5.2.6.3. Исключение моментов сил реакций связей

Ранее уже упоминалось, что последним шагрм в составлении уравнений движения является исключение моментов сил реакций связей. Подобно силам реакций связей, которые были исключены в разд. 5.2.2 и 5.2.4, моменты сил реакций связей важны только для анализа усилий, возникающих в шарнирных механизмах при движении. Получим их в явном виде, умножив последнее уравнение слева на Т:

Исключение из этих уравненийосуществляется теперь непосредственно. Каждый момент силы реакции связи встречается только в единственном векторном уравнении. Предположим, что шарнир

является цилиндрическим. Тогда перпендикулярен единичному вектору лежащему на оси шарнира. Этот момент исчезнет, если уравнение умножить скалярно на . В результате получится одно скалярное дифференциальное уравнение для каждого шарнира со степенью свободы Это уравнение содержит среди других членов произведение Это момент силы относительно оси шарнира, который мог бы быть вызван, например, торсионной пружиной или демпфером. Он является известной функцией .

Предположим далее, что шарнир универсальный. Тогда перпендикулярен единичным векторам расположенным на осях шарнира. Этот момент исчезает, если уравнение системы (5.96) умножить скалярно либо на либо на Выполнив оба умножения, получим два линейно независимых скалярных дифференциальных уравнения для каждого шарнира со степенями свободы . В эти два уравнения входят произведения и Их можно интерпретировать как моменты относительно осей шарнира таких сил, которые могли бы быть вызваны, например, торсионными пружинами и демпферами. Как и в случае цилиндрического шарнира, они являются известными функциями переменных шарнира .

Наконец, предположим, что шарнир а шаровой. В этом случае момент силы реакции связи тождественно равен нулю. Умножив скалярно уравнение системы (5.96) отдельно на мы получим три линейно независимых скалярных дифференциальных уравнения. Произведения для интерпретируются так же, как и в предыдущих случаях. Легко проверить, что все скалярные умножения, о которых только что шла речь, будут выполнены сразу, если умножить скалярно уравнение (5.96) на матрицу транспонированная матрица которой дается выражением (5.91). Перегруппировав оставшиеся в правой части члены, получим, следовательно, уравнения движения в окончательной форме:

где

Матрица коэффициентов А, очевидно, не постоянна. Ее элементы содержат скалярные произведения векторов и тензоров, координаты которых определены в векторных базисах, фиксированных в разных телах. Поэтому при численных расчетах матрица должна

быть вычислена и обращена заново в каждый момент времени, когда вычисляется матрица-столбец . Это требует большого количества общего времени вычислений, необходимого для интегрирования. Как вычисление, так и обращение А существенно упрощаются благодаря тому, что А — симметрическая матрица.

Это является следствием соотношения которому удовлетворяют элементы матрицы К (см. (5.33) и (5.60)). Формальное доказательство положительной определенности А будет получено среди прочих результатов в разд. 5.2.8.

Рис. 5.3.1. а — протез руки с шестью степенями свободы; б — ориентированный граф системы; в — нулевое положение, в котором все шесть угловых координат равны нулю.

Иллюстративный пример 5.2. На рис. 5.31,а показан протез руки с плечевым шаровым шарниром, цилиндрическим шарниром в локте и универсальным шарниром в запястьи. Две оси шарниров, фиксированные относительно предплечья, перпендикулярны одна другой. Движение векторного базиса который связан с корпусом тела, задано как функция времени. Для этой конкретной системы поясним более подробно некоторые из величин, входящих в уравнение (5.97). Необходимо отметить, что принятое ниже решение, касающееся графа системы, а также выбора обобщенных координат, представляет собой только одну из многих возможностей. Тела и шарниры пронумерованы так, как показано на рис. 5.31,а. Это правильная нумерация в смысле разд. 5.2.1. Для дуг в соответствующем графе системы выбраны направления, показанные на рис. 5.31,б.

Предполагаемый выбор направлений дуг имеет то преимущество, что обобщенные координаты, которые определяются ниже, описывают

положение и движение кисти относительно предплечья, предплечья относительно плеча и плеча относительно соответственно. Это кажется более естественным, чем описывать, например, движение предплечья относительно кисти. Правильная нумерация и специальный выбор направлений дуг дают еще и другое, более важное преимущество. В матрице Т графа

все ненулевые элементы расположены в верхнем треугольнике, и, кроме того, все они имеют одинаковые знаки. Эти два свойства можно использовать для сокращения времени работы вычислительной машины. Приведем два поясняющих примера. Абсолютные угловые скорости в уравнении (5.87) могут быть вычислены по рекуррентной формуле

а соотношение (5.95) для матриц преобразования сводится к следующей рекуррентной формуле:

Специальный вид матрицы Т упрощает также выполнение всех умножений на Г и в формулах (5.98) и (5.99). Указанные преимущества правильной нумерации в сочетании с одинаковыми направлениями дуг особенно важны при численных расчетах в системах с большим количеством тел и шарниров.

На рис. 5.31, в рука изображена в положении, которое будем называть нулевым положением, поскольку все угловые переменные, определяемые ниже, при этом равны нулю. В нулевом положении рука висит вертикально с распрямленным локтевым шарниром, причем одна ось запястья и ось локтевого шарнира параллельны прямой, проходящей через оба плечевых шарнира. В этом положении неизменно связанные с телами векторные базисы параллельны один другому и ориентированы так, как показано на рисунке.

В качестве обобщенных координат выбираются углы Брайнта Для шарнира 1 и углы для локтевого шарнира и Для шарнира запястья. По поводу определения углов Брайнта см. рис. 2.3, на котором для рассматриваемого случая следует заменить на для . Оси вращения для запястья обозначены на рис. 5.31,в. Единичные

векторы входящие в формулу (5.82), имеют следующие матрицы координат:

Матрицы преобразований определенные соотношением (5.85), имеют вид (здесь введены обозначения )

Матрица написана согласно формуле (2.5). Чтобы найти выражения для векторов определенных соотношением (5.83), продифференцируем по времени координаты векторов в базисе в результате получим и

В программе для численного интегрирования уравнения (5.97) необходимо вычислять матрицу-столбец для заданных значений обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени. Сначала определяются матрицы Матрицы преобразований

получаются из матриц с помощью рекуррентной формулы, которая объяснена раньше. Используя эти матрицы, мы можем затем рассчитать координаты всех векторов и тензоров в общей системе координат После этого выполняются все скалярные и векторные умножения векторов и тензоров, которые необходимы для вычисления матриц А и В в уравнении (5.97). При программировании этих элементов используется матричная запись вида, указанного в гл. 1. Более подробные инструкции для программирования будут даны в разд. 5.2.7.