НЕСКОЛЬКО ОБЩИХ ФАКТОРОВ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СЛОЖНОСТИ

Усложним ситуацию, предположив, что имеются два и более общих фактора. Три рассмотренных критерия можно обобщить для многофакторного случая как для ортогонального, так и для косоугольного решений. Все результаты, полученные для одного фактора, справедливы и для нескольких факторов. Тем не менее тот факт, что корреляция значения фактора с его оценкой не равна 1, порождает в многомерном случае следующие вопросы: 1) будут ли факторные шкалы ортогональны друг другу, если сами скрытые факторы являются ортогональными; 2) будет ли каждая шкала коррелировать только с соответствующим ей фактором (факторная шкала называется монохроматической, если ее частные коэффициенты корреляции с другими факторами нулевые)? В общем случае всем этим требованиям не удовлетворяет ни одна из оценок. Факторные шкалы будут коррелировать друг с другом, даже если скрытые факторы предполагаются ортогональными; кроме того, корреляции между факторными шкалами не совпадают точно с корреляциями между косоугольными факторами. Поэтому шкала некоторого фактора будет коррелировать с другими факторами.

Однако в частном случае перечисленные требования выполняются, во-первых, когда факторная модель точно соответствует экспериментальным данным и отсутствуют выборочная изменчивость и ошибки измерений и, во-вторых, каждая переменная имеет нагрузку только на один фактор. Если выполняются эти два условия, каждый фактор или размерность можно рассматривать отдельно, причем задача сводится к однофакторной модели для данных без ошибок.

Кроме того, как уже было отмечено, в этих условиях нет неопределенности при выборе критерия для оценки шкал — все они будут эквивалентны. К сожалению, такая идеализированная ситуация практически не осуществима.

Тем не менее есть еще и другие условия, когда для некоторых факторных шкал выполняются требования ортогональности и монохроматичности. Если первоначальные факторы (до вращения) были выделены с использованием критерия максимального правдоподобия, регрессионная оценка и оценка Бартлетта для факторных шкал будут ортогональны и монохроматичны. Правда, ортогональность в скрытой факторной модели проявляется далеко не всегда. К тому же после проведения ортогонального вращения для регрессионной оценки факторных шкал уже не выполняется ни одно из этих свойств, а для оценки Бартлетта остается справедливым только условие монохроматичности, т. е. ни тот, ни другой набор шкал после вращения не будет ортогональным.

Эти обстоятельства послужили мотивом появления четвертого критерия для шкалирования, введенного Андерсеном и Рубином (Anderson, Rubin, 1956). Критерий Андерсена — Рубина является модификацией подхода Бартлетта. Минимизируется взвешенная сумма квадратов, используемая в критерии Бартлетта, при условии, что получаемые шкалы ортогональны друг другу. Соответственно, независимо от того, вращаются факторы или нет, критерий дает некоррелированные шкалы. Тем не менее последние при вращении факторов не являются монохроматическими, даже если для выделения первоначальных факторов применяется метод максимального правдоподобия.

Выбор метода шкалирования

При выборе метода необходимо проанализировать свойства получаемых шкал. Если рассматривать корреляции между скрытыми факторами и их шкалами, то регрессионный метод предпочтительнее метода Бартлетта, а метод Бартлетта в свою очередь предпочтительнее метода наименьших квадратов.

С точки зрения требования монохроматичности оценка шкал по критерию Бартлетта является наилучшей, а если брать свойство ортогональности, то предпочтительнее критерий Андерсона — Рубина. Однако, так как чаще всего заранее неизвестно, ортогональны ли скрытые факторы, выбирать следует либо регрессионный анализ, либо метод Бартлетта.

Надо еще упомянуть некоторые обстоятельства, на которые нужно обратить внимание при выборе критерия. Во-первых, как правило, все введенные шкалы сильно коррелированы, поэтому на практике обоснование предпочтительности того или иного метода имеет лишь академический интерес. Для оценивания шкал хорош любой способ (Horn, 1965; Alwin, 1973). Во-вторых, выбор метода шкалирования зависит еще и от специфики решаемой задачи. Такер (Tucker, 1971) отмечает, что, если факторные шкалы используются совместно с какими-то новыми, внешними переменными, некоторые методы являются более предпочтительными.

Так, он показывает, что шкалирование с помощью регрессионного анализа не позволяет правильно оценивать корреляции между скрытыми факторами и внешними переменными, в то время как остальные методы это допускают.

С другой стороны, если задача состоит только в применении факторных шкал как предикторов для значений внешних переменных, регрессионный критерий является наилучшим.

И наконец, надо иметь в виду, что все приведенные выводы относились к случаю, когда модель точно соответствует генеральной совокупности, и расхождения между моделью и экспериментальными данными вызвано лишь случайностью выборки. Что же произойдет, если такое соответствие нарушится или если факторный анализ будет использоваться лишь в качестве эвристического метода выделения кластеров в экспериментальных данных? Тогда все сказанное выше о сравнении методов может иметь второстепенное значение, а основную роль будут играть какие-то другие, не относящиеся к факторному анализу, соображения.