2.2. Понятие угловой скорости

Пусть — некоторый произвольно движущийся базис. Относительно этого базиса твердое тело совершает произвольное движение. Свяжем с этим телом базис с началом Р. Далее рассмотрим некоторую точку которая движется относительно тела. Используя обозначения, указанные на рис. 2.6, имеем

Цель настоящего исследования состоит в том, чтобы скорость точки относительно базиса выразить через скорость относительно тела, скорость Р относительно и некоторую пока неизвестную величину, характеризующую изменения угловой ориентации тела в базисе .

Рис. 2.6. Радиус-векторы двух точек Р (неизменно связанной с телом) и Q (не связанной с телом).

Скорости представляются производными по времени от радиус-векторов. Поскольку точка тела имеет, вообще говоря, разные скорости относительно разных векторных базисов, то необходимо точно указать, в каком базисе вычисляется производная по времени от радиус-вектора. То же самое относится также к векторам, не являющимся радиус-векторами. Часто для производной по времени от вектора с в базисе используют

обозначение Эта производная вычисляется по формуле

Словами: координаты в базисе находятся в результате вычисления координат вектора с в и дифференцирования их по времени. Производная по времени от скаляра с вычисляется по общим правилам.

После этих предварительных замечаний рассмотрим снова соотношение (2.17). Представим вектор его координатами в . Подставим это выражение в соотношение (2.17) и затем продифференцируем его по времени в базисе

Производная в левой части представляет собой скорость относительно Обозначим ее буквой Аналогично первый член в правой части есть скорость точки Р относительно Второй член справа представляет собой (согласно соотношению (2.18)) скорость точки относительно Обозначим ее для сокращения символом . В последнем члене производные можно вычислить по формуле (2.18). Поскольку координатами в базисе служат направляющие косинусы , то

Это выражение приводит к очень сложным формулам. Поэтому выберем другой подход. Производные можно также представить в виде линейных комбинаций базисных векторов базиса с неизвестными пока коэффициентами

Базисные векторы удовлетворяют соотношению . Дифференцирование по времени в базисе этого соотношения приводит к равенству

Подставляя для производных выражения (2.21), получаем Это означает, что матрица, составленная из коэффициентов является кососимметрической. Для ее трех отличных от нуля элементов введем новые обозначения эти ввличины интерпретируются как координаты вектора в связанном с телом базисе Тогда соотношения (2.21) примут вид

С учетом этих соотношений третий член в равенстве (2.19) принимает простой вид и получаем основное соотношение

Вектор называется вектором угловой скорости тела относительно базиса Он обладает некоторыми важными свойствами, два из которых сейчас будут рассмотрены. Из равенства правых частей выражений (2.20) и (2.21) следует, что коэффициенты следовательно, и зависят только от направляющих косинусов и их производных по времени. Это означает, что со (в отличие от не зависит от выбора связанной с телом точки Р на рис. 2.6, так как матрица направляющих косинусов не зависит от выбора этой точки.

Для установления другого важного свойства вектора сначала необходимо исследовать соотношение, существующее между производными по времени от одного и того же вектора в двух разных векторных базисах. Пусть — два векторных базиса, которые произвольным образом движутся один относительно другого, и пусть с — некоторый вектор (не обязательно радиус-вектор). В базисе вектор с имеет координаты так что Продифференцируем по времени это равенство в базисе

Члены в правой части имеют такой же вид, что и последние два члена в соотношении (2.19). Используя приведенные выше

рассуждения, получаем

Это есть искомое общее соотношение между производными по времени от произвольного вектора в двух разных базисах. Вектор со представляет собой вектор угловой скорости базиса относительно Для самого вектора со последнее соотношение принимает специальный вид

В этом состоит второе важное свойство вектора угловой скорости, упомянутое выше. Вернемся теперь к равенству (2.22). Если рассматриваются лишь точки тела, то это соотношение принимает специальный вид:

Оно описывает распределение скоростей точек твердого тела. Все точки, лежащие на прямой, параллельной и проходящей через Р, имеют одну и ту же скорость так как для этих точек Поэтому распределение скоростей можно интерпретировать как результат суперпозиции двух отдельных движений. Одно представляет собой чисто поступательное движение со скоростью точки Р, другое — чистое вращение с угловой скоростью со вокруг оси, имеющей направление и проходящей через Р. Эта интерпретация справедлива для любой связанной с телом точки Р. Она становится особенно простой, если точка Р выбрана так, что ее скорость имеет то же самое направление, что и . Тогда направление чистое поступательного движения совпадает с направлением оси чистого вращения. Таким образом, распределение скоростей точек тела является таким же, как и распределение скоростей точек винта.

Остается показать, что в случае существует единственная ось винта (в тривиальном случае движение представляет собой чисто поступательное движение). Предположим, что известна скорость некоторой точки Р тела. Обозначим через вектор, проведенный из точки Р в какую-либо точку на оси винта. Тогда скорость этой точки, и, по определению оси винта, она параллельна , так что векторное умножение на дает . Поскольку направление оси винта известно, то достаточно найти какую-либо одну точку на этой оси. Мы возьмем такую точку Р, для которой равно нулю. Радиус-вектор этой точки дается выражением

. Этот вектор определяется единственным образом, если со отлично от нуля.

Рис. 2.7.

Вообще говоря, положение оси винта в теле изменяется со временем. Особый интерес представляет случай, когда одна точка неподвижна в базисе отсчета Тогда ось винта вырождается в мгновенную ось вращения, которая всегда проходит через неподвижную точку. При изменении времени эта ось, имеющая направление вектора описывает два конуса, один из которых неподвижен в теле, а другой — в базисе (рис. 2.7). В момент времени два конуса имеют мгновенную ось в качестве общей образующей. То, что в момент времени конусы имеют также общую касательную плоскость, следует из соотношения (2.24), которое показывает, что описывает оба конуса с равными скоростями ометания. Резюмируя изложенное, заключаем, что произвольное движение твердого тела относительно базиса имеющего неподвижную точку в этом базисе, можно представить как качение без скольжения связанного с телом конуса по конусу, неподвижному в базисе

Задачи

(см. скан)