4.1.3. Решение уравнений движения Эйлера
Эйлер дал следующую замкнутую форму решения динамических уравнений движения. Прежде всего уравнения (4.5) и (4.6) разрешаются относительно о и 
соответственно как функции от 
В этих выражениях 
суть неотрицательные постоянные
которые удовлетворяют соотношению
Подстановка уравнений (4.9) во второе из уравнений (4.2) и разделение переменных дают
где 
— сокращенное обозначение результирующего знака двух квадратных корней. Этот знак будет определен позднее. Интеграл
в левой части представляет собой эллиптический интеграл первого рода. При приведении его к нормальной форме Лежандра следует различать три случая:
Случаи (а) и (в) соответствуют полодиям, которые охватывают оси 
соответственно, а случай 
— сепаратрисам (см. рис. 4.1). Рассмотрим сначала случай (а). Уравнение (4.10) можно переписать в виде
или
где
Решение имеет вид 
или
(относительно эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби см. Тёльке [7]). При подстановке его в уравнения (4.9) и использовании соотношений 
решения для и 
получаем в виде
Символы 
обозначают пока еще неопределенные знаки соответствующих квадратных корней. Недостающие соотношения между 
найдем при подстановке уравнений (4.12) и (4.13) во второе из уравнений (4.2). Принимая во внимание соотношение 
получаем 
или
Возможны только четыре комбинации знаков, удовлетворяющие этому соотношению. Этот результат находится в соответствии с тем фактом, что для каждого значения параметра 
существуют две разделяющие полодии и что на каждой из них 
проходит через нуль в двух различных точках (см. рис. 4.1,г).
для 
рассматривается аналогично. Результат приводит к выражениям
и аргументом
опять удовлетворяют соотношению (4.14).
так как решения для случаев (а) и (в) сходятся в пределе при 
к одному и тому же результату
Эти формулы показывают, что изменение 
вдоль сепаратрис является апериодическим. При 
т. е. при 
стремятся к нулю, а 
асимптотически приближается к значению 
Это движение представляет собой перманентное вращение вокруг оси 