1. Математические обозначения

В механике твердого тела векторы играют важную роль. Векторная величина обозначается буквой жирного шрифта. Вектор можно представить как линейную комбинацию трех взаимно ортогональных единичных векторов

Единичные векторы являются базисными векторами векторного базиса (называемого также базисом отсчета или просто базисом), который обозначается символом е. Везде в книге предполагается, что базисные векторы векторных базисов образуют правые системы. Скалярные величины в уравнении (1.1) являются координатами вектора в базисе или, короче, координатами . Отметим, что термин вектор употребляется только для величины а не как сокращенное название для координатной тройки величин , как это обычно делается в тензорном исчислении .

В механике твердого тела обычно приходится рассматривать несколько векторных базисов. В дальнейшем у базисов ставится верхний индекс в скобках. Например Базисные векторы базиса обладают тем свойством, что скалярное произведение любых двух из них равно дельте Кронекера:

Базисный вектор базиса можно представить как линейную комбинацию базисных векторов другого базиса

Все три уравнения можно записать в виде одного матричного уравнения:

Символ который до сих пор использовался просто для обозначения базиса, благодаря этому уравнению определяется как матрица-столбец базисных векторов. Показатель Т обозначает транспонирование. Величина есть -матрица, составленная из координат векторов (а — индекс строки).

Все матрицы отмечаются чертой под символом. Употребление буквы жирного шрифта для указывает на то, что элементами этой матрицы являются векторы. Уравнение (1.3) показывает, что матричное произведение вычисляется по общему правилу умножения матричной алгебры, хотя один множитель составлен из скаляров, а другой — из векторов.

Скалярное произведение двух базисных векторов, принадлежащих различным базисам, равно косинусу угла между этими векторами. В силу уравнений (1.3) и (1.2), оно также равно . Это тождество объясняет название матрицы направляющих косинусов для Заменим в уравнении выражением (1.3) и аналогичным выражением с индексом вместо а. Из этого уравнения видно, что скалярное произведение строк а и равно . Отсюда следует, представляет собой единичную матрицу, так как каждый элемент произведения матриц равен скалярному произведению двух строк матрицы Из этого тождества вытекают два важных свойства матрицы . Первое: матрица, обратная равна транспонированной, . Отсюда следует, что обращение уравнения (1.4) есть

Второе: детерминант матрицы равен +1 или —1. Случай —1 имеет место только тогда, когда один из двух базисов образует правую систему, а другой — левую. В нашем случае это не имеет места, так что

Правую часть равенства (1.1) можно представить в форме матричного произведения. Для этого введем в рассмотрение матрицу-столбец составленную из координат в базисе (более короткое название для — матрица координат в ). Тогда уравнение (1.1) примет вид

или

В двух разных базисах вектор имеет разные матрицы координат. Они обозначаются соответственно через и . Уравнение (1.7) приводит к тождеству

Подставим вместо правую часть соотношения (1.5). Тогда получим

или

Это соотношение представляет собой правило преобразования координат вектора. Оно показывает, что матрица направляющих косинусов служит также матрицей преобразования координат. Отметим удобное для запоминания расположение верхних индексов и

Скалярное произведение двух векторов a и b можно записать в виде матричного произведения. Обозначим через матрицы координат векторов a и b соответственно в некотором векторном базисе . Тогда Часто матрицы координат двух векторов известны в двух разных базисах, скажем . Тогда

Рассмотрим далее задачу на собственные значения для данной матрицы направляющих косинусов, связывающей два базиса Это уравнение является частным случаем уравнения (1.9), когда Поскольку длина вектора одна и та же в обоих базисах, суммы квадратов элементов должны быть равными. Отсюда следует, что абсолютные значения всех (вещественных или комплексных) собственных значений X равны единице. Характеристический полином с единичной матрицей Е представляет собой уравнение третьей степени. Следовательно, существует по крайней мере одно вещественное собственное значение с . То, что это собственное значение есть следует из факта, что три собственных значения удовлетворяют уравнению Координаты вещественного собственного вектора и, отвечающего собственному значению определяются из уравнения

Это уравнение показывает, что для любой матрицы направляющих косинусов существует (по крайней мере) один вещественный

вектор координаты которого являются одними и теми же в обоих базисах Отсюда следует

Теорема Эйлера. Два произвольно ориентированных базиса с общим началом Р могут быть приведены в совпадение один с другим в результате поворота одного из них на некоторый угол вокруг оси, которая проходит через Р и имеет направление собственного вектора и, определяемого уравнением (1.10).

