ЧИСЛО ЭМПИРИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИИ ДЛЯ ФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ

С учетом вышесказанного важной характеристикой информативности гипотезы является число ограничений, накладываемых данной факторной моделью (т. е. число условий, которым должны удовлетворять элементы корреляционной матрицы для возможного их восстановления с помощью факторной модели). Оказывается, это число равно количеству степеней свободы для критерия значимости решения максимального правдоподобия. Ясное понимание зависимости между факторной гипотезой и соответствующим ей числом степеней свободы является решающим моментом для понимания конфирматорного факторного анализа.

Существует несколько различных подходов к определению числа ограничений для элементов корреляционной матрицы. Один подход сводится к использованию теоремы о ранге. В этой теореме утверждается, что если на диагональ корреляционной матрицы поместить общности, соответствующие -факторной модели, то ранг (число линейно-независимых строк или столбцов) редуцированной корреляционной матрицы будет равен . При этом все миноры, содержащие больше, чем строк и столбцов, будут иметь нулевой детерминант. Отсюда можно определить число условий, которым должна удовлетворять корреляционная матрица при заданном числе факторов и параметров (Harman, 1976). Другой подход связан с изучением степеней свободы для критерия значимости. По-видимому, второй подход является более общим.

Для примера предположим, что мы имеем дело с эмпирической корреляционной матрицей. Количество аппроксимируемых параметров, содержащихся в ней, равно числу элементов над главной диагональю. Факторный анализ позволяет получить первоначальное решение с помощью варьирования факторных нагрузок ( — число общих факторов) с тем, чтобы обеспечить наилучшее воспроизведение наблюдаемой корреляционной матрицы. Но для первоначального факторного решения требуется ортогональность полученных факторов. Это условие влечет за собой дополнительных связей. Поэтому число свободных параметров составит

Итак, число условий, которым должны удовлетворять элементы корреляционной матрицы, задается соотношением

Таблица 8. Число степеней свободы для переменных и факторов

Выражение (36) и определяет упомянутое выше число степеней свободы. Когда вместо корреляционной матрицы используется ковариационная матрица, число независимых элементов равно , а не . Однако число степеней свободы не меняется, поскольку возникают дополнительные условия, связанные с применимостью факторной модели к ковариационной матрице.

В табл. 8 представлены значения числа ограничений при различных комбинациях количества факторов и переменных. Следует выделить несколько аспектов. Во-первых, как правило, число эмлирических ограничений увеличивается при возрастании отношения числа переменных к числу факторов. Во-вторых, когда число ограничений отрицательно, эмпирическое подтверждение факторной модели невозможно. Таким образом, имеет смысл рассматривать только модели, которые накладывают на данные некоторые ограничения. Например, применение двухфакторной модели при четырех переменных и трехфакторной модели при шести переменных — неинформативно. В-третьих, число ограничений для фиксированного количества факторов быстро растет при увеличении числа переменных, т. е. добавление переменной заметно повышает информативность полученного факторного решения. В-четвертых, в эмпирическом подтверждении решения более существенное значение имеет разность между числом переменных и числом факторов, а не их отношение. Заметим, что количество ограничений практически одинаково для следующих комбинаций: 1 фактор при 7 переменных (14); 2 — при 8 (13); 3 - при 9 переменных (12) и так далее.

Однако нет оснований считать разность между числом переменных и числом факторов непосредственной мерой степени эмпирического подтверждения. Альтернативой служит отношение количества ограничений к количеству независимых коэффициентов наблюдаемой матрицы. Хотя в таблице эти отношения не представлены (знаменатели их приведены в последнем столбце), следует отметить их достаточно высокую информативность.

При оценивании степени эмпирического подтверждения факторного решения следует принимать во внимание два осложняющих дело обстоятельства: 1) определенные свойства, присущие генеральной совокупности не обязательно могут проявиться в выборке; 2) даже при использовании генеральной совокупности факторная модель может не совсем точно соответствовать экспериментальным данным. Другими словами, свойства генеральной совокупности должны оцениваться с учетом этих расхождений. Более того, на практике не представляется возможным отделить действие одного из этих упомянутых обстоятельств от другого. Таким бразом, само по себе выражение (36) не может служить мерой степени эмпирического подтверждения. Решение, на которое накладывается большее число ограничений, обеспечивает более значительную степень подтверждения при заданной степени расхождения между факторным решением и наблюдениями. Поэтому необходимо научиться оценивать вышеупомянутое расхождение.