4.1.1. Полодии и перманентные вращения

Исследование геометрических свойств полодий важно для понимания динамического поведения твердого тела при отсутствии внешнего момента. Полезно мыслить эллипсоид энергии как заданный и представить себе, что эллипсоид кинетического момента «раздувается» при увеличении параметра так, что на неизменяемом эллипсоиде генерируется семейство всех физически реализуемых полодий. Это семейство соответствует некоторому интервалу значений для которых эллипсоид кинетического момента не лежит целиком внутри или вне эллипсоида энергии. Минимальное и максимальное значения находятся в результате умножения уравнения (4.3) на соответственно и вычитания каждого из уравнений в отдельности из уравнения (4.4). В получаемых уравнениях

выражения в левой части неотрицательны, так что должны удовлетворяться неравенства

Таким образом, являются экстремальными значениями для которых уравнения движения имеют вещественные решения.

Особый интерес представляют вырожденные полодии, состоящие из отдельных точек. В таких точках эллипсоиды имеют общую касательную плоскость. Каждая особая точка соответствует решению уравнений движения. Это особое состояние движения называется перманентным вращением. Из уравнения (4.1) видно, что решение возможно только тогда, когда или вектор равен нулю (в этом тривиальном случае тело не вращается; оба эллипсоида вырождаются в одну точку), или когда и кинетический момент параллельны. В матричной форме это последнее условие приводит к координатному уравнению с неизвестным множителем т. е. к задаче на собственные значения

Уравнение (4.7) тождественно по форме уравнению (3.11), которое приводит к главным моментам и главным осям инерции. Из этого тождества следует, что собственные векторы уравнения (4.7), т. е. оси перманентных вращений, совпадают с главными осями инерции. Теперь возможно указать особые значения для которых эллипсоид кинетического момента соприкасается с эллипсоидом энергии в отдельных точках. В состоянии перманентного вращения около главной оси с угловой скоростью со интегралы движения принимают вид Отсюда следует, что .

Рассмотрим снова все семейство полодий. Ясную картину можно получить, если рассмотреть проекции полодий на главные плоскости инерции. Для получения проекции на плоскость, ортогональную , необходимо исключить из уравнений (4.3) и (4.4). Для проекций на плоскости, ортогональные векторам эта уже было сделано. Результирующими уравнениями являются уравнения (4.5) и (4.6). Аналогично получаем уравнение для проекции на плоскость, ортогональную :

В силу неравенств уравнения (4.5) и (4.6) описывают семейства эллипсов, тогда как уравнение (4.8) представляет семейство гипербол. Асимптоты гипербол соответствуют значению На рис. 4.1, а — в показаны все три проекции полодий для одного и того же множества значений

(кликните для просмотра скана)

Внешние кривые служат контурными эллипсами эллипсоида энергии. На полодиях в виде эллипсов и гипербол следует взять только те их части, которые целиком лежат внутри контурных эллипсов. Все три проекции вместе дают представление о пространственной структуре полодий. Пространственный вид показан на рис. 4.1,г. Полученные результаты можно резюмировать следующим образом. Каждому из значений параметра соответствует ось перманентного вращения, совпадающая с главной осью Значению дополнительно отвечают две особые полодии, которые пересекаются в точках, соответствующих перманентному вращению вокруг оси и разделяют все другие полодии на четыре семейства. Два семейства, соответствующие значениям охватывают ось а остальные, соответствующие значениям охватывают ось . Разделяющие полодии называются сепаратрисами.