5.2.8. Системы с произвольными голономными связями в шарнирах

В предыдущем разделе были изучены системы многих тел с шарнирами специальных типов. В настоящем разделе вводятся в рассмотрение шарниры с произвольными голономными связями (случай неголономных связей будет рассмотрен в разд. 5.3.2). Связи могут быть либо стационарными, либо нестационарными. На рис. 5.34, а - е приведено шесть примеров шарниров со стационарными связями. Тела, связанные этими шарнирами, имеют соответственно одну, две, три, четыре, пять и шесть степеней свободы в их движении друг относительно друга. На рис. 5.34,в тела контактируют постоянно плоскими поверхностями. На рис. 5.34,г одно из тел представляет маятник, точка подвеса которого может свободно перемещаться вдоль направляющей, фиксированной на другом теле. На рис. 5.34, д каждое тело имеет свою собственную направляющую. Направляющие вынуждены соприкасаться друг с другом, но могут свободно скользить одна вдоль другой. На рис. 5.34,е единственная внутренняя шарнирная сила вызывается пружиной. Вырожденный случай, в котором даже эта пружина отсутствует, не выпадает из правила. Шарниры с нестационарными связями получаются, например, в случае, когда форма направляющих на рис. 5.33, г и д меняется согласно некоторой заданной функции времени.

В системе семи тел, изображенной на рис. 5.35, шарниры помечены просто символом без всякого указания их конкретных

свойств. Предполагается, что эти свойства должны быть перечислены отдельно. Движение тела 0 относительно инерциального пространства считается заданным в виде функции времени. Нумерация тел и шарниров здесь такая же, как на рис. 5.8, а, так что можно использовать снова ориентированный граф системы на рис. 5.8, в и соответствующие матрицы . С телом 0 неизменно связан векторный базис . Шарнир номер 1 между телами 0 и 1 может быть материальным. Он может быть также фиктивным шарниром в смысле разд. 5.1. В последнем случае не требуется, чтобы тело 0 было материальным.

Рис. 5.34. (см. скан) Шесть шарниров с 1, 2, 3, 4. 5 и 6 степенями свободы.

Представляет интерес только система отсчета движение которой относительно инерциального пространства задано в виде некоторой подходящим образом выбранной функции времени. В противоположность предыдущему разделу нет больше необходимости в разной записи уравнений движения для систем с материальным шарниром 1 и для систем с фиктивным шарниром 1. Причина заключается в том, что любой шарнир может быть шарниром без сил реакций связей, так же как без других внутренних сил, так что случай фиктивного шарнира больше не является исключительным. Тем не менее возможно выписать специальную систему уравнений движения для систем, в которых шарнир 1 является фиктивным.

Как и в разд. 5.2.4, эта система уравнений состоит из уравнения, описывающего движение центра масс всей системы, и системы

уравнений, описывающих движение относительно этого центра масс. В практических приложениях использование специальных уравнений часто бывает выгодным. С точки зрения точности вычислений они могут быть даже необходимы.

Рис. 5.35. Система с шарнирами с произвольными голономными связями. Шарниры указаны буквой Н.

Поэтому далее будут приведены обе системы уравнений. Их вывод в большей части идентичен. Подразделы, которые относятся только к специальным уравнениям, будут помечаться как частный случай. Будут нужны только два таких подраздела. Один, очень короткий, будет введен в самом начале. Другой следует после уравнений, применимых в обоих случаях, которые будут выведены в дальнейшем.