МЕТОДЫ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

Наиболее ранним методом факторного анализа является метод главных факторов, в котором методика анализа главных компонент используется применительно к редуцированной корреляционной матрице. На главной диагонали последней располагают общности, для оценивания которых обычно пользуются квадратом множественного коэффициента корреляции между соответствующей переменной и совокупностью остальных переменных. Также может применяться наибольший по абсолютной величине коэффициент корреляции в соответствующей переменной строке корреляционной матрицы.

После размещения оценок общностей на главной диагонали корреляционной матрицы выделяются факторы таким же способом, что и в анализе главных компонент.

Другими словами, факторный анализ проводится исходя из характеристического уравнения, как и в анализе главных компонент (отсюда и название — метод главных факторов). Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид

где — редуцированная корреляционная матрица с оценками общностей на главной диагонали. Хотя настоящий подход еще широко распространен, он постепенно уступает место методу наименьших квадратов, к изложению которого мы и приступаем.

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов в факторном анализе сводится к минимизации остаточной корреляции после выделения определенного числа факторов и к оцениванию степени соответствия вычисленных и наблюдаемых коэффициентов корреляции (берется сумма квадратов отклонений). Если взять количество факторов, равное числу переменных, то вычисленные и наблюдаемые коэффициенты корреляции совпадут. Кроме того, расхождение между ними уменьшается при увеличении числа предполагаемых факторов. Поэтому, используя метод наименьших квадратов, мы будем считать, что число факторов меньше числа переменных.

В общих чертах алгоритм состоит в следующем. На первом шаге предполагается, что число факторов есть некоторое k. (Можно начать с однофакторной гипотезы, а затем, увеличивая число факторов, получить приемлемое решение.) На втором шаге производится оценка общностей. (Применяется квадрат множественного коэффициента корреляции между данной переменной и остальными.) На третьем шаге выделяются k факторов, для которых вычисленные коэффициенты корреляции наилучшим образом приближают наблюдаемые корреляции (в смысле минимума суммы квадратов отклонений). На этом этапе решается уравнение, аналогичное (9). На четвертом шаге снова производится оценка общностей, причем используется матрица факторного отображения, полученная на предыдущем этапе. Процесс повторяется до тех пор, пока дальнейшее улучшение станет невозможным. Описанный алгоритм известен под названием: «Метод главных факторов с итерациями по общностям».

Метод минимальных остатков (Harman, 1976) также является итерационной процедурой, основанной на том же принципе, что и метод главных факторов, причем с вычислительной точки зрения данный подход более эффективен. Для метода минимальных остатков при большом объеме выборки применим критерий хи-квадрат. Харман утверждает, что этот приближенный критерий независим от метода выделения факторов и может использоваться не только в алгоритме минимальных остатков. Критерий хи-квадрат может быть применен для проверки окончания работы алгоритма (Harman, 1975; McDonald, 1975).

Таблица 3. Метод главных факторов с итерациями по общностям (исследование политических взглядов)

Хотя этот критерий применяется для больших выборок, «ирония» заключается в том, что именно когда объем выборки велик, даже незначительная по величине сумма квадратов отклонений может быть статистически значима. Поэтому Харман предлагает рассматривать число факторов, получаемых с помошью критерия хи-квадрат, лишь как оценку сверху и выделять существенные, теоретически интерпретируемые факторы после анализа результатов вращения.

В табл. 3 представлены результаты вычислений по итерационному методу главных факторов для исходных данных, взятых из табл. 1.