Наряду с векторами важную роль в динамике твердого тела играют тензоры второго порядка. В его наиболее общей форме тензор есть сумма диадных произведений двух векторов:

Тензор представляет собой оператор. Его скалярное произведение на вектор справа определяется как вектор:

Аналогично скалярное произведение тензора на вектор слева определяется как вектор

Если во всех диадных произведениях, составляющих тензор порядок множителей изменить на обратный, то получим новый тензор. Он называется тензором, сопряженным с и обозначается символом

В векторной алгебре справедлив дистрибутивный закон:

Следовательно, диадные произведения в тензоре также дистрибутивны:

Поэтому можно в правой части соотношения (1.11) все векторы разложить в некотором базисе и получить выражение

Девять скаляров называются координатами тензора в базисе (отметим, что под тензором понимается не эта совокупность координат, а только величина Они образуют -матрицу

координат . С помощью этой матрицы тензор примет вид

Соотношение (1.15) дает непосредственный способ построения матрицы из матриц координат векторов . Пусть эти последние матрицы будут . Подстановка соотношений (1.7) и (1.8) в (1.11) дает

Сравнение с соотношением (1.15) показывает, что

Отсюда и из соотношения (1.13) следует, что матрица координат тензора, сопряженного с получается из матрицы координат тензора в результате транспонирования. С учетом соотношений (1.14) и (1.1) вектор примет вид

Его матрица координат в базисе равна поэтому произведению матриц координат и в е. Тот же самый результат получается более формальным путем при подстановке соотношений (1.15) и (1.7) для и соответственно:

В этом выражении появляется новый тип матричного произведения, а именно скалярное произведение двух матриц, элементами которых являются векторы. Далее нам встретится еще другое матричное произведение, называемое векторным произведением двух векторных матриц. Эти два произведения определяются следующим образом. Пусть Р есть -матрица, элементами которой являются векторы -матрица с векторными элементами . Тогда скалярное произяедение есть -матрица с элементами

а векторное произведение есть векторная -матрица с элементами

Эти определения являются обобщением общего правила умножения матриц. Вернемся теперь к соотношению (1.17). Согласно только что приведенному определению, скалярное произведение есть единичная матрица, так что в соответствии с соотношением

Особый интерес представляет тензор

матрицей координат которого служит единичная матрица. Если этот тензор умножить скалярно на произвольный вектор то в результате получим сам вектор По этой причине Е называется единичным тензором.

При помощи соотношения (1.5) не представляет труда установить закон преобразования матрицы координат тензора, когда вместо базиса используется для разложения другой базис . Пусть — матрицы координат в двух базисах; тогда, согласно соотношению (1.15), справедливо тождество

Подставим в правую часть вместо значение (1.5). Это дает

или

Обратим внимание и здесь на удобное для запоминания расположение верхних индексов.

В механике твердого тела встречаются тензоры с симметрическими и кососимметрическими матрицами координат. Тензор инерции, который будет определен в разд. 3.1, и единичный тензор Е имеют симметрические матрицы координат. Тензоры с несимметрическими матрицами координат связаны с векторными произведениями. Рассмотрим сначала двойное векторное произведение . Его можно записать в форме

т. е. в форме скалярного произведения тензора на вектор Если суть матрицы координат соответственно

в некотором векторном базисе, то матрица координат тензора в этом базисе представляет собой кососимметрическую матрицу:

Вектор, равный векторному произведению с также можно представить как скалярное произведение тензора на вектор . Для этого построим два вектора a и b, удовлетворяющих уравнению Тогда искомый тензор снова определяется выражением , а его матрица координат дается соотношением (1.21). Эта матрица совпадает с матрицей

где — координаты вектора с в том же базисе, в котором вычисляются а и Для этой матрицы введем символ с (читается — с с тильдой), так что вектор с имеет матрицу координат Это обозначение упрощает переход от символических векторных уравнений к скалярным координатным уравнениям Для преобразования матричных уравнений в координатной форме нам потребуются следующие основные правила. Если к — скаляр, то

Более того.

Из следует, что . Тождество а дает

а для частного случая имеем

При помощи единичного тензора Е вектор двойного векторного произведения можно записать в форме

Соответствующее уравнение в координатной форме имеет вид , где Е — единичная матрица. Так как это соотношение выполняется для любого , то справедливо тождество

В соответствии с соотношением (1.20) матрица координат есть . Ее можно также записать в форме Так как обе формы тождественны для любого то справедливо тождество

Наконец, правило преобразования координат тензора (соотношение (1.19)) показывает, что

Системы линейных векторных уравнений можно записать в очень компактной форме, если наряду с матрицами с векторными элементами использовать матрицы с тензорными элементами. Такие матрицы обозначаются прописными буквами жирного шрифта с чертой под буквами. Они имеют общий вид

с произвольным числом строк и столбцов. Скалярное произведение -матрицы справа на векторную матрицу , элементы которой суть определяется как -матрица с элементами

Аналогичное определение справедливо для скалярного произведения слева на -матрицу с элементами . Следующий пример иллюстрирует практическое использование этих понятий. Допустим, что желательно записать скаляр

в виде матричного произведения. Это можно сделать в символической форме с множителями

Если желательно вычислить с, то более удобно следующее выражение, составленное из матриц координат. Пусть суть матрицы координат соответственно в некотором общем векторном базисе. Тогда

Это выражение в свою очередь можно записать в виде матричного произведения , где

суть блочные скалярные матрицы с субматрицами и соответственно.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)