5.2.8.3. Кинематика движения тел относительно инерциального пространства
Обратимся теперь к кинематике движения тел относительно инерциального пространства. Рассмотрим сначала абсолютные угдовые скорости
. Они связаны с относительными
угловыми скоростями
уравнениями
Эти уравнения можно переписать в виде
или как матричное уравнение
с матрицами-столбцами
и
. Умножение слева на
дает
Отсюда получаем формулу для абсолютной угловой скорости тела
и, следовательно, для абсолютного углового ускорения
где
Эти
уравнений объединим снова в одно матричное уравнение;
с матрицами-столбцами
. Согласно (5.117), элементы
матрицы и представляют собой линейные комбинации вторых производных по времени от обобщенных координат. Следовательно, матрицу-столбец
можно представить в виде
где матрицы в правой части определены следующим образом. Символ
обозначает матрицу-столбец:
Число элементов в ней равно полному числу степеней свободы всей системы. В последующем это число будем обозначать через
Оно вычисляется как
. Прямоугольная матрица
имеет
строк и
столбцов. Каждый столбец соответствует одному шарниру. Эта матрица имеет квазидиагональную структуру. Матрица, транспонированная к ней, имеет вид
Наконец, матрица-столбец
имеет в качестве элементов члены, определенные в (5.118). С использованием (5.125) матрица-столбец абсолютных угловых ускорений в (5.124) приводится к виду
где
Это выражение для (о является первым, которое готово для подстановки в уравнение (5.104) принципа Даламбера. Ясно, что все векторы, составляющие
суть известные функции обобщенных координат
их первых производных
и времени
Рассмотрим, например, вектор
Член
определяется формулой (5.118),
в — формулой (5.116), а
есть
в силу формулы (5.123) сумма относительных угловых скоростей и абсолютной угловой скорости
которая является известной функцией времени. Описание угловых скоростей и ускорений завершается двумя формулами для матриц-столбцов
. Формулы (5.116) и (5.122) дают выражения
и
где
.
Теперь просто найти явное выражение для матрицыгсолбац
входящей в уравнение (5.104). Рассмотрим сначала разность
бесконечно малых поворотов двух смежных тел
и
, оба по отношению к одному и тому же базису,
фиксированному в инерциальном пространстве. Так как бесконечно малые повороты можно складывать подобно векторам, эта разность может интерпретироваться как бесконечно малый поворот тела
по отношению к телу
. С другой стороны, он был определен вектором
Следовательно,
Это соотношение имеет ту же форму, что и соотношение (5.121) для абсолютных и относительных угловых скоростей. Дальнейшее преобразование этого уравнения тоже будет таким же. Сначала перепишем его в форме
В правой части
есть вариация ориентации базиса отсчета
по отношению к инерциальному пространству. Она равна нулю, потому что эта ориентация задана как функция времени. Следовательно, последнее уравнение сводится к виду
В матричной форме все
уравнений объединяются в одно:
с матрицей-столбцом
известной из уравнения (5.104), и
Умножение слева на
дает
Искомое соотношение между
и вариациями обобщенных координат получается, если для элементов матрицы
использовать выражения (6.120). Это приводит к соотношению
где
определяется формулой (5.126), а
— матрица-столбец:
. С учетом этого выражения для
второй член, требуемый для уравнения (5.104), готов для подстановки.
Угловая ориентация тела
в инерциальном пространстве будет известна, если она известна по отношению к базису
Для задания последней введем матрицу преобразования
определяемую равенством
Матрицы
могут быть вычислены рекуррентно как функции обобщенных координат и времени с помощью альтернативных соотношений
Пример практического применения этих соотношений был рассмотрен после формул (5.95).
Обратимся теперь к членам
из уравнения (5.104). Их вычисление базируется на явных выражениях для радиус-векторов
как функций обобщенных координат и времени. Определим их из рис.
представляют собой радиус-векторы в инерциальном пространстве точек
соответственно. Из рисунка следует соотношение
которое можно записать в виде
или с векторами
в виде
Все
уравнений объединяются в матричное уравнение
с матрицами-столбцами
матрицей-строкой
-матрицей
Матрица С тождественна матрице, определенной соотношением (5.11). В
отличен от нуля только первый элемент
так как шарнир 1 является единственным на теле 0.
