6.4. Внутренние импульсы и импульсные пары в шарнирах

До сих пор наше внимание было сосредоточено на приращениях скоростей, которые система испытывает в момент удара. Остальную часть этой главы мы посвятим исследованию внутренних шарнирных реакций, которые возникают в шарнирах системы многих тел в момент удара. Для этой цели разъединим тела системы, проводя разрезы через все шарниры. Внутренние импульсы и импульсные нарыв шарнире а заменим эквивалентной системой, состоящей из одного внутреннего импульса и одной внутренней импульсной пары . Линия действия проходит через шарнирную точку шарнира а. Примем соглашение о знаках из разд. 5.22. Оно устанавливает, что действуют на тело — на тело . Теперь задача сводится к определению для всех шарниров. На рис. 6.10 изображены два смежных тела после того, как через шарнир а между ними проведен разрез и приложены указанные импульсы и импульсные пары. В разд. 5.2.9 аналогичным образом были

определены внутренние шарнирные силы X а и моменты для непрерывного движения. Величины связаны с ними соотношениями

где — интервал времени соударения. Эти соотношения сейчас будут фактически использоваться для определения внутренних шарнирных импульсов и импульсных пар.

Задача становится особенно простой, если исследуемая система многих тел имеет структуру дерева. В этом случае для непрерывного движения были получены явные формулы для шарнирных сил и шарнирных моментов . Они имеют вид уравнений (5.180). Интегрирование этих уравнений в смысле, определенном выше, непосредственно дает

Вместо в (6.37) должны быть подставлены их выражения (6.21) и (6.20). Полученные в результате соотношения представляют собой окончательное решение задачи. Предположим, например, что соударяются два тела принадлежащие одной и той же системе со структурой дерева. Выше было показано, как определяются импульс взаимодействия в точке соударения, приращения скоростей и приращения угловых скоростей . С учетом этих результатов все величины в правых частях соотношений (6.37) будут известны. Матрица М равна нулю. В матрице элемент равен элемент равен — и все остальные элементы равны нулю.

Рис. 6.10. Распределение импульсов и импульсных пар в двух смежных телах после разъединения. В шарнирной точке внутренний шарнирный импульс приложен к телу со знаком плюс и к телу со знаком минус.

Более сложной оказывается задача определения внутренних импульсов и импульсных пар, если в исследуемой системе многих тел имеются замкнутые кинематические цепи, как в случае, представленном

на рис. 6.11,а. Тогда для внутренних шарнирных сил и моментов, возникающих в процессе непрерывного движения, нет явных формул типа (5.180). Следовательно, задача не разрешается простым интегрированием. Вместо этого решение находится следующим образом. Из данной системы выделяется приведенная система со структурой дерева. Для этой цели разрезаются те шарниры, при устранении которых ликвидируются все замкнутые кинематические цепи. Сначала внутренние шарнирные импульсы и импульсные пары определяются только для разрезанных шарниров. После того как эти величины будут известны, внутренние импульсы и импульсные пары для шарниров приведенной системы можно найти по формулам (6.37).

Рис. 6.11. а — система с замкнутыми цепями, в которой два тела соударяются друг с другом; б — все тела и шарниры пронумерованы. В разрезанных шарнирах 8, 9 и 10 и в точке соударения показаны внутренние импульсы и импульсные пары. Движение тела 0 задано. Структура системы и ее граф те же, что на рис. 5.44.

Матрицы-столбцы образуются теперь из импульса взаимодействия в точке соударения если соударяются два тела, принадлежащие одной системе), а также из импульсов и импульсных пар для разрезанных шарниров. Каждая из последних величин приложена к двум смежным телам с противоположными знаками.

Следующее обсуждение касается только первой части задачи, т. е. определения внутренних импульсов и импульсных пар в разрезанных шарнирах. Пометим эти шарниры номерами как в разд. 5.3, а внутренние импульсы и импульсные пары обозначим соответственно через для . В качестве иллюстрации на рис. 6.11,б показана приведенная система для системы, изображенной на рис. 6.11,а. Все тела пронумерованы. Два соударяющихся тела подвержены действию известных импульсов и соответственно. Приращения

скоростей точек приложения импульсов и также известны. Разрезаны три шарнира с номерами 8, 9 и 10. Внутренние импульсы и импульсные пары в этих шарнирах показаны схематически. На тело 0, движение которого задано, действующие импульсы не оказывают влияния (представим себе, например, что оно обладает бесконечной массой).

