ЧИСЛО КАНОНИЧЕСКИХ ДИСКРИМИНАНТНЫХ ФУНКЦИЯ

Роль числа классов становится понятной, если обратиться к геометрическим аналогам. Для любых пространств, где применимы аксиомы евклидовой геометрии, две точки определяют положение прямой линии, три точки — плоскость, четыре — трехмерную поверхность и т. д. Принцип сводится к тому, что точки определяют пространство (линию, плоскость и так далее), имеющее размерность, на единицу меньшую, чем число точек.

Поскольку центроиды задают пространство, то соответственно имеется неограниченное число точек, где мы можем поместить систему координат. Наиболее удобна точка, в которой каждая ось имеет нулевое значение, — это «главный центроид». Главный центроид занимает положение, определяемое средними значениями совокупности объектов по каждой из осей. Относительно этого центра существует бесконечное множество ориентаций осей при условии, что они принадлежат пространству, «натянутому на центроиды». Теперь если мы направим одну из этих осей под углом, для которого средние значения классов разделяются в большей степени, чем для любого другого направления, то получим ось, которая, как нам кажется, должна быть особенно важной. Предполагая, что есть два и более класса, можно ориентировать вторую ось таким образом, чтобы было обеспечено максимальное разделение классов, но при дополнительном ограничении — вторая ось ортогональна первой (и принадлежит рассматриваемому пространству).

Аналогично проводятся другие оси. Расположение осей по такому принципу приводит нас к критерию для канонических дискриминантных функций. Соотношение (1) задает математическое преобразование -мерного пространства дискриминантных переменных в -мерное пространство канонических дискриминантных функций (где q — максимальное число функций). Каждой оси соответствует свое соотношение вида (1). Для данного наблюдения значение интерпретируется как координата объекта в пространстве канонических дискриминантных функций.

Исключения из приведенного правила составляют случаи, когда один или несколько центроидов не определяют новое направление.

Примером являются три точки, попадающие на одну прямую, либо четыре точки, лежащие в одной плоскости, т. е. может статься, что данная точка принадлежит пространству, которое задается другими точками. Можно пойти дальше и допустить ситуацию, когда четыре точки лежат на одной прямой. В дискриминантном анализе это случается. Как мы вскоре увидим, в примере с фракциями в сенате существуют две, а может быть даже всего одна дискриминантная функция, описывающая эти данные. В исследовательских задачах возможно появление лишних размерностей из-за ошибок выборки и измерений. Тем не менее каждую размерность можно проверить на статистическую значимость. Если она незначима, ее можно отбросить, так как маловероятно, что она имеет какое-то теоретическое или практическое значение. Такая проверка описана ниже.

В случае, когда число дискриминантных переменных меньше числа классов, максимальное число функций q равно . При этом уже не происходит преобразование из пространства с большей размерностью в пространство с меньшей размерностью. Мы только делаем замену координат, удовлетворяющую некоторому критерию.