4.1.3. Решение уравнений движения Эйлера
Эйлер дал следующую замкнутую форму решения динамических уравнений движения. Прежде всего уравнения (4.5) и (4.6) разрешаются относительно о и
соответственно как функции от
В этих выражениях
суть неотрицательные постоянные
которые удовлетворяют соотношению
Подстановка уравнений (4.9) во второе из уравнений (4.2) и разделение переменных дают
где
— сокращенное обозначение результирующего знака двух квадратных корней. Этот знак будет определен позднее. Интеграл
в левой части представляет собой эллиптический интеграл первого рода. При приведении его к нормальной форме Лежандра следует различать три случая:
Случаи (а) и (в) соответствуют полодиям, которые охватывают оси
соответственно, а случай
— сепаратрисам (см. рис. 4.1). Рассмотрим сначала случай (а). Уравнение (4.10) можно переписать в виде
или
где
Решение имеет вид
или
(относительно эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби см. Тёльке [7]). При подстановке его в уравнения (4.9) и использовании соотношений
решения для и
получаем в виде
Символы
обозначают пока еще неопределенные знаки соответствующих квадратных корней. Недостающие соотношения между
найдем при подстановке уравнений (4.12) и (4.13) во второе из уравнений (4.2). Принимая во внимание соотношение
получаем
или
Возможны только четыре комбинации знаков, удовлетворяющие этому соотношению. Этот результат находится в соответствии с тем фактом, что для каждого значения параметра
существуют две разделяющие полодии и что на каждой из них
проходит через нуль в двух различных точках (см. рис. 4.1,г).