3.5. Принцип Даламбера в применении к твердому телу

Принцип Даламбера в общей форме

справедлив для любой материальной системы (аксиома). Интеграл берется по всей массе системы. Вектор z есть радиус-вектор материальной частицы относительно точки, которая неподвижна в инерциальном пространстве. Вторая производная представляет собой абсолютное ускорение материальной частицы, — вариацию т. е. любое произвольное бесконечно малое перемещениег допускаемое всеми наложенными на систему связями. Величина представляет собой внешнюю силу, действующую на элементарную массу, а — полную виртуальную работу, производимую внутренними силами при изменении положения системы. Для применения принципа Даламбера к твердому телу полезно ввести точку отсчета Р, которая может быть или неподвижной в теле, или двигаться относительно него. Используя обозначения рис. имеем

Как и в уравнении (3.17), представляет собой ускорение не точки Р, а той точки твердого тела, с которой в данный момент совпадает точка абсолютная вторая производная по времени неподвижного в теле вектора, проведенного из этой точки к материальной частице. Аналогично вариация есть сумма где — вариация вектора неподвижного в теле. Согласно теореме Эйлера, любое (конечное или бесконечно малое) изменение угловой ориентации тела можно представить как поворот на некоторый угол вокруг некоторой неподвижной в теле оси. Поэтому вариацию можно представить в форме

где вектор имеет направление оси поворота и модуль, равный углу поворота вокруг этой оси. Виртуальная работа равна нулю, потому что в твердом теле не существует относительных перемещений частиц, на которых внутренние силы совершали бы работу. Принимая это во внимание и подставляя равенства (3.23) и (3.24) в принцип Даламбера, получаем

Операции скалярного и векторного умножений можно поменять местами. Полагая имеем

Сумма представляет собой абсолютное ускорение центра масс тела. Первый интеграл дает главный момент внешних

сил относительно точки Р. Второй интеграл представляет собой абсолютную производную по времени от интеграла который с учетом выражения (3.7) равен . Поэтому последнее уравнение можно представить в виде

Если на тело не наложено никаких связей, то вариации независимы. Тогда принцип Даламбера приводит к уравнениям

и

Эти уравнения представляют собой вторую аксиому Ньютона и аксиому Эйлера в общей форме уравнения (3.20) соответственно. Итак, показано, что для твердого тела принцип Даламбера эквивалентен этим двум аксиомам. Однако это не единственный полезный результат. В разд. 5.2.8 будет показано, что уравнения движения сложных систем можно непосредственно получить из уравнения (3.25) в случаях, когда вариации не являются независимыми (см. также задачу 3.6).

Задача

(см. скан)