5.2.8.1. Составление уравнения принципа Даламбера

В предыдущем разделе уравнения движения были получены на основе закона Ньютона и теоремы момента количеств движения, записанных для отдельных тел, выделенных в результате проведения разрезов через шарниры. Такой подход применим в принципе также и в случае других шарниров, отличных от шарового, универсального и цилиндрического. Это требует, однако, некоторой информации относительно направления сил и моментов сил реакций в шарнирах, с одной стороны, и относительно кинематики вращательного и поступательного движений смежных тел друг относительно друга, с другой. Даже этого минимума ииформации здесь нет, так как свойства шарниров не конкретизируются вообще. По этой причине выбраны методы аналитической механики. В разд. 3.5 принцип Даламбера был сформулирован для одного твердого тела (см. уравнение (3.25)). Этот же подход используется в настоящем случае. Для системы твердых тел принцип Даламбера можно записать в форме

где

В этом выражении обозначают те же самые величины, что и в предыдущем разделе, а именно массу тела радиус-вектор его центра масс относительно полюса, фиксированного в инерциальном пространстве, момент количеств абсолютного движения относительно этого центра масс, центральный тензор инерции и абсолютную угловую скорость соответственно. Векторы также представляют те же величины, что и прежде, а именно главный вектор и главный момент внешних сил, действующих на тело . Линия действия проходит через центр масс тела . Вектор представляет собой вариацию произведение произвольного единичного вектора на бесконечно малый угол.

Здесь необходимо подчеркнуть, что точки над и со обозначают дифференцирование по времени в инерциальной системе отсчета и что описывают вариации положения и ориентации тела по отношению к этой инерциальной системе отсчета. Суммирование по распространяется только от 1 до . Тело 0 исключается, так как в принципе Даламбера вариация означает вариацию при фиксированном времени . Отсюда следует, что вариация любой величины, связанной с движением тела 0, равна нулю, так как это движение задано как функция времени. Слагаемое представляет собой полную возможную работу, совершаемую в шарнирах системы. Силы реакции не вносят вклада в нее, так как они предполагаются идеальными. Возможная работа совершается в шарнирах пружинами, демпферами и другими подобными элементами. При наличии связей в шарнирах вариации не являются независимыми друг от друга. Отсюда следует необходимость выразить эти вариации через вариации других величин — обобщенных координат, вариации которых независимы. Это — задача чистой кинематики, которой мы займемся в следующих разделах. Динамическая часть этой задачи полностью содержится в уравнении (5.103). Для последующего использования перепишем это уравнение в матричной форме

со следующими матрицами:

Матрицы использовались в разд. 5.2.2 и 5.2.4 с таким же определением.

Частный случай. До перехода к кинематике сформулируем принцип Даламбера для частного случая системы с фиктивным шарниром 1. Радиус-векторы выражаются суммой где — радиус-вектор центра масс всей системы относительно полюса, фиксированного в инерциальном пространстве, и — вектор, проведенный из центра масс системы в центр масс тела Величины определены так же, как на рис. 5.21. Подставляя

в уравнение (5.103), получим

Величины удовлетворяют соотношению

Это приводит принцип Даламбера к виду

В шарнире 1 внутренние силы и моменты не действуют. Следовательно, , а также не зависят от Отсюда следует, что принцип Даламбера приводит к двум уравнениям:

и

Первое уравнение, в котором М обозначает полную массу системы, определяет движение центра масс всей системы. Второе уравнение имеет структуру уравнения (5.103). В силу связей в шарнирах и дополнительной связи, выраженной уравнением (5.107), вариации не являются независимыми. Они должны быть выражены через обобщенные координаты, выбранные подходящим образом. В матричной форме уравнение имеет вид

Оно отличается от уравнения (5.104) только матрицами-столбцами . Вывод уравнений движения для частного случая оставим пока в этом состоянии. Мы вернемся к нему снова после составления уравнений движения, применимых в обоих случаях.

Следующие два подраздела посвящены кинематике системы.

Конечной целью является получение выражений для и других кинематических характеристик в уравнении (5.104) через обобщенные координаты и их производные по времени и вариации. В первом подразделе дана кинематика движения двух смежных тел друг относительно друга. Эта часть имеет дело с отдельными шарнирами. Во втором разделе описывается кинематика движения отдельных тел относительно инерциального пространства. Это описание основано на соединении формул, выведенных в первом разделе, с понятиями теории графов. Вывод кинематических соотношений проводится полностью так же, как в разд. 5.26. Однако этот вывод сложнее в силу более общего характера связей. Все математические величины определяются таким образом, что оба вывода полностью идентичны в частном случае, когда все шарниры являются шаровыми, универсальными или цилиндрическими. Советуем читателю проверить это на каждом шаге вычислений.