5.2.6. Системы с шаровыми, универсальными и цилиндрическими шарнирами

Уравнения движения разд. 5.2.2 и 5.2.4 для систем с шаровыми шарнирами можно обобщить, распространив их также на системы с универсальными и цилиндрическими шарнирами. На практике эти три типа шарниров встречаются очень часто, особенно цилиндрический шарнир. Это служит оправданием того, что таким системам посвящен отдельный раздел. Все три типа шарниров имеют одно общее существенное свойство. Движение двух смежных тел одно относительно другого представляет собой чистое вращение. Различно только число степеней свободы. В универсальном шарнире (рис. 5.28) имеется одна геометрическая связь, сила реакции которой вынуждает угловую скорость каждого из двух тел относительно другого быть в плоскости двух осей (они не должны быть взаимно ортогональны; тем не менее они обязаны пересекаться). Отсюда возникает требование, чтобы момент силы реакции связи в шарнире был ортогонален этой плоскости.

Рис. 5.28. Универсальный шарнир.

Рис. 5.29. Цилиндрический шарнир,

В цилиндрическом шарнире (рис. 5.29) имеются две геометрические связи. Они вынуждают вектор относительной угловой скорости

лежать на оси. Отсюда требование, чтобы момент силы реакции связи в шарнире имел две взаимно перпендикулярные компоненты, нормальные к оси. Уравнения движения будут установлены на основании следующей модели. Универсальный и цилиндрический шарниры моделируются шаровым шарниром в сочетании с моментом силы реакции связи. В случае универсального шарнира геометрический центр заменяющего его шарового шарнира находится в точке пересечения двух осей. В случае цилиндрического шарнира он расположен в произвольной точке оси. С помощью такой модели система сводится к системе, для которой уравнения движения известны. Это уравнения (5.34) для систем с материальным шаровым шарниром 1 и уравнения (5.42) и (5.61) для систем без материального шарнира 1. Тензоры и векторы имеют в указанных двух случаях разные определения. Для рассматриваемой системы уравнения (5.34) и (5.61) должны быть заменены уравнениями

Члены представляют собой дополнительные моменты сил реакций связей в универсальных и цилиндрических шарнирах; обозначают, как и прежде, моменты внутренних шарнирных сил, которые не являются моментами сил реакций связей. Если тело 1 не соединено материальным шарниром 1 с внешним телом, совершающим заданное движение, то и тождественно равны нулю. Все уравнений можно объединить в одно матричное уравнение:

в котором и — величины, известные из предыдущих разделов. Новыми являются матрицы-столбцы , а также -матрица К, элементы которой представляют собой тензоры Скалярное произведение такой матрицы с матрицей, содержащей в качестве элементов векторы, было объяснено в гл. 1. Остается сделать только два шага для перехода от уравнения (5.81) к окончательной форме уравнений движения. Один из них — описание кинематики системы, а другой — исключение моментов сил реакций связей .

5.2.6.1. Кинематика движения смежных тел относительно друг друга

При наличии универсальных и цилиндрических шарниров не представляется более возможным рассматривать абсолютные угловые скорости отдельных тел как независимые (независимые

в том смысле, что они не стеснены связями). Напротив, между абсолютными угловыми скоростями смежных тел существуют связи, вид которых уже описан. Целесообразно ввести в качестве обобщенных координат углы поворотов вокруг осей цилиндрических и универсальных шарниров, поскольку эти углы описывают положение одного тела относительно другого. Ради единообразия описания такие угловые переменные вводятся также для шаровых шарниров, хотя это и не является обязательным, поскольку связи отсутствуют. Если шарнир цилиндрический, то необходим один угол Для универсального шарнира требуются два угла и для шарового — три угла

По поводу шарнира номер один необходимо дать дополнительные пояснения. Если система многих тел не связана материально с внешним телом 0, вынужденным осуществлять заданное движение, то шарнир 1 представляет собой фиктивный шарнир с шестью степенями свободы, позволяющий телу 1 совершать движение относительно некоторого подходящим образом выбранного векторного базиса . То обстоятельство, что центр масс тела 1 может перемещаться относительно без каких-либо ограничений, приводит к уравнению (5.42) движения центра масс соединенной системы. Вращение тела 1 относительно не связано с его поступательным движением. С точки зрения кинематики это обстоятельство можно истолковать таким образом, как будто бы центр-масс тела 1 и начало соединены шаровым шарниром. При математическом описании не нужно, следовательно, делать различия от истинного материального шарового шарнира.

На каждом теле фиксирован векторный базис с произвольной ориентацией. Пусть — угловая скорость тела относительно тела . Это определение содержит основное соглашение о знаке, сравнимое по важности с соглашением о том, что момент внутренней шарнирной силы действует на тело Независимо от реального смысла угловых переменных величину можно представить в следующем виде:

где — число степеней свободы в шарнире или — единичные векторы, направленные вдоль оси вращения. Поясним сказанное двумя примерами.

В цилиндрическом шарнире (рис. 5.30) равно единице. Единичный вектор фиксирован на оси шарнира и имеет на ней произвольно выбранное направление. Координата представляет собой угол, на который тело повернуто относительно тела из некоторого определенного положения и вращение происходит вокруг по часовой стрелке. В этом.

особом случае вектор фиксирован в каждом из тел. Во втором примере рассматривается шаровой шарнир с качестве координат используются углы Брайнта. Они определены так, как описано в разд. 2.1.2 (см. рис. 2.3), причем играют роль соответственно. Соотношение (5.82) получается из соотношения использованием новых обозначений. Это дает

В рассматриваемом случае век. фиксирован в теле — в теле , а не является фиксированным в каком-либо из этих двух тел. Однако координаты в обоих неизменно связанных с телами базисах известны как функции углов.

Рис. 5.30. Единичный вектор оси и угловая координата для цилиндрического шарнира.

Пусть определена как угловое ускорение тела относительно тела . Эта величина представляет собой производную по времени от векторном базисе также в базисе Из соотношения (5.82) следует, что

Во втором члене этого выражения частные производные от координат вектора должны быть вычислены либо в базисе либо в базисе В качестве примера см. иллюстративный пример 5.2. Используя обозначение

получим

Описание кинематики отдельных шарниров завершает формула для матрицы преобразования между двумя неподвижными относительно

тел векторными базисами . Эта матрица обозначается через и определяется соотношением

Для всех трех типов шарниров и для любого выбора обобщенных координат матрица является известной функцией этих координат. Подробности см. в иллюстративном примере 5.2.