5.2.8.3. Кинематика движения тел относительно инерциального пространства

Обратимся теперь к кинематике движения тел относительно инерциального пространства. Рассмотрим сначала абсолютные угдовые скорости . Они связаны с относительными

угловыми скоростями уравнениями

Эти уравнения можно переписать в виде

или как матричное уравнение

с матрицами-столбцами и . Умножение слева на дает

Отсюда получаем формулу для абсолютной угловой скорости тела

и, следовательно, для абсолютного углового ускорения

где

Эти уравнений объединим снова в одно матричное уравнение;

с матрицами-столбцами . Согласно (5.117), элементы матрицы и представляют собой линейные комбинации вторых производных по времени от обобщенных координат. Следовательно, матрицу-столбец можно представить в виде

где матрицы в правой части определены следующим образом. Символ обозначает матрицу-столбец:

Число элементов в ней равно полному числу степеней свободы всей системы. В последующем это число будем обозначать через

Оно вычисляется как . Прямоугольная матрица имеет строк и столбцов. Каждый столбец соответствует одному шарниру. Эта матрица имеет квазидиагональную структуру. Матрица, транспонированная к ней, имеет вид

Наконец, матрица-столбец имеет в качестве элементов члены, определенные в (5.118). С использованием (5.125) матрица-столбец абсолютных угловых ускорений в (5.124) приводится к виду

где

Это выражение для (о является первым, которое готово для подстановки в уравнение (5.104) принципа Даламбера. Ясно, что все векторы, составляющие суть известные функции обобщенных координат их первых производных и времени Рассмотрим, например, вектор Член определяется формулой (5.118), в — формулой (5.116), а есть в силу формулы (5.123) сумма относительных угловых скоростей и абсолютной угловой скорости которая является известной функцией времени. Описание угловых скоростей и ускорений завершается двумя формулами для матриц-столбцов . Формулы (5.116) и (5.122) дают выражения

и

где .

Теперь просто найти явное выражение для матрицыгсолбац входящей в уравнение (5.104). Рассмотрим сначала разность бесконечно малых поворотов двух смежных тел и , оба по отношению к одному и тому же базису,

фиксированному в инерциальном пространстве. Так как бесконечно малые повороты можно складывать подобно векторам, эта разность может интерпретироваться как бесконечно малый поворот тела по отношению к телу . С другой стороны, он был определен вектором Следовательно,

Это соотношение имеет ту же форму, что и соотношение (5.121) для абсолютных и относительных угловых скоростей. Дальнейшее преобразование этого уравнения тоже будет таким же. Сначала перепишем его в форме

В правой части есть вариация ориентации базиса отсчета по отношению к инерциальному пространству. Она равна нулю, потому что эта ориентация задана как функция времени. Следовательно, последнее уравнение сводится к виду

В матричной форме все уравнений объединяются в одно:

с матрицей-столбцом известной из уравнения (5.104), и Умножение слева на дает

Искомое соотношение между и вариациями обобщенных координат получается, если для элементов матрицы использовать выражения (6.120). Это приводит к соотношению

где определяется формулой (5.126), а — матрица-столбец: . С учетом этого выражения для второй член, требуемый для уравнения (5.104), готов для подстановки.

Угловая ориентация тела в инерциальном пространстве будет известна, если она известна по отношению к базису Для задания последней введем матрицу преобразования

определяемую равенством

Матрицы могут быть вычислены рекуррентно как функции обобщенных координат и времени с помощью альтернативных соотношений

Пример практического применения этих соотношений был рассмотрен после формул (5.95).

Обратимся теперь к членам из уравнения (5.104). Их вычисление базируется на явных выражениях для радиус-векторов как функций обобщенных координат и времени. Определим их из рис. представляют собой радиус-векторы в инерциальном пространстве точек соответственно. Из рисунка следует соотношение

которое можно записать в виде

или с векторами

в виде

Все уравнений объединяются в матричное уравнение

с матрицами-столбцами матрицей-строкой -матрицей

Матрица С тождественна матрице, определенной соотношением (5.11). В отличен от нуля только первый элемент так как шарнир 1 является единственным на теле 0.

