6.3. Аналогия с законом Максвелла и Бетти

Продолжим сейчас обсуждение общей задачи, в которой импульсы и импульсные пары действуют на все тела. Если выражение (6.18) для подставить в (6.20), то преобразуется

к виду

Матрица коэффициентов при является сопряженной и транспонированной по отношению к матрице V из (6.25), т. е. ее элементы равны . Тензорная матрица имеет вид

Подобно она является сопряженно симметрической. Если объединить уравнения для в виде

то матрица коэффициентов в правой части также является сопряженно симметрической. Перейдем к координатной записи этого уравнения, которая получается, если все векторы и тензоры заменить соответствующими матрицами координат, измеренными в общей системе отсчета. Тогда соответствующая -матрица коэффициентов будет симметрической. Эта симметрия устанавливает аналогию между динамикой твердых тел и эластостатикой. В эластостатике рассматривается следующая задача. Линейно-упругая структура, находящаяся в состоянии равновесия, подвергается действию сил и пар в точках в каждой точке действуют одна сила и одна пара Существует линейное соотношение вида

Матрицы-столбцы образованы из векторов каждая. Матрицы содержат соответственно силы и пары, — перемещения точек из их положений в ненагруженном состоянии и — углы поворота системы в точках (углы малых поворотов могут рассматриваться как векторы). Закон Максвелла и Бетти утверждает, что в соответствующем координатном представлении уравнения (6.30) матрица коэффициентов является симметрической. Это значит, что тензорная матрица коэффициентов является сопряженно симметрической, т. е. Следовательно, это уравнение аналогично (6.29). Аналогия проявляется

не только в том, что матрицы коэффициентов в обоих уравнениях оказываются сопряженно симметрическими. Существует также тесное соответствие между векторными величинами, входящими в матрицы-столбцы. Лучше всего это можно показать, выписывая определение импульса, импульсной пары, приращения скорости и приращения угловой скорости в виде

Величины и в этих соотношениях суть силы, моменты, перемещения и углы поворота в системе многих тел, которые определяются точно так же, как одноименные величины в упругой системе. Отметим, однако, следующее различие между рассматриваемыми двумя задачами. Закон Максвелла и Бетти выводится из рассмотрения энергии. Такой подход не позволяет получить в замкнутой форме выражение для матрицы в уравнении (6.30). В действительности это выражение в замкнутой форме никогда не известно, за исключением простейших типов упругих структур (например, ферма). В противоположность этому для матрицы в уравнении (6.29) выражение в замкнутой форме было получено в виде формул (6.26) — (6.28), которые охватывают все голономные системы многих тел.

Рис. 6.6. Система под действием двух импульсов и импульсных пар.

Покажем седчас, что энергетический подход, который приводит к закону Максвелла и Бетти, можно перефразировать в полностью аналогичной форме так, чтобы доказать, что матрица в (6.29) является сопряженно симметрической. Достаточно рассмотреть следующую задачу. В произвольной голономной системе многих тел к двум произвольно выбранным телам, помеченным номерами 1 и 2, прилагаются импульсы в точках соответственно (рис. 6.6). В то же самое время тела 1 и 2 подвергаются также действию импульсных пар соответственно. Модули импульсов и импульсных пар будем обозначать через соответственно. Точка испытывает приращение скорости. Алгебраическую величину компоненты этого приращения в направлении обозначим через Аналогично

обозначает алгебраическую величину компоненты вдоль приращения абсолютной угловой скорости тела Указанные скалярные величины связаны соотношением

причем предполагается, что относительно матрицы коэффициентов ничего неизвестно. Нужно показать, что коэффициенты удовлетворяют условиям симметрии

Этим будет показано также, что матрица в (6.29) является сопряженно симметрической, так как соотношение (6.31) выполняется для произвольных точек приложения а также для произвольных направлений импульсов и импульсных пар. Справедливость условий (6.32) будет показана в результате сопоставления выражений для работы, получающихся в двух экспериментах. Первый эксперимент состоит в следующем. Импульс и импульсная пара заменяются соответственно импульсивной силой и импульсивным моментом которые имеют конечную величину, постоянны и действуют в течение конечного интервала времени от до Непосредственно вслед за ними от до действуют импульсивная сила и импульсивный момент конечные по величине и постоянные; они заменяют Силы и моменты выбираются так, чтобы их интегралы по времени на соответствующих интервалах интегрирования длины были равны соответствующим заданным импульсам и импульсным парам. Для их модулей получаем соотношения

На рис. 6.7,а показана функция Она является алгебраической величиной компоненты вдольх абсолютной скорости точки . В момент она имеет определенное заданное начальное значение . В пределе при ее значения в моменты согласно (6.31), равны соответственно. Кусочно-линейная зависимость от времени будет соблюдаться, если на всем интервале от до положение системы остается неизменным. Чем меньше тем более точно выполняется

это условие. На рис. 6.7,б начерчена аналогичная диаграмма для величины . Кроме того, существуют еще две такие диаграммы для Заштрихованные площади представляют перемещения точек вдоль которых совершают работу силы и соответственно. Работа, совершаемая конечными моментами, может быть представлена аналогичным образом на диаграммах для Полная работа, совершаемая на интервале времени от до равна

Рис. 6.7. Скорость точки в направлении в первом эксперименте на на б). Заштрихованные площади представляют перемещения, вдоль которых силы совершают работу.