В разрезанном шарнире а должно выполняться определенное число уравнений голономных связей. Каждое уравнение связи требует для своей физической реализации одного внутреннего импульса или импульсной пары с определенной величиной и направлением. Из этого следует, что каждая из шести координат, которые имеют вместе в некоторой системе отсчета, может быть представлена как линейная комбинация такого числа неизвестных величин, сколько имеется уравнений связи в шарнире а. Иными словами, это значит, что найдется столько независимых линейных соотношений между шестью координатами, сколько степеней свободы имеется в шарнире а. Следующие три примера показывают, как эти соотношения находятся фактически.

Первый пример: предположим, что разрезанный шарнир номер 8 на рис. 6.11,а является шаровым. В качестве шарнирной точки выбирается геометрический центр шарнира. Шарнир имеет три степени свободы. Следовательно, существуют три скалярных соотношения. Они записываются в виде или более подробно где — три любых некомпланарных вектора (например, базисные векторы некоторой системы отсчета, в которой все уравнения записываются в координатной форме для численного счета). Второй пример: предположим, что разрезанный шарнир номер на рис. 6.11,а относится к типу, показанному на рис. 5.34,б. В качестве шарнирной точки выберем точку на его оси. Двум степеням свободы соответствуют два соотношения , где — вектор, направленный вдоль оси шарнира. Третий пример: предположим, что разрезанный шарнир номер 10 на рис. 6.11, а относится к типу, показанному на рис. 5.34, д. Смежные тела контактируют в единственной точке, которая является точкой пересечения двух направляющих, причем каждая из них фиксирована на одном из тел (предполагается, что удар вызывает прижатие направляющих друг к другу, так что разъединение исключается). Выберем одно из тел в качестве тела и произвольную точку этого тела в качестве шарнирной точки. Вектор, проведенный из шарнирной точки в точку контакта направляющих, обозначим через Пусть, кроме того, — векторы, направленные вдоль касательных к направляющим в точке контакта (один вектор для каждой направляющей). Шарнир имеет пять степеней свободы. Соответствующие пять соотношений

имеют вид Последнее соотношение эквивалентно следующим трем:

где и — любые некомпланарные векторы.

Общее число голономных связей для всех разрезанных шарниров в соответствии с разд. 5.3.2 обозначим через Тогда есть общее число степеней свободы во всех разрезанных шарнирах и, следовательно, общее число только что описанных скалярных соотношений. Все эти соотношения можно объединить в единой форме:

где матрица К имеет строк и столбцов, а второй сомножитель представляет матрицу-столбец Как показывают рассмотренные выше примеры, элементы матрицы К являются векторами. К этим соотношениям следует добавить уравнений связей. Каждое уравнение связи записывается в виде уравнения (6.2). Все уравнений можно объединить в форме одного уравнения:

в котором Н — матрица Якоби, известная из (5.189) (заметим, что в отсутствие неголономных связей . Два уравнения (6.38) и (6.39) заключают в себе скалярных уравнений. В качестве неизвестных они содержат скалярных координат векторов , кроме того, общее количество приращений скоростей в матрице Следовательно, необходимо иметь еще скалярных уравнений относительно тех же неизвестных. Они содержатся в матричном уравнении (6.34), где матрица в данном случае равна нулю (приведенная система имеет структуру дерева). Подставляя (6.34) в (6.39), получим

Матрицы образованы из неизвестных и известных импульсов Например, для систем на рис. 6.11,б эти матрицы имеют вид

Уравнения (6.38) и (6.40) определяют все неизвестные.

Иллюстративный пример 6.2. Цепь, состоящая из одиннадцати одинаковых звеньев с шаровыми шарнирами, покоится на горизонтальном столе. Звенья представляют собой однородные стержни длиной массой и центральным моментом инерции относительно вертикальной оси.

Рис. 6.12. а — материальная точка ударяется в цепь; б — приращения скоростей центров масс тел и мгновенные центры скоростей ; в — четыре последовательных положения цепи через одинаковые промежутки времени; в точке тела 1 и 7 соударяются, что приводит к новым начальным условиям для последующего движения.

Угол между смежными телами равен для всех пар смежных тел, так что цепь описывает полуокружность с центром в точке О (рис. 6.12,а). В центр четвертого звена ударяетсяматериальная точка массы движущаяся со скоростью перпендикулярно к этому звену. Соударение

идеально упругое. Необходимо определить скорости центров масс и угловые скорости всех звеньев непосредственно после удара. Последующее движение цепи должно быть определено численным интегрированием уравнений движения. Предполагается, что между столом и цепью трение отсутствует и что в шарнирах не действуют никакие внутренние моменты.

