4.6. Гиростат. Общий анализ

Гиростат представляет собой механическую систему, которая состоит из нескольких тел и, кроме того, обладает свойством твердого тела, заключающимся в том, что распределение масс системы не изменяется со временем. В простейшем случае гиростат состоит из двух тел, как показано на рис. 4.9. Симметричный твердый ротор удерживается в твердых подшипниках на другом твердом теле, называемом несущим телом.

Рис. 4.9. Радиус-векторы материальных частиц несущего тела и ротора гиростата.

Сначала мы выведем уравнения движения этой частной системы. Затем нетрудно будет получить уравнения для гиростатов, которые состоят из более чем двух тел. Не будем делать специальных предположений о главных моментах инерции составной системы и расположения оси ротора относительно главных осей инерции. Обозначим через абсолютную угловую скорость несущего тела, через — угловую скорость ротора относительно несущего тела. Момент количеств движения всей системы в ее абсолютном движении относительно неподвижной в инерциальном пространстве точки О {см. уравнения (3.5) и (3.6) и рис. 3.1) есть

Первый интеграл распространяется на массу несущего тела, второй — на массу ротора. Векторы указаны на рис. 4.9. Точки обозначают центры масс составной системы и ротора соответственно; вектор абсолютную скорость точки С. Под знаком второго интеграла представим в виде Тогда

В этом выражении — масса системы, — тензор инерции системы относительно точки тензор инерции ротора относительно точки Оба тензора инерции имеют постоянные составляющие в векторном базисе, связанном с несущим телом. Вектор представляет собой момент количеств движения ротора в его движении относительно несущего тела. Обозначим его через Поскольку ось ротора является главной осью инерции ротора, то вектор направлен по этой оси. Принимая во внимание выражение для в форме

из теоремы о моменте количеств движения (уравнение (3.15)) получаем уравнение

которое является обобщением уравнения Эйлера для твердого тела. Символ обозначает производную по времени от в базисе, связанном с несущим телом, М — результирующий момент внешних сил относительно точки С.

Важное значение для технических приложений имеет случай, когда угловая скорость ротора относительно несущего тела является заданной функцией времени. Координаты векторов являются тогда известными функциями времени. При этом ротор не имеет своей собственной степени свободы и уравнение (4.54) вместе с кинематическими дифференциальными уравнениями для несущего тела полностью описывают движение системы. Член можно трактовать как момент внешних сил:

В простейшем из таких случаев относительная угловая скорость ротора поддерживается постоянной. Тогда уравнение

принимает вид

В другом важном для технических приложений случае составляющая по оси ротора момента сил, действующих на ротор со стороны несущего тела, является заданной функцией времени. В этом случае ротор имеет свою собственную одну степень свободы, так что необходимо одно дополнительное скалярное уравнение движения. Это уравнение получается следующим образом. Теорема о моменте количеств движения для одного ротора записывается в виде

где — результирующий момент сил, приложенных к ротору, относительно центра масс . Выполняя дифференцирование в базисе, связанном с несущим телом, получаем

Естественно предполагать, что момент внешних сил М, действующих на гиростат как целое, не вносит вклада в составляющую по оси ротора. Тогда эта составляющая обусловлена только взаимодействием с несущим телом и по предположению является заданной функцией времени. Обозначим ее через Если — единичный вектор, направленный по оси ротора, то искомое скалярное уравнение движения получается в результате скалярного умножения уравнения (4.56) на :

Отметим, что третий член в левой части уравнения (4.56) не дает вклада в последнее уравнение, потому что и параллельны и для симметричного тела векторы и компланарны. Уравнение можно сразу проинтегрировать. Для этого запишем его в эквивалентной форме

так как произведение равно нулю. Интегрируя, получаем

где известная функция представляет собой проекцию на ось ротора момента количеств движения ротора в абсолютном движении. Для полного описания движения необходимо присоединить к уравнениям (4.54) и (4.58) кинематические дифференциальные уравнения, которые связывают с обобщенными координатами, определяющими угловую ориентацию несущего тела.

Описав простейший из возможных типов гиростатов, обратимся теперь непосредственно к выводу уравнений движения гиростатов с несколькими роторами на несущем теле. Пусть имеются роторов, каждый из которых и все относящиеся к нему величины будем снабжать индексом Предположим, что для роторов с индексами осевая составляющая момента сил является известной функцией времени, а для остальных роторов координаты векторов в базисе, связанном с несущим телом, являются заданными функциями времени. Уравнения движения состоят из одного векторного уравнения вида уравнения (4.54) и системы скалярных уравнений вида уравнения (4.58) по одному для каждого ротора с номерами

Скалярные уравнения эквивалентны уравнениям

Эту систему уравнений можно значительно упростить. Прежде всего преобразуем уравнения (4.60) и (4.61). Так как — собственный вектор оси ротора, то произведение можно переписать в виде где — главный момент инерции ротора относительно его оси. Кроме того, Поэтому умножение уравнения (4.61) на приводит к векторному уравнению

в котором тензор инерции. Аналогично умножение уравнения (4.60) на приводит к векторному уравнению

Сложим уравнения (4.62) и (4.63) для и вычтем обе суммы из уравнения (4.59):

Далее введем новые величины

Принимая во внимание тождество имеем

В базисе, связанном с несущим телом, тензор имеет постоянные координаты, а координаты вектора так же как и являются известными функциями времени. С учетом этих величин уравнение (4.64) принимает вид

Это уравнение вместе с кинематическими дифференциальными уравнениями для несущего тела полностью описывают движение несущего тела. Оно имеет такой же вид, как и уравнение (4.55) для гиростата с одним ротором и с заданными функциями и . Тем не менее отметим, что в отличие от в уравнении (4.55) вектор в уравнении (4.65) не имеет, вообще говоря, неизменного направления относительно несущего тела. Поэтому эти два уравнения не эквивалентны. Они эквивалентны только в следующих частных случаях:

(1) Для произвольных оси всех роторов параллельны.

Таким образом, гиростат с одним ротором и заданным моментом сил и гиростат с одним ротором и заданным кинетическим моментом относительного движения эквивалентны.

произвольно и для с постоянными и произвольной функцией Эти условия выполняются, если все роторы соединены зубчатыми колесами.

произвольны, для для

Несущие тела с роторами не являются единственными системами многих тел с неизменяющимся со временем распределением масс. Это свойство сохраняется, если несущее тело дополнительно к роторам имеет полости, целиком заполненные однородными жидкостями. Различные технические приборы и средства передвижения с вращающимися маховиками, баками горючего и гидравлическими системами представляют собой гиростаты такого типа. Динамика подобных систем исследована Моисеевым и Румянцевым [11].

Задача

(см. скан)