5. Общие системы многих тел

5.1. Вводные замечания

В предыдущей главе исследовались механические системы, состоящие либо из одного твердого тела, либо из нескольких твердых тел в некоторой особенно простой геометрической конфигурации. Важная роль, которую играют такие системы в классической механике, обусловлена тем, что их уравнения движения могут быть проинтегрированы в замкнутой форме. Это невозможно в общем случае, если система состоит из многих твердых тел в какой-нибудь произвольной конфигурации. Инженер сталкивается с бесчисленным множеством подобных систем. Чтобы указать только несколько примеров, можно вспомнить о сцеплениях в машинах, механизмах управления в автомобилях, железнодорожном поезде, составленном из соединенных упругими связями вагонов, об отдельном железнодорожном вагоне с его рессорами, о шагающих механизмах, манипуляторах и т. д.

Предположение, что отдельные тела таких систем твердые, является идеализацией, приемлемость которой в значительной мере зависит от характера исследуемой задачи. Так, в кривошипно-шатунном механизме кажущийся твердым соединяющий стержень должен рассматриваться как упругий элемент, когда интересуются его вынужденными изгибными колебаниями. С другой стороны, человеческое тело, состоящее, очевидно, из нетвердых элементов, можно с успехом рассматривать как систему связанных твердых тел, если интересуются его движением в целом. В этой главе все тела будут считаться твердыми. Однако в местах соединений тел могут находиться нетвердые элементы, такие, как пружины и демпферы.

Целью данного исследования является система точных нелинейных дифференциальных уравнений движения, кинематических соотношений, энергетических выражений и других величин, нужных при исследованиях в динамике систем многих тел. Математические формулы, которые предстоит вывести, должны удовлетворять двум требованиям, вообще говоря трудно выполнимым одновременно. Во-первых, они должны быть достаточно общими, чтобы могли описать динамическое поведение столь различных механических систем, упомянутых выше. Во-вторых, применение к любой конкретной механической системе должно быть связано с минимальным количеством подготовительной работы. Например,

уравнения Лагранжа второго рода

удовлетворяют только первому требованию, поскольку их использование для любой частной механической системы требует значительной работы по составлению функции Лагранжа и ее производных. Уравнения движения, которые будут получены в этой главе, являются значительно более определенными. Требуется, чтобы они имели стандартную форму:

с полностью определенными функциями в правых частях. В то же время, однако, вычислитель, пользующийся этими уравнениями, должен обладать полной свободой в выборе переменных на основе конкретной рассматриваемой механической системы, как в случае уравнений Лагранжа. Для уравнений движения, выраженных в такой явной форме, может быть составлена общая программа численного интегрирования. Одна из целей этой главы — дать возможность читателю сделать это. Однако формализм может быть полезен также для нечисленных исследований. Это будет достигнуто использованием надлежащих математических обозначений, которые приводят к формулам, допускающим простую физическую интерпретацию. Примеры исследований нечисленного характера будут приведены в разд. 5.2.5 и гл. 6.

Для полного описания системы многих тел требуется большое число параметров. Они должны характеризовать геометрию и распределение масс системы, а также природу внешних сил и сил, действующих в местах соединений тел. Параметры, описывающие геометрию и распределение масс, можно подразделить на следующие группы:

(1) число тел;

(2) параметры, характеризующие структуру взаимосвязей системы;

(3) параметры, характеризующие кинематические связи;

(4) параметры, характеризующие расположение шарниров на телах;

(5) массы и моменты инерции тел.

Прежде чем переходить к подробному изложению, необходимо дать некоторые определения и сделать предварительные замечания. На рис. 5.1 изображена система четырех тел. Между некоторыми парами тел имеется прямое взаимодействие посредством внутренних сил. Так, например, между телами, отмеченными номерами 2 и 3, существует прямое силовое взаимодействие, вызванное наличием кинематической связи в месте соединения

этих двух тел. Между телами 3 и 4 имеется прямое взаимодействие посредством магнитных сил. Тела 2 и 4, напротив, не действуют непосредственно друг на друга, их взаимодействие осуществляется косвенным путем через третье тело.

Два тела называются смежными тогда и только тогда, когда они непосредственно оказывают силовое воздействие одно на другое. Соединение между двумя смежными телами называется шарниром. Это определение придает слову шарнир более широкий смысл, чем обычно. Здесь оно используется для любого рода соединений, допускающих относительные вращательное и/или поступательное движения смежных тел, шарнир даже может не быть материальной связью (см., например, шарнир между телами 3 и 4 на рис. 5.1).

Рис. 5.1. Система четырех тел.

Рис. 5.2. Тела на рис. а соединены двумя шарнирами так, как показано на рис. б.

В шарнире объединены все силы взаимодействия между двумя смежными телами, так что каждая пара смежных тел имеет только один шарнир. Например, на рис. 5.1 шарнир между телами 1 и 2 включает как шаровое шарнирное соединение, так и пружину. Кроме того, для каждого шарнира существует только одна пара смежных тел. Это означает, что если, например, три тела соединены, как кажется на первый взгляд, одним шарниром, то этот шарнир будет считаться состоящим из двух отдельных шарниров, каждый из которых соединяет два тела. Система рис. 5.2,а из трех тел, насаженных на один невесомый вал, иллюстрирует подобную ситуацию. В действительности вал снабжен двумя шарнирами, как показано на рис. 5.2,б.