Умножение уравнения (5.135) слева на дает явное выражение для :

Из этого соотношения можно вывести теперь выражения для . Вторая производная по времени выражается в виде

Элементами матрицы являются векторы которые были обсуждены вслед за формулой (5.17) и проиллюстрированы на рис. 5.14. Каждый вектор фиксирован в теле, номер которого совпадает с первым индексом Дополним их векторами

Произведение отлично от нуля (и равно —1) только для. шарниров на теле 0, т. е. только для шарнира 1, откуда следуег

Вторая производная по времени от равна

Вклад первого члена в матрицу-столбец входящую в выражение (5.137), равен

Вклад второго члена равен матрице-столбцу с элементами

Аналогично последний член в (5.137) равен матрице-столбцу

или с учетом тождества (5.139)

Выражение для теперь принимает вид

Вычислим далее матрицу-столбец . Ее элементы равны

Это следует из определения и как производных повремени от в базисе Чтобы придать удобную форму элементам, включающим и введем новые безразмерные скалярные величины которые удовлетворяют тождествам

Отсюда следует определение для

Эти скалярные величины используются для построения матрицы-строки

и

Сравнение с (5.1) показывает, что и получаются из и соответственно, если в этих последних матрицах каждый элемент — 1 заменить нулем, С помощью выражений (5.115) для и

(5.146) для соотношение (5.145) можно переписать в виде

После этого объединим снова все выражений в матрицу-столбец

Матрицы в правой части определяются следующим образом. Матрица, транспонированная к -матрице равна

Матрица к имеет такую же структуру, как матрица в (5.126), Матрица-столбец составлена из выражений, опре-деляехмых формулой (5.113). Элементы -матрицы

имеют вид

Наконец, и и суть матрицы-столбцы с элементами

соответственно. Вектор в равен нулю для так как на теле 0 расположен только один шарнир 1. Следовательно, можно упростить:

и тогда матрица-столбец и примет вид

Выражение для подставим теперь в формулу (5.144) для тогда

После подстановки выражения (5.127) для получим

где сумма всех членов, которые не зависят от вторых производных по времени от обобщенных координат. Она равна

Матрица в фигурных скобках перед в уравнении для является транспонированной по отношению к матрице Знак минус перед первым членом обусловлен перестановкой сомножителей в векторном произведении. Итак, получаем результат

Это выражение мы подставим позже в уравнение (5.104).

Прежде чем рассматривать матрицу упростим далее выражение для в (5.157). Перепишем сначала элементы матрицы-столбца с помощью (5.153) и (5.141) в форме

или, используя (5.17) для

Из определения следует тождество Следовательно,

Векторы

в этом выражении имеют простую физическую интерпретацию. Очевидно,

Рис. 5.38 является повторением рис. 5.36. На двух телах показаны векторы соединяют центры масс тел с шарнирной точкой точно так же, как векторы в отсутствие шарнирного вектора (ср. рис. 5.12). Это наводит на мысль ввести векторы

как обобщение векторов

Рис. 5.38. Векторы с

Для частного значения эти векторы были проиллюстрированы на рис. 5.14. Для систем с шарнирными векторами этот рисунок принимает обобщенную форму, показанную на рис. 5.39. Точно так же, как рис. 5.14 приводит к соотношению (формула (5.16)), из рис. 5.39 следует

Различие пределов суммирования в этих двух формулах объясняется тем фактом, что в разд. 5.2.2 в отличие от настоящего раздела начало базиса было расположено так, что вектор был равен нулю. В обозначениях соотношение (5.159) перепишется в виде

Рис. 5.39. Векторы . В соответствии с ориентированным графом системы, изображенным на рис. 5.8,в, шарнирные точки 1 и 5 фиксируются в теле 1. Сравните с рис. 5.14.

Векторы играют важную роль в выражениях (5.157) и (5.158) также потому, что они являются элементами матрицы :

Эта формула представляет собой обобщение соотношения с помощью которого были первоначально введены векторы (ср. с (5.15)).

Рассмотрим теперь последний член в выражении (5.157). В формуле (5.155) для и первый элемент в матрице-столбце равен либо нулю, либо а все другие элементы равны нулю. Следовательно, тождественно совпадает с . Учитывая это обстоятельство, а также соотношения (5.143) и (5.160), последние три члена из можно объединить:

Выражение в квадратных скобках представляет абсолютное ускорение шарнирной точки номер 1 минус относительное ускорение

которое равно части величины в выражении (5.149).

Последним членом, который нужно раскрыть в уравнении (5.104) принципа Даламбера, является Подобно он выводится из выражения (5.136) для Вариация заданных функций времени равна нулю, так что

Рассмотрим сначала произведение Элемент матрицы С есть вектор который либо фиксирован в теле либо равен нулю. Следовательно, его вариация равна . В силу этого произведение имеет вид

Элемент матрицы-столбца равен

Это следует из того, что представляет собой вариацию вектора в базисе Если члены объединить опять в матрицу-столбец, то каждый из двух членов в правой части также образует матрицу-столбец. Первый в силу (5.119) равен

Матрицы и были определены соотношениями (5.150) и (5.133) соответственно. Во втором члене формулы (5.165) перепишем как . Вариация положения тела 0 равна нулю. Следовательно, суммирование распространяется только на . Это дает

В силу этого соотношения, а также (5.166) и (5.165), матрица-столбец равна Подставляя это выражение, а также (1.164) в уравнение для получим

или, в силу равенства (5.132) для

Этим уравнением завершается изучение кинематики системы.