точках, определяемых векторами (рис. 6.5). Чтобы формулу для В приспособить к этому случаю, нужно к добавить момент . Матрица-столбец состоящая из этих моментов, запишется в виде , где — та же матрица, что и в (6.16), диагональная -матрица с элементами

В формуле (6.16) заменим М на . В силу тождества матрица В принимает вид

Подставляя это выражение в уравнение (6.15), получим

Матрица-столбец заключает в себе все члены, которые не зависят от внешних сил и моментов. Она зависит от обобщенных координат системы, обобщенных скоростей и времени и, следовательно, конечна во все моменты времени, даже в момент, когда система подвергается удару. Это значит, что интеграл от матрицы

в пределах от до при в пределе равен нулю. Матрицы коэффициентов при и зависят от обобщенных координат и времени, но не от обобщенных скоростей. Поэтому при интегрировании уравнений движения на интервале от до в предельном случае их можно рассматривать как константы. Интегрирование дает

При отсутствии в системе замкнутых кинематических цепей соотношение (6.18) имеет более простую форму:

Это и есть искомое соотношение между приращениями обобщенных скоростей и внешними импульсами и импульсными парами Теперь несложно определить приращение любой другой скорости в системе. Например, из формулы (5.130), связывающей абсолютные угловые скорости тел с следует

Аналогично из уравнения (5.158) после интегрирования и перехода к пределу при получаем

Матрица-столбец в левой части содержит приращения абсолютных скоростей центров масс тел. Наконец, можно определить приращения скоростей точек приложения импульсов. Кинематические соотношения

запишем в матричной форме:

Здесь матрица та же, что в (6.18), — матрица-столбец . Используя формулы (6.21) и (6.20) для получим

или с учетом (6.18)

где и — тензорные матрицы:

Матрица сопряженно симметрическая, т. е. ее элементы удовлетворяют условию — тензор, сопряженный по отношению к при . Для самой матрицы это условие можно выразить в символической форме Если в рассматриваемой системе нет замкнутых кинематических цепей, то члена в центральной матрице в формулах для и V не будет.

Вернемся теперь к задаче соударения между двумя телами, принадлежащими либо двум различным системам, либо одной и той же системе многих тел. Определим сначала тензоры входящие в (6.11) — (6.14). Они были введены в формулах (6.9) и (6.10) как элементы матрицы коэффициентов в соотношении, связывающем Следовательно, они являются элементами определенной выше сопряженно симметрической матрицы Если соударяются два тела одной и той же системы многих тел, то все четыре коэффициента являются элементами матрицы для этой системы. Если же соударяющиеся тела к и I принадлежат к двум различным системам, то матрица должна вычисляться для каждой системы в отдельности. Одна матрица содержит а другая Зная эти тензоры, импульс взаимодействия можно определить по одной из формул этом случае будет известна также матрица в соотношении (6.18). Матрица М равна нулю. Уравнение (6.18) дает приращение скоростей Затем из (6.20), (6.21) и (6.24) получаем Таким образом вычисляются все интересующие нас приращения скоростей.