Описание структуры взаимосвязей системы (пункт (2) списка параметров) дает полную информацию о том, какие тела системы соединены шарнирами. Физические свойства шарниров в это описание не включаются. Их кинематические свойства являются, однако, темой пункта (3). Кинематические связи, реализуемые в шарнирах, могут быть любого вида, т. е. могут быть стационарными, нестационарными, голономными или неголономными. Все связи должны быть идеальными, т. е. силы реакций связей не совершают работу на возможных перемещениях. На практике

это помимо всего прочего означает, что в шарнирах отсутствует сухое трение.

Кинематические связи вводятся не только индивидуальными шарнирами, но также структурой взаимосвязей системы. Это иллюстрируется плоским кривошипно-шатунным механизмом на рис. 5.3, тела которого соединены тремя цилиндрическими шарнирами и одним скользящим соединением. Тело, называемое основанием, предполагается неподвижным в инерциальном пространстве. Общее число степеней свободы равно единице. Оно не изменится, если один цилиндрический шарнир заменить шаровым шарниром. С другой стороны, это число станет равным нулю, если оси трех цилиндрических шарниров смонтировать непараллельно одна другой.

Рис. 5.3. Плоский кривошипно-шатунный механизм— замкнутая кинематическая цепь.

Рис. 5.4. Система со структурой дерева (а) и система с замкнутой цепью, не являющейся кинематической цепью (б).

Кривошипно-шатунный механизм представляет собой простой пример широкого и важного класса систем многих тел, называемых системами с замкнутыми кинематическими цепями. В таких системах число степеней свободы зависит не только от кинематических свойств отдельных шарниров. Чтобы дать определение замкнутой кинематической цепи, необходимо ввести прежде всего понятие пути между двумя телами. Рассмотрим любые два тела в системе многих тел, например тела на рис. 5.4,а. Перейдем от одного тела к другому вдоль последовательности тел и шарниров так, что ни один шарнир не проходится дважды. Совокупность

выделенных таким образом шарниров называется путем между телами и .

Если для всех пар тел пути между ними определятся единственным способом, как для системы, изображенной на рис. 5.4,а, то говорят, что система имеет структуру дерева. Если, с другой стороны, существуют два различных пути между двумя телами, то эти два пути образуют замкнутую цепь. Система рис. 5.4,б содержит замкнутую цепь. Если, в частности, каждый шарнир в замкнутой цепи содержит по крайней мере одну кинематическую связь, то замкнутая цепь называется замкнутой кинематической цепью. Замкнутая цепь на рис. 5.4,б не является замкнутой кинематической цепью, поскольку в одном из его шарниров отсутствует кинематическая авязь. В противоположность этому кривошипно-шатунный механизм на рис. 5.3 представляет собой замкнутую кинематическую цепь.

На практике системы многих тел функционируют в двух существенно различных ситуациях. В большинстве систем одно или несколько тел связаны шарнирами с внешним телом, положение которого в инерциальном пространстве является заданной функцией времени. Типичными примерами таких систем являются двойной маятник с подвижной точкой подвеса (рис. 5.5,а), человек, одна или обе ноги которого находятся на эскалаторе (рис. 5.5,б), и большинство сцеплений в машинах, где корпус машины является внешним телом.

Очевидно, что размеры и инерциальные свойства внешнего тела несущественны, поскольку его движение задано. По этой причине внешнее тело не будет считаться телом системы, а будет представлено подвижным базисом, неизменно связанным с ним.

Рис. 5.5. Две системы со структурой дерева, которые соединены с внешним телом, совершающим заданное движение.

Рис. 5.6. Две системы со структурой дерева, не связанные с внешним телом, совершающим заданное движение.

На рис. 5.5,а,б этот базис обозначен через Заданное движение базиса, а также свойства шарниров между, основанием и системой войдут в уравнения движения, которые предстоит вывести.

Сравнительно редким является способ функционирования системы, при котором ни одно ее тело не связано с внешним телом, совершающим заданное движение. Типичные примеры таких систем — это движущийся по орбите спутник, составленный из многих тел (рис. 5.6,а), и человеческое тело в фазе движения без контакта с основанием (рис. Для составления скалярных дифференциальных уравнений движения таких систем требуется некоторая общая система отсчета, в которой могут быть разложены векторы и тензоры. В зависимости от рассматриваемой частной задачи эта система отсчета может совершать по отношению к инерциальному пространству движение, которое описывается заданной функцией времени. На рис. 5.6 подвижный базис обозначен через .

Положение системы многих тел в инерциальном пространстве определено однозначно, если положение смежных тел относительно друг друга известно для всех шарниров и если, кроме того, известно положение относительно одного произвольно выбранного тела системы. Это наводит на мысль ввести фиктивный шарнир между подвижным основанием, с которым связан базис и некоторым произвольно выбранным телом (на рис. 5.6 он обозначен штриховой прямой). После введения подвижного базиса и фиктивного шарнира, в котором, конечно, отсутствуют внутренние силы, ситуация становится теперь такой же, как и для систем, изображенных на рис. 5.5. Математическое описание структуры взаимосвязей системы будет, следовательно, одинаковым для обоих способов ее функционирования.