Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 6.3. Аналогия с законом Максвелла и БеттиПродолжим сейчас обсуждение общей задачи, в которой импульсы и импульсные пары действуют на все тела. Если выражение (6.18) для к виду
Матрица коэффициентов при
Подобно
то матрица коэффициентов в правой части также является сопряженно симметрической. Перейдем к координатной записи этого уравнения, которая получается, если все векторы и тензоры заменить соответствующими матрицами координат, измеренными в общей системе отсчета. Тогда соответствующая
Матрицы-столбцы не только в том, что матрицы коэффициентов в обоих уравнениях оказываются сопряженно симметрическими. Существует также тесное соответствие между векторными величинами, входящими в матрицы-столбцы. Лучше всего это можно показать, выписывая определение импульса, импульсной пары, приращения скорости и приращения угловой скорости в виде
Величины
Рис. 6.6. Система под действием двух импульсов и импульсных пар. Покажем седчас, что энергетический подход, который приводит к закону Максвелла и Бетти, можно перефразировать в полностью аналогичной форме так, чтобы доказать, что матрица в (6.29) является сопряженно симметрической. Достаточно рассмотреть следующую задачу. В произвольной голономной системе многих тел к двум произвольно выбранным телам, помеченным номерами 1 и 2, прилагаются импульсы
причем предполагается, что относительно матрицы коэффициентов ничего неизвестно. Нужно показать, что коэффициенты удовлетворяют условиям симметрии
Этим будет показано также, что матрица в (6.29) является сопряженно симметрической, так как соотношение (6.31) выполняется для произвольных точек приложения
На рис. 6.7,а показана функция это условие. На рис. 6.7,б начерчена аналогичная диаграмма для величины
Рис. 6.7. Скорость В пределе при
Во втором эксперименте система находится в том же самом начальном состоянии
Из принципа суперпозиции, применимого здесь в силу линейности (6.31), следует равенство работ
Четыре величины При записи соотношения (6.31) предполагалось, что тела 1 и 2 различны. Однако, как оказывается, это предположение не играет никакой роли в приведенном доказательстве. Поэтому можно провести дальнейшее обобщение уравнения (6.29), чтобы охватить также следующий случай. На каждое тело Введем матрицы-столбцы
Каждая имеет
также является сопряженно симметрической. Явное выражение этой матрицы можно получить простой модификацией цепочки рассуждений, которая ведет от уравнения (6.15) к (6.29). В формуле (6.17) для В матрица
Рис. 6.8. Тело с двумя импульсами, приложенными в различных точках. Произведение
состоящей из
Матрица М в (6.17) заменяется суммой
которая может быть записана в виде
В этих обозначениях формула (6.17) принимает вид
Тогда вместо (6.18) получим
Формулы (6.20) — (6.22) остаются неизменными, в то время как (6.23) заменяется соотношением
(знак транспонирования в формуле (6.23) не требовался, так как матрица
Из (6.21) и (6.33) следует
Подставляя это выражение, а также выражения для
где
и
Матрица
Это и есть желаемая обобщенная форма уравнения (6.29). Матрица коэффициентов снова сопряженно симметрическая.
Рис. 6.9. Одно тело со связью и внешним импульсом, приложенным в точке Иллюстративный пример 6.1. Точка Решение. Вместо применения формулы (6.36) к рассматриваемому простому случаю выведем требуемое соотношение из основных уравнений динамики твердого тела. Повторение шага преобразований от (6.4) к (6.5) в данном случае приводит к уравнениям
где
После разложения всех указанных соотношений в некоторой общей системе отсчета получим выражения координатных матриц для векторов
или в матричной форме (Е — единичная матрица)
Это соотношение представляет собой скалярную запись уравнения (6.36). Матрица коэффициентов симметрическая. Если для разложения векторов и тензоров использовать базис, изображенный на рис. 6.9, с базисным вектором
и
Подчеркнутые величины неизвестны. Они легко определяются из указанного матричного уравнения,
|
1 |
Оглавление
|