5.3.2.2. Возможная работа в разрезанных шарнирах

В уравнениях движения (5.204) детально определены все члены, кроме . В этом разделе мы получим ниже явное выражение для матрицы Б. Исследование начнем с принципа Даламбера в форме уравнения (5.187), где член определен как возможная работа, совершаемая во всех разрезанных шарнирах в результате вариации обобщенных координат приведенной системы. Пусть — возможная работа в разрезанном шарнире с номером а, так что

Возможная работа выражается наиболее просто через величины, которые описывают положение и угловую ориентацию двух тел, соединенных шарниром а, одно относительно другого. Тогда для разрезанных шарниров естественно ввести такие же кинематические характеристики, как те, которые использовались для шарниров приведенной системы. Эти величины представляют собой шарнирный вектор вместе с его первой производной по времени и вариацией обе относительно базиса матрицы преобразования относительные угловые скорости и векторы которые обозначают вариации относительных угловых ориентаций. Для разрезанных шарниров с номерами должны быть введены, помимо векторов новые фиксированные в телах векторы Рис. 5.36 справедлив также и для этих шарниров. В разд. 5.2.2 предполагалось, что векторы равны нулю, если шарнир а расположен не на теле Это определение распространяется теперь на все шарниры .

Ясно, что все кинематические характеристики, связанные с разрезанными шарнирами, т. е. выражаются через обобщенные координаты приведенной системы, а также первые производные по времени и вариации этих координат. Сейчас мы получим явные формулы для указанных величин. Начнем с рассмотрения вектора Из рис. 5.36 следует

Используя элементы введенных матриц и получим

Вводя матрицу-столбец матрицу-строку

и матрицу С, элементы которой суть фиксированные в телах векторы:

все соотношений можно объединить в матричной записи:

Матрицы соответствуют связанным с приведенной системой матрицам соответственно. Заметим, что величины, подобные и т. д., которые относятся ко всему множеству разрезанных шарниров, отмечаются звездочкой, в то время как звездочка не используется для величин, относящихся к конкретному шарниру, например принадлежность которых к разрезанному шарниру определяется индексами Подстановка формулы (5.136) для в (5.206) дает

Член есть матрица-столбец, элемент которой равен сумме всех элементов столбца матрицы инцидентности. Так как каждый столбец содержит ровно один элемент и ровно один элемент —1, эта сумма равна нулю. Оставшуюся часть примем в качестве окончательного результата:

Все величины в правой части являются известными функциями обобщенных координат.

Раскроем теперь выражение для матрицы-столбца . Так как каждый ее элемент равен скорости одной точки системы относительно другой точки, то заранее можно сказать, что не зависит Поэтому далее эти величины будем обозначать просто многоточием. В соответствии с (5.206)

матрица-столбец имеет вид

Производные связаны соотношением

Матрица определяется по аналогии с (см. (5.151)). Ее элементы равны

С помощью этой матрицы соотношения для можно объединить в матричной записи:

или после подстановки указанного выше выражения для

Матрица получается дифференцированием соотношения (5.136). Последние два члена содержат только и векторы, которые фиксированы в теле 0, так что их производные по времени можно не выписывать. Тогда остается

откуда следует

В силу свойства, объясняемого соотношением (5.140), первый член имеет вид

Для отдельных элементов выполняются соотношения

В матричной форме они примут вид

так что определяется выражением

Подставляя формулу (5.130) для и полагая и что следует из (5.114), окончательно получим

Здесь больше не нужны точки, указывающие йевыписанные члены, так как известно, что в окончательном результате все невыписанные члены взаимно уничтожаются Все величины, входящие в это выражение, являются известными функциями обобщенных координат. Из соотношения для сразу следует, что матрица-столбец имеет вид

Следующими величинами, которые необходимо выразить через обобщенные координаты, являются матрицы преобразования для . Матрицы преобразования определяемые соотношениями суть известные функции обобщенных координат (см. (5.134)). Следовательно,

уже являются искомыми соотношениями.

Рассмотрим теперь относительные угловые скорости По определению имеем

или

Вводя матрицу-столбец последнее соотношение перепишем в матричной форме:

Подставляя по формуле (5.122), получим

Множитель при равен нулю, поэтому с учетом (5.129) окончательный результат можно представить в виде

Для матрицы-столбца это соотношение дает

В формулах (5.207) — (5.212) все кинематические характеристики, связанные с разрезанными шарнирами, выражены явно как функции обобщенных координат приведенной системы, а также первых производных по времени и вариаций от этих координат.

Теперь мы в состоянии раскрыть в соотношении (5.205) выражение для матрицы В. Выражение для возможной работы в разрезанном шарнире а должно быть линейным по что его можно за исать в виде

Этим соотношением вводятся эквивалентные внутренние шарнирные сила и момент Оно имеет тот же вид, что и (5.169) для шарниров приведенной системы. Полная возможная работа, совершаемая во всех разрезанных шарнирах, принимает вид

где X и Y — матрицы-столбцы соответственно. Если теперь заменить выражениями (5.209) и (5.212) соответственно, то, как легко видеть, матрица В имеет вид

Элементы матриц в правой части являются либо постоянными скалярными величинами либо векторами с постоянными

координатами в базисах, фиксированных в телах, , либо переменными векторами, координаты которых в базисах, фиксированных в телах, представляют собой известные функции обобщенных координат переменными векторами, являющимися функциями величин, которые в свою очередь являются функциями обобщенных координат Силы и моменты, из которых складываются в каждом конкретном случае применения можно выразить как функции от , а следовательно, посредством формул (5.207) — (5.211) как функции обобщенных координат. Пример рассматривается в иллюстративном примере 5.3. С указанным выражением для 5 уравнения движения (5.204) принимают форму, применимую к любой системе твердых тел и требующую от пользователя минимального количества подготовительной работы.