3.3.3. Главные оси и главные моменты инерции

Предположим, что для тела известна матрица инерции относительно некоторого полюса Р и для некоторого связанного с телом базиса и что она не является диагональной матрицей. Существует ли другой связанный с телом базис для которого матрица инерции (относительно той же самой точки Р) имеет диагональный вид? Если да, то как по матрице определяются диагональные элементы матрицы и матрица преобразования связывающая Ответ на эти вопросы получаем следующим образом.

Неизвестные связаны с уравнением (3.10). Опуская верхний индекс Р, это уравнение можно записать в форме Пусть и неизвестные диагональные элементы матрицы - столбец матрицы , т. е. матрица координат базисного вектора в базисе Тогда уравнение преобразования эквивалентно уравнениям . Каждое из этих уравнений представляет собой одну и ту же задачу на собственные значения:

Неизвестные суть собственные значения. Они являются корнями кубического уравнения

Неизвестные матрицы-столбцы суть соответствующие собственные векторы. Эти результаты не только отвечают на вопрос, как по матрице определяются . Они также показывают, что для любой матрицы инерции существует вещественный базис в котором матрица инерции имеет диагональный вид и вещественна. Это следует из того обстоятельства, что симметрическая матрица имеет вещественные собственные значения и собственные векторы и что, кроме того, собственные векторы взаимно ортогональны (см. Гантмахер [3]).

Собственные значения называются главными моментами инерции (относительно точки Р), а базисные векторы определяют направления, называемые главными осями инерции (относительно Р). При определении этих главных осей необходимо различать случаи, когда все три собственных значения отличаются одно от другого и когда уравнение (3.12) имеет двойной или тройной корень. В случае трех различных собственных значений в уравнении (3.11) каждая из трех матриц коэффициентов имеет дефект, равный единице. Тогда каждое из уравнений определяет единственным образом направление одной из главных осей инерции. Элементы матрицы-столбца А определяются, если принять во внимание уравнение связи

В случае двойного собственного значения главная ось, которая соответствует значению определяется, как и прежде, единственным образом. Однако для собственного значения матрица коэффициентов в уравнении (3.11) имеет дефект, равный двум, и поэтому уравнение определяет только плоскость. Это есть плоскость, проходящая через две главные оси, которые соответствуют значениям и Любые две взаимно перпендикулярные оси в этой плоскости (проходящие через точку Р) могут служить главными осями инерции, потому что для каждой такой оси момент инерции имеет величину

В случае тройного собственного значения исходная матрица уже имеет диагональный вид. Тогда все оси, проходящие через точку Р, являются главными осями инерции.