Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. Математические обозначенияВ механике твердого тела векторы играют важную роль. Векторная величина обозначается буквой жирного шрифта. Вектор
Единичные векторы являются базисными векторами векторного базиса (называемого также базисом отсчета или просто базисом), который обозначается символом е. Везде в книге предполагается, что базисные векторы векторных базисов образуют правые системы. Скалярные величины В механике твердого тела обычно приходится рассматривать несколько векторных базисов. В дальнейшем у базисов ставится верхний индекс в скобках. Например
Базисный вектор
Все три уравнения можно записать в виде одного матричного уравнения:
Символ Все матрицы отмечаются чертой под символом. Употребление буквы жирного шрифта для Скалярное произведение
Второе: детерминант матрицы
Правую часть равенства (1.1) можно представить в форме матричного произведения. Для этого введем в рассмотрение матрицу-столбец
или
В двух разных базисах
Подставим вместо
или
Это соотношение представляет собой правило преобразования координат вектора. Оно показывает, что матрица направляющих косинусов служит также матрицей преобразования координат. Отметим удобное для запоминания расположение верхних индексов Скалярное произведение двух векторов a и b можно записать в виде матричного произведения. Обозначим через Рассмотрим далее задачу на собственные значения
Это уравнение показывает, что для любой матрицы вектор Теорема Эйлера. Два произвольно ориентированных базиса Наряду с векторами важную роль в динамике твердого тела играют тензоры второго порядка. В его наиболее общей форме тензор
Тензор представляет собой оператор. Его скалярное произведение на вектор
Аналогично скалярное произведение тензора
Если во всех диадных произведениях, составляющих тензор
В векторной алгебре справедлив дистрибутивный закон:
Следовательно, диадные произведения в тензоре также дистрибутивны:
Поэтому можно в правой части соотношения (1.11) все векторы разложить в некотором базисе
Девять скаляров координат
Соотношение (1.15) дает непосредственный способ построения матрицы
Сравнение с соотношением (1.15) показывает, что
Отсюда и из соотношения (1.13) следует, что матрица координат тензора, сопряженного с
Его матрица координат в базисе
В этом выражении появляется новый тип матричного произведения, а именно скалярное произведение
а векторное произведение
Эти определения являются обобщением общего правила умножения матриц. Вернемся теперь к соотношению (1.17). Согласно только что приведенному определению, скалярное произведение Особый интерес представляет тензор
матрицей координат которого служит единичная матрица. Если этот тензор умножить скалярно на произвольный вектор При помощи соотношения (1.5) не представляет труда установить закон преобразования матрицы координат тензора, когда вместо базиса
Подставим в правую часть вместо
или
Обратим внимание и здесь на удобное для запоминания расположение верхних индексов. В механике твердого тела встречаются тензоры с симметрическими и кососимметрическими матрицами координат. Тензор инерции, который будет определен в разд. 3.1, и единичный тензор Е имеют симметрические матрицы координат. Тензоры с несимметрическими матрицами координат связаны с векторными произведениями. Рассмотрим сначала двойное векторное произведение
т. е. в форме скалярного произведения тензора в некотором векторном базисе, то матрица координат тензора в этом базисе представляет собой кососимметрическую матрицу:
Вектор, равный векторному произведению с
где
Более того.
Из
а для частного случая
При помощи единичного тензора Е вектор двойного векторного произведения
Соответствующее уравнение в координатной форме имеет вид
В соответствии с соотношением (1.20) матрица координат
Наконец, правило преобразования координат тензора (соотношение (1.19)) показывает, что
Системы линейных векторных уравнений можно записать в очень компактной форме, если наряду с матрицами с векторными элементами использовать матрицы с тензорными элементами. Такие матрицы обозначаются прописными буквами жирного шрифта с чертой под буквами. Они имеют общий вид
с произвольным числом строк и столбцов. Скалярное произведение
Аналогичное определение справедливо для скалярного произведения
в виде матричного произведения. Это можно сделать в символической форме
Если желательно вычислить с, то более удобно следующее выражение, составленное из матриц координат. Пусть
Это выражение в свою очередь можно записать в виде матричного произведения
суть блочные скалярные матрицы с субматрицами Задачи(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|