или с учетом тождества (5.139)
Выражение для
теперь принимает вид
Вычислим далее матрицу-столбец
. Ее элементы равны
Это следует из определения и
как производных повремени от
в базисе Чтобы придать удобную форму элементам, включающим
и введем новые безразмерные скалярные величины
которые удовлетворяют тождествам
Отсюда следует определение для
Эти скалярные величины используются для построения матрицы-строки
и
Сравнение с (5.1) показывает, что
и получаются из и
соответственно, если в этих последних матрицах каждый элемент — 1 заменить нулем, С помощью выражений (5.115) для
и
соответственно. Вектор
в
равен нулю для
так как на теле 0 расположен только один шарнир 1. Следовательно,
можно упростить:
и тогда матрица-столбец и примет вид
Выражение для
подставим теперь в формулу (5.144) для
тогда
После подстановки выражения (5.127) для
получим
где
сумма всех членов, которые не зависят от вторых производных по времени от обобщенных координат. Она равна
Матрица в фигурных скобках перед
в уравнении для
является транспонированной по отношению к матрице
Знак минус перед первым членом обусловлен перестановкой сомножителей в векторном произведении. Итак, получаем результат
Это выражение мы подставим позже в уравнение (5.104).
Прежде чем рассматривать матрицу
упростим далее выражение для
в (5.157). Перепишем сначала элементы матрицы-столбца
с помощью (5.153) и (5.141) в форме
или, используя (5.17) для
Из определения
следует тождество
Следовательно,
Векторы
в этом выражении имеют простую физическую интерпретацию. Очевидно,
Рис. 5.38 является повторением рис. 5.36. На двух телах показаны векторы
соединяют центры масс тел с шарнирной точкой точно так же, как векторы
в отсутствие шарнирного вектора
(ср. рис. 5.12). Это наводит на мысль ввести векторы
как обобщение векторов
Рис. 5.38. Векторы с
Для частного значения
эти векторы были проиллюстрированы на рис. 5.14. Для систем с шарнирными векторами этот рисунок принимает обобщенную форму, показанную на рис. 5.39. Точно так же, как рис. 5.14 приводит к соотношению
(формула (5.16)), из рис. 5.39 следует
Различие пределов суммирования в этих двух формулах объясняется тем фактом, что в разд. 5.2.2 в отличие от настоящего раздела начало
базиса
было расположено так, что вектор
был равен нулю. В обозначениях
соотношение (5.159) перепишется в виде
Рис. 5.39. Векторы
. В соответствии с ориентированным графом системы, изображенным на рис. 5.8,в, шарнирные точки 1 и 5 фиксируются в теле 1. Сравните с рис. 5.14.
Векторы
играют важную роль в выражениях (5.157) и (5.158) также потому, что они являются элементами матрицы
:
Эта формула представляет собой обобщение соотношения
с помощью которого были первоначально введены векторы
(ср. с (5.15)).
Рассмотрим теперь последний член
в выражении (5.157). В формуле (5.155) для и первый элемент
в матрице-столбце
равен либо нулю, либо
а все другие элементы равны нулю. Следовательно,
тождественно совпадает с
. Учитывая это обстоятельство, а также соотношения (5.143) и (5.160), последние три члена из
можно объединить:
Выражение в квадратных скобках представляет абсолютное ускорение шарнирной точки номер 1 минус относительное ускорение
которое равно части величины
в выражении (5.149).
Последним членом, который нужно раскрыть в уравнении (5.104) принципа Даламбера, является
Подобно
он выводится из выражения (5.136) для
Вариация заданных функций времени равна нулю, так что
Рассмотрим сначала произведение
Элемент матрицы С есть вектор
который либо фиксирован в теле
либо равен нулю. Следовательно, его вариация равна
. В силу этого произведение
имеет вид
Элемент
матрицы-столбца
равен
Это следует из того, что
представляет собой вариацию вектора
в базисе Если члены
объединить опять в матрицу-столбец, то каждый из двух членов в правой части также образует матрицу-столбец. Первый в силу (5.119) равен
Матрицы
и
были определены соотношениями (5.150) и (5.133) соответственно. Во втором члене формулы (5.165) перепишем
как
. Вариация положения тела 0 равна нулю. Следовательно, суммирование распространяется только на
. Это дает
В силу этого соотношения, а также (5.166) и (5.165), матрица-столбец
равна
Подставляя это выражение, а также (1.164) в уравнение для
получим
или, в силу равенства (5.132) для
Этим уравнением завершается изучение кинематики системы.