4.7. Уравновешенный гиростат

В этом разделе уравнение (4.65) исследуется в частном случае, когда момент М внешних сил, приложенных к гиростату, тождественно равен нулю и, кроме того, кинетический момент в относительном движении имеет постоянные координаты в базисе, связанном с несущим телом. Опуская звездочку, имеем уравнение

Оно описывает движение уравновешенных гиростатов, роторы которых вращаются так, что для ( произвольно), а для ( произвольно). Для простоты это уравнение всегда будем интерпретировать как уравнение движения гиростата с одним ротором и постоянным моментом количества движения относительного движения.

Уравнение (4.66) обладает двумя алгебраическими интегралами которые находятся в результате умножения уравнения на соответственно:

Они представляют собой интегралы энергии и момента количеств движения. Отметим, что Т не является полной кинетической энергией, а дает лишь ту часть ее, которая остается, когда несущее тело вращается со своей угловой скоростью , а ротор «заморожен» в несущем теле. Величина равна модулю момента количеств движения составной системы в абсолютном движении. В проекциях на главные оси координат составной системы уравнения (4.66) и (4.67) имеют вид

Параметр имеющий размерность момента инерции, введен для удобства, а также чтобы показать сходство с интегралом (4.4) для уравновешенного твердого тела.

В приводимом ниже исследовании будет рассмотрен только наиболее общий случай, когда все три главных момента инерции отличны один от другого и, кроме того, все три координаты кинетического момента отличны от нуля

Не ограничивая общности, предположим, что . Те же самые предположения были сделаны в разд. 4.1 при исследовании динамики уравновешенного твердого тела.

4.7.1. Полодии и перманентные вращения

Интегралы (4.69) и (4.70) аналогичны интегралам (4.3) и (4.4) движения уравновешенного твердого тела в том отношении, что они определяют два эллипсоида, которые неподвижны относительно несущего тела, и оба представляют собой геометрические места концов вектора Поэтому конец вектора угловой скорости лежит на линии пересечения этих эллипсоидов. Так же как и для твердого тела, эти линии называются полодиями. Их исследование значительно более сложно, чем в случае твердого тела, поскольку центры эллипсоидов не совпадают. Вследствие этого, например, проекции полодий на главные плоскости не являются эллипсами или гиперболами, а представляют собой кривые четвертого порядка.

Как и в разд. 4.1.1, вообразим, что эллипсоид энергии задан, а эллипсоид момента количеств движения «раздувается» при увеличении параметра . В этом процессе семейство всех физически реализуемых полодий находится на эллипсоиде энергии. Особый интерес по-прежнему представляют собой такие вырожденные полодии, которые имеют особые точки. Эти точки соответствуют перманентным вращениям с постоянными угловыми скоростями . Каждой изолированной точке отвечает частное значение параметра служащее для определения соответствующего эллипсоида момента количеств движения. Расположение изолированных точек на эллипсоиде энергии, а также соотношения между и системой параметров

и можно найти из дифференциальных уравнений и из интегралов движения. В соответствии с уравнением (4.66) для существования решений вида необходимо, чтобы или , или или с пока неопределенным скаляром .

Первые два условия соответствуют тривиальным случаям. В первом случае эллипсоид энергии вырождается в точку. Несущее тело неподвижно и движется только ротор. Во втором случае эллипсоид момента количеств движения вырождается в точку. В третьем случае эллипсоиды не вырождаются и имеют общую касательную плоскость в особой точке, отвечающей . Это условие не прцводит к задаче на собственные значения, как это имело место для твердого тела (см. уравнение (4.7)). Пусть — координаты единичного вектора и, направленного по оси ротора; тогда . В координатной форме третье условие записывается в виде

Неизвестное Я определяется из уравнения

получаемого при подстановке в интеграл (4.69). Уравнением для X вводится параметр Он имеет размерность момента инерции. Уравнение (4.72) представляет собой уравнение шестого порядка для Каждому вещественному решению отвечает одно перманентное вращение. Величина параметра которая определяет соответствующий эллипсоид момента количеств движения, следует из уравнения (4.70):

Для определения числа осей перманентных вращений рассмотрим функцию (рис. 4.10)

Она имеет полюсы второго порядка для . Кроме того, она всюду положительна и имеет только по одному минимуму в каждом из интервалов так как . Эти минимумы находятся из условия , т. е. из уравнения

Оно приводится к полиному шестого порядка, который имеет только два вещественных корня. Из этих свойств функции можно вывести следующие заключения. Уравнение (4.72) имеет или шесть, или четыре, или два вещественных решения, зависящих от выбора системы параметров. Это уравнение имеет также двойные корни, являющиеся корнями уравнения (4.74). Каждому вещественному решению соответствует угловая скорость перманентного вращения с проекциями, вычисляемыми по формулам (4.71). Ни одна из этих проекций не может быть равна нулю, так что оси перманентных вращений не параллельны ни главным осям инерции, ни главным плоскостям инерции. Любая другая ось — при заданных моментах инерции — может быть осью перманентного вращения при соответствующем выборе Для заданной системы параметров не существует двух векторов угловой скорости, имеющих противоположные направления.

Рис. 4.10. Функция

Представляют интерес два вырожденных случая. Для гиростат является твердым телом. Оно имеет шесть осей перманентных вращений, которые совпадают с главными осями инерции (три оси, если не различать перманентных вращений противоположных направлений). В пределе т. е. для корни уравнения (4.72) стремятся к двойным корням . Для каждого корня две из трех проекций равны нулю в соответствии с уравнениями (4.71). Это означает, что все шесть векторов перманентных угловых скоростей действительно имеют направления главных осей инерции.

Во втором вырожденном случае бесконечно велико, а сохраняет конечное значение. В этом случае вращение несущего тела гиростата медленное, а угловая скорость вращения ротора бесконечно велика. Поэтому динамическое поведение гиростата определяется движением ротора. Следовательно, можно ожидать, что существуют только две оси перманентных вращений, совпадающие с осью симметрии ротора. Это действительно имеет место. В пределе при уравнение (4.72) имеет только два вещественных

решения, а именно . Для проекций соответствующих перманентных угловых скоростей из уравнений (4.71) получаем соотношение которое означает, что вектор параллелен оси ротора.