Решение. Рассматриваемая система принадлежит к виду, который был охарактеризован как система со структурой дерева и шаровыми шарнирами, не связанная с внешним телом, движение которого задано как функция времени. Ее уравнения движения были выведены в разд. 5.2.4. Они состоят из одного уравнения движения центра масс системы и уравнений (5.61) движения относительно центра масс. Для данного случая плоского движения уравнения (5.61) принимают специальную форму (5.62). Угол измеряется в плоскости движения между базисным вектором фиксированным в теле и базисным вектором инерциальной системы отсчета. Ориентация этих базисных векторов выбрана, как показано, на рис. 6.12,а. Начало базиса расположено в точке О, вектор совпадает по направлению с и, а имеет направление продольной оси тела При этих условиях все векторы в теле параллельны так что при Внутренние моменты не действуют в шарнирах Внешний момент, действующий на тело равен , где — вектор, проведенный из центра масс тела в точку приложения силы . В фазе движения, следующей за ударом, внешние силы не действуют так что уравнения движения принимают вид и

Начальные значения при определяются из рис. 6.12,а, в то время как начальные значения при являются результатом решения первой части задачи. Для этой части задачи уравнения движения записываются в более общей форме:

где

Матрицы имеют элементы

Для определения импульса взаимодействия в точке соударения, а также приращений скоростей и угловых скоростей служат формулы (6.12), (6.18), (6.20) и (6.21). Величина была определена как импульс, действующий на тело . Пусть это будет четвертое звено цепи. Следовательно, тело — материальная точка. Значит, Вектор перпендикулярный к касательной плоскости в точке соударения, совпадает с . Коэффициент восстановления равен 1. Тензоры определяются соотношениями (6.9). Для материальной точки это соотношение имеет простую форму Следовательно, , где Е — единичный тензор. Тогда (6.12) принимает вид

Тензор является элементом с индексами матрицы из (6.26), записанной для цепи. В силу специального характера системы формулу (6.26) можно сильно упростить. Выражение для получено из двух соотношений. Одно есть результат интегрирования уравнений движения (переход от (6.15) к (6.18)), другое — кинематическое соотношение (6.22). В рассматриваемом случае интегрирование уравнений движения дает

где

На систему действует только один импульс Он приложен в центре масс тела . Следовательно, полученные соотношения сводятся к соотношениям

где матрица-столбец имеет элементы Кинематическое соотношение (6.22) заменяется выражением

(— вектор, проведенный из центра масс системы в центр масс тела ). Тождество (см (5.54)) дает

В рассматриваемом случае нужна только одна компонента приращения скорости точки приложения импульса в направлении вектора . С учетом равенства получим

или где та же матрица-столбец, что в (6.43). Подстановка формул (6.43) дает

Сравнение с (6.9) показывает, что скалярная величина, стоящая в скобках, равна члену который нужен для (6.42). Следовательно,

После этого определяются также Численные результаты приведены в таблице.

В дополнение к отношениям затабулированы также Величины суть координаты в базисе приращений скоростей центров масс тел. Они вычислены по формуле (6.44) при .

На рис. стрелки показывают величину и направление скоростей центров масс всех тел непосредственно после удара. Приведенные в таблице данные позволяют построить мгновенные центры скоростей всех тел. Они удовлетворяют условию, что прямая, соединяющая мгновенные центры скоростей любых двух смежных тел, проходит через шарнирную точку между этими телами.

Если бы вся масса цепи была сосредоточена в одной точке, то импульс взаимодействия был бы равен Действительный импульс взаимодействия можно представить в виде Это соотношение определяет кажущуюся массу М системы. Сравнение с (6.45) дает Матрица А является положительно определенной, так что М М. В рассматриваемом случае . Если вычисления повторить для случая, когда материальная точка ударяется не в четвертое, а в тело всегда в центре масс и перпендикулярно к телу, — то получим следующие результаты:

Кажущаяся масса системы всегда много меньше действительной массы , за исключением случая слабо зависит от расположения точки соударения.

Численное интегрирование уравнений (6.41) с только что полученными начальными данными для дает движение цепи после удара. На рис. 6.12, в цепь показана в пяти положениях через равные промежутки времени. В четвертом положении конечная точка тела 1 соударяется с телом 7 в точке Р. Это соударение вызывает мгновенные изменения всех угловых скоростей (но не ), которые могут быть вычислены по формулам,

подобным использованным выше. Детали мы оставляем читателю. С полученными новыми начальными условиями численное интегрирование может быть продолжено до следующего соударения.

Задачи

(см. скан)