В пределе при эта работа равна

Во втором эксперименте система находится в том же самом начальном состоянии и затем подвергается тем же самым конечным силам и моментам, как и в первом эксперименте. Однако на этот раз тела нагружаются в обратном порядке, т. е. действуют от до от до

Работа, совершаемая при таком процессе, в пределе при равна

Из принципа суперпозиции, применимого здесь в силу линейности (6.31), следует равенство работ которое приводит к уравнению

Четыре величины не зависят одна от другой. Приравнивая две из них нулю для всех возможных комбинаций, получим требуемые соотношения симметрии (6.32) для всех комбинаций индексов кроме и . Для того чтобы охватить и эти комбинации, необходимо рассмотреть еще два эксперимента, в которых импульсивные силы и моменты прикладываются в иной последовательности. Доказательство закончено.

При записи соотношения (6.31) предполагалось, что тела 1 и 2 различны. Однако, как оказывается, это предположение не играет никакой роли в приведенном доказательстве. Поэтому можно провести дальнейшее обобщение уравнения (6.29), чтобы охватить также следующий случай. На каждое тело голономной системы многих тел действуют одновременно одна импульсная пара импульсов Импульсы прилагаются в различных точках, положения которых определяются фиксированными в теле векторами . На рис. 6.8 в качестве примера показано тело к с импульсами. Приращения абсолютных скоростей точек приложения импульсов обозначим через

Введем матрицы-столбцы

Каждая имеет элементов. Матрицы определяются, как и раньше. Из соотношений (6.32) следует, что матрица коэффициентов, связывающая матрицы-столбцы

также является сопряженно симметрической. Явное выражение этой матрицы можно получить простой модификацией цепочки рассуждений, которая ведет от уравнения (6.15) к (6.29). В формуле (6.17) для В матрица принимает вид

Рис. 6.8. Тело с двумя импульсами, приложенными в различных точках.

Произведение обозначенное через можно переписать в виде произведения матрицы-столбца

состоящей из элементов, и -матрицы Р, имеющей структуру

Матрица М в (6.17) заменяется суммой

которая может быть записана в виде , где квазидиагональная -матрица:

В этих обозначениях формула (6.17) принимает вид

Тогда вместо (6.18) получим

Формулы (6.20) — (6.22) остаются неизменными, в то время как (6.23) заменяется соотношением

(знак транспонирования в формуле (6.23) не требовался, так как матрица диагональная). Матрица-столбец имеет вид

Из (6.21) и (6.33) следует

Подставляя это выражение, а также выражения для в (6.35), получим

где

и принимает вид

Матрица та же, что в (6.28). Формулы для объединяются в единой записи:

Это и есть желаемая обобщенная форма уравнения (6.29). Матрица коэффициентов снова сопряженно симметрическая.

Рис. 6.9. Одно тело со связью и внешним импульсом, приложенным в точке

Иллюстративный пример 6.1. Точка твердого тела, изображенного на рис. 6.9, вынуждена двигаться по прямолинейной направляющей. В точке тело подвергается действию заданного импульса Точки определяются фиксированными в теле, проведенными из его центра масс векторами соответственно. Определить импульс реакции, действующей на тело со стороны направляющей в точке приращения скоростей точек а также приращение угловой скорости .

Решение. Вместо применения формулы (6.36) к рассматриваемому простому случаю выведем требуемое соотношение из основных уравнений динамики твердого тела. Повторение шага преобразований от (6.4) к (6.5) в данном случае приводит к уравнениям

где . Кинематические соотношения имеют вид

После разложения всех указанных соотношений в некоторой общей системе отсчета получим выражения координатных матриц для векторов

или в матричной форме (Е — единичная матрица)

Это соотношение представляет собой скалярную запись уравнения (6.36). Матрица коэффициентов симметрическая.

Если для разложения векторов и тензоров использовать базис, изображенный на рис. 6.9, с базисным вектором ориентированным вдоль направляющей, то рассматриваемые матрицы-столбцы принимают вид

и

Подчеркнутые величины неизвестны. Они легко определяются из указанного матричного уравнения,