МЕТОДЫ ОРТОГОНАЛЬНОГО ВРАЩЕНИЯ: КВАРТИМАКС, ВАРИМАКС И ЭКВИМАКС

Мы остановимся только на основных принципах каждого метода, так как предполагается, что читатель будет использовать какую-то готовую компьютерную программу. В предыдущем разделе описана простейшая структура при заданном числе общих факторов k и числе переменных п. Полезно еще раз повторить некоторые свойства такой матрицы.

Поскольку каждая переменная имеет нагрузку только на один фактор, интерпретация переменных не представляет труда. Но для численного использования эта характеристика степени сложности неудобна. Одной из возможных мер сложности модели является вариация квадрата факторной нагрузки для каждой строки (для каждой переменной).

Мы рассматриваем квадрат нагрузок только для того, чтобы избежать осложнений, связанных с учетом знака. Известно, что дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата отклонений от среднего, поэтому при фиксированном числе факторов и заданных общностях дисперсия максимальна, если одно из значений квадратов нагрузок равно общности, а все остальные элементы в строке нулевые. Иначе говоря, дисперсия квадратов факторных нагрузок переменной есть мера факторной сложности этой переменной:

где — число столбцов факторной матрицы; — факторная нагрузка фактора на переменную; ЬХ] — среднее значение квадратов факторных нагрузок в строке. Соотношение (19) может быть представлено в следующем виде:

Число факторов и общности каждой переменной считаются известными в результате решения задачи выделения первоначальных факторов. Поэтому слагаемое, входящее в (20) с отрицательным знаком, является константой, ибо

в случае ортогонального решения. Общей мерой сложности может служить сумма всех переменных

Использование критерия квартимакс основано на вращении осей таким образом, чтобы результирующие факторные нагрузки максимизировали q. При этом максимизация q эквивалентна максимизации следующего выражения:

так как слагаемое со знаком минус в (21) является константой. Отсюда и название — квартимакс.

На практике, применяя этот критерий, можно достичь простоту интерпретации переменных за счет простоты интерпретации факторов.

В частности, описание переменной упрощается при уменьшении числа общих факторов, связанных с ней. В то же время описание фактора становится проще, если относительно небольшое число переменных имеют существенные нагрузки на этот фактор, а остальные переменные — нулевые нагрузки. В общем, метод квартимакс имеет тенденцию к выделению генерального фактора.

Метод варимакс использует несколько другой критерий, в котором добиваются упрощения описания столбцов факторной матрицы. Вместо дисперсии квадратов нагрузок переменной рассматривается дисперсия квадратов нагрузок фактора. Индекс сложности фактора равен:

Заметим при этом, что выражение

где суммирование происходит по номеру параметра i, не является константой. Общая мера простоты задается критерием

известным под названием Критерия варимакс. Обычно нормированные факторные нагрузки применяют, чтобы избавиться от нежелательного влияния на результат вращения переменных с большой общностью, т. е. в выражении (24) квадраты нагрузок заменяются на , а четвертые степени

В табл. 6 представлены результаты применения методов квартимакс и варимакс (с нормированием) к одним и тем же данным. Отметим, что, хотя, алгоритмически метод квартимакс проще, чем варимакс, последний дает лучшее разделение факторов. Эксперименты, проведенные Кайзером (Kaiser, 1958), показывают, что факторная матрица, получаемая с помощью метода вращения варимакс, в большей степени инвариантна по отношению к выбору различных множеств переменных.

Таблица 6. Результаты вращений по методам варимакс и квартимакс, применяемых к факторной матрице в табл. 41

Учитывая, что критерий квартимакс основан на упрощении описания строк, а критерий варимакс на упрощении описания столбцов, можно предложить некоторый совместный критерий, введя соответствующие веса. Обобщенный критерий имеет вид

(25)

где Q — задается соотношением (22), а V — соотношением (24), умноженным на для удобства представления и с учетом того, что умножение на константу не влияет на процесс нахождения максимума; — веса. Полученный критерий запишем в форме:

(26)

где

Если то образуется критерий квартимакс, а если то варимакс. При получаем особые критерии, названные эквимакс и биквартимакс соответственно.