III. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ДИСКРИМИНАНТНЫХ ФУНКЦИИ

Канонические дискриминантные функции определены, и теперь можно приступить к их интерпретации. Задача сводится, во-первых, к изучению относительных расстояний между объектами и центроидами классов и, во-вторых, к рассмотрению соотношений между отдельными переменными и функциями. Если существует более одной функции, мы также задаемся вопросом, все ли из них необходимы. Для большей конкретности начнем с изучения экспериментальных данных Бардес.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИСКРИМИНАНТНЫХ ЗНАЧЕНИИ

В табл. 4 представлены нестандартизованные дискриминантные коэффициенты для трех функций, полученных по данным Бардес. Эти функции определяют трехмерное пространство, в котором располагаются наблюдения, соответствующие отдельным сенаторам. Функция 1 определяет одну из осей. Если представить себе обычное трехмерное пространство, функцию 1 естественно считать горизонтальной осью. Способ получения функции 2 приводит к требованию ее перпендикулярности к функции 1, так что она должна представлять совершенно отличную информацию (две функции должны быть некоррелированы). Это будет вертикальная ось. Третья функция должна быть перпендикулярна первым двум.

Коэффициенты представляют положение наблюдений в дискриминантном пространстве. Формула для первой функции следующая:

где обозначает дискриминантные значения для наблюдения по функции — значение дискриминантного параметра для наблюдения из класса. Формулы для двух других функций аналогичны.

Эти формулы сводятся к тому, что значение дискриминантной функции для каждого объекта получается путем умножения значений дискриминантных переменных на соответствующие коэффициенты, а затем сложения полученных произведений с некоторой постоянной. (Эта постоянная выбирается так, чтобы среднее значение дискриминантной функции по всем наблюдениям было нулевым.)

Таблица 4. Нестандартизованные дискриминантные коэффициенты

Теперь вычислим значения дискриминантных функций непосредственно для одного из сенаторов в рассматриваемом примере. В табл. 5 приводятся результаты исследования позиции сенатора Айкена. Для каждой функции в таблице представлены нестандартизованные коэффициенты и соответствующие значения наблюдаемых переменных. Произведение этих двух чисел вносит вклад в значение дискриминантной функции, характерной для позиции сенатора Айкена. Сумма вкладов и есть значение дискриминантной функции.

Последние определяют точку в пространстве дискриминантных функций. Ее координаты по позиции Айкена таковы: 2,25; —3,22; -0,90.

Можно также сделать заключение о том, насколько типично мнение Айкена среди других сенаторов. Помогают в этом дискриминантные значения, поскольку они выражены в единицах стандартного отклонения. По первой функции позиция Айкена — положительная (это означает, что он выступает за большие расходы на помощь иностранным государствам). По второй функции — резко отрицательная (он — за введение менее жестких ограничений). По третьей функции его позиция в некоторой степени отрицательна (он выступает против помощи государствам, испытывающим финансовые затруднения).

В качестве второго примера рассмотрим позицию сенатора Бриджеса, для которой значения наблюдаемых переменных следующие: 1,0; 2,5; 1,4; 2,0; 3,0; 3,0 соответственно. В пространстве дискриминантных функций точка, означающая позицию Бриджеса, занимает положение: 1,37; 2,51; —1,17.

Очевидно, мнения Бриджеса и Айкена очень далеки друг от друга в дискриминантном пространстве. По функции 1 они отличаются ненамного, по функции 2 занимают противоположные позиции, а по функции 3 позиция Бриджеса несколько более отрицательна, чем у Айкена.

Таблица 5. Вычисление дискриминантных значений для сенатора Айкена

Нестандартизованные коэффициенты представляют собой изменение положения точки в дискриминантном пространстве при единичном приращении соответствующей переменной. Если представить себе, что некоторый сенатор меняет свое положение по переменной CUTAID от 1,0 до 2,0 (при всех прочих неизменных), его положение по функции 1 продвинется на 0,8078 единицы в положительном направлении. Разумеется, сенаторы не могут изменить свои позиции в прошлом, но нестандартизованные коэффициенты могут использоваться, чтобы различать одного сенатора от другого.

Позиции, занимаемые Айкеном и Бриджесом, имеют одно и то же значение переменной, а значение переменной ANTIYUGO Айкена составляет 1,0, а Бриджеса — 3,0. Это отличие в две единицы означает, что за счет переменной мнение Бриджеса будет отстоять от мнения Айкена на 2,2228 единицы в отрицательном направлении по функции . Поскольку позиции этих сенаторов отличаются также по другим переменным, необходимо рассмотреть все отличия, прежде чем мы узнаем их окончательное положение в дискриминантном пространстве. Однако часто представляет интерес изучение вклада данной переменной при фиксированных остальных.

В общем случае неэффективно рассматривать каждый объект отдельно, разве что число объектов очень мало. Чаще нас интересует положение центроида класса, т. е. «наиболее типичное» положение для каждой группы. Оно может быть вычислено с помощью групповых средних в формулах. По данным Бардес центроиды четырех классов имеют следующие координаты: . Хотя видно, что эти точки далеки одна от другой, нагляднее представить их геометрически.