МЕТОДЫ КОСОУГОЛЬНОГО ВРАЩЕНИЯ

Косоугольное вращение является более общим, чем ортогональное, так как здесь нет ограничений, связанных с некоррелированностью факторов. Преимущество косоугольного вращения состоит в следующем: когда в результате его выполнения получаются ортогональные факторы, можно быть уверенным, что эта ортогональность действительно им свойственна, а не привнесена методом вращения. Поскольку косоугольные вращения производятся с учетом корреляций между факторами, существуют многочисленные методы интерпретации результатов факторного анализа. Так, для объяснения корреляции между факторами в ряде случаев вводят факторы второго и более высокого порядков. Кроме того, существуют два подхода к косоугольному вращению — использование вторичных осей и первичной матрицы факторного отображения. Основные принципы получения простой структуры уже обсуждались, поэтому описание методов будет кратким.

Методы, основанные на введении вторичных осей

Обсуждаемые здесь методы основаны на том, что если существуют разделимые скопления точек, определяемые первичными факторами, то они будут иметь почти нулевые проекции на все вторичные оси, за исключением одной. Таким образом, можно определить критерий, называемый квартимин, который аналогичен квартимаксу:

где — проекции параметра на вторичные оси. Величина N будет нулевой, если все параметры имеют нагрузку только на один фактор. Цель вращения — нахождение таких факторных нагрузок, которые минимизируют N. Для ортогональных вращений этот критерий эквивалентен квартимачсу.

По аналогии с ортогональным критерием варимакс вводится критерий коваримин. В этом случае минимизируется ковариация квадратов проекций на вторичные оси

Модификация этого критерия основана на нормировании — замене на . Применительно к одним и тем же данным критерий коