5.2.8.2. Кинематика движения смежных тел относительно друг друга

На рис. 5.36 показаны два тела и связанные шарниром . С этими телами неизменно связаны векторные базисы и соответственно следующим образом. Начало базиса связанного с телом 0, назовем Это произвольно выбранная в теле точка (отметим различие с разд. 5.2.2, где в качестве точки была выбрана шарнирная точка шарнира 1, как показано на рис. 5.10). Во всех других телах начало базиса фиксировано в центре масс тела .

Рис. 5.36. Векторы, описывающие положение смежных тел относительно инерциального пространства и относительно друг друга

Ориентация базисов в телах произвольна. Число степеней свободы движения тел друг относительно друга в шарнире а обозначим через Оно находится в пределах в зависимости от свойств шарнира. Для описания движения тел друг относительно друга требуется такое же количество обобщенных координат

Мы принимаем соглашение, что положение и движение тела (а) рассматриваются по отношению к телу Для описания положения достаточно задать две величины как функции обобщенных координат (и времени, если связи в шарнире нестационарные). Одна величина представляет радиус-вектор в базисе какой-нибудь одной точки, фиксированной в теле и другая — матрицу перехода от базиса Эта матрица определяется соотношением

Точка, фиксированная в теле называется шарнирной точкой. В принципе может быть выбрана любая точка. Практически эту точку следует подбирать так, чтобы ее координаты в базисе можно было выразить как функции обобщенных координат и времени особенно простым способом. Положение шарнирной точки в теле определяется фиксированным в теле вектором который начинается в точке Переменный радиус-вектор шарнирной точки в базисе раскладывается на две части. Одна часть представляет собой вектор фиксированный в теле . Другая часть называется шарнирным вектором (см. рис. 5.36). В базисе координаты вектора представляются функциями только от и времени.

Как практически выбираются фиксированные в телах точки начала и конца вектора проиллюстрируем на двух примерах. В первом примере рассматривается шаровой шарнир. В этом случае в качестве конечной точки для обоих векторов следует выбрать геометрический центр шарнира, который фиксирован в обоих телах. Тогда шарнирный вектор тождественно равен нулю, и рис. 5.36 совпадает с рис. 5.12. Этот пример иллюстрирует сходство математического подхода в этом и в предыдущем разделах. Во втором примере шарнир допускает поступательное перемещение тела вдоль оси, фиксированной в теле и вращение вокруг этой оси (рис. 5.37).

В качестве обобщенных координат выберем декартову координату вдоль этой оси и угол поворота вокруг нее. В качестве шарнирной точки следует выбрать точку на указанной оси, потому что ее координаты в базисе представляют линейные функции от и не зависят от . Для всех других точек координаты

являются линейными по , кроме того, круговыми функциями от Расположение точки, фиксированной в теле не оказывает заметного влияния на математическое выражение для координат вектора так как эти координаты являются в любом случае линейными функциями от . Если точка на оси выбрана, как показано на рис. 5.37, эти функции становятся однородными.

В связи со вторым примером возникает вопрос, почему вообще введен вектор Шарнирный вектор мог бы всегда начинаться в точке без всяких осложнений, пока дело касается только математических трудностей. Ответ на этот вопрос дает первый пример. Математические построения, которые предстоит выполнить, будут иметь более близкое сходство с построениями разд. 5.2.6, если ввести вектор Это позволяет использовать соотношения, которые были установлены в указанном разделе.

Рис. 5.37. Возможный способ определения шарнирного вектора для конкретного шарнира.

Есть и другая причина для введения вектора Векторы появляются вместе в выражениях такого общего вида, как, например, Пока оба вектора являются произвольными фиксированными в телах векторами, трудностей в интерпретации таких выражений не возникает. Но они возникли бы, если бы между ними необходимо было делать различие, связанное с тем, что один из них нуль, а другой нет. Заметим, что на рис. 5.36 в случае одно из двух тел представляет тело 0 и что в этом теле также определен такой вектор, а именно вектор . Как и в разд. 5.2.2, будем использовать следующее определение. Вектор равен нулю, если отлично от и , т. е. если шарнир а не расположен в теле .

Нужно сделать еще последнее замечание, касающееся матрицы из соотношения (5.110). Его выражение как функция от и зависит, во-первых, от выбора обобщенных координат и, во-вторых, от ориентации базисов и в телах.

Эту ориентацию следует выбирать так, чтобы сделать выражение для настолько простым, насколько возможно. То, что это требование может быть удовлетворено, вообще говоря, только для родного шарниа в каждом теле, было показано в задаче 5.13.

Резюмируем сказанное до сих пор. При использовании введенного формализма для каждого шарнира можно свободно выбирать

(1) вид обобщенных координат

(2) расположение шарнирной точки в теле и точки в теле , в которой начинается

(3) ориентацию фиксированных в телах векторных базисов .

Этот выбор следует сделать так, чтобы функции

были настолько простыми, насколько возможно. В принципе пользователь свободен также в выборе направлений дуг в ориентированном графе системы. Однако в силу причин, объясненных ранее, дуги следует направлять либо все по направлению к либо все от Инструкции для программирования, которые даны в разд. 5.2.7 и которые будут полезны также и в настоящем случае, требуют, чтобы все дуги были направлены от Для большинства типов шарниров трудности в формульной записи координат вектора в базисе не зависят от того, какое тело представляет тело и какое Есть, однако, и исключения. Одним из таких случаев является шарнир, показанный на рис. 5.34,г (см. задачу 5.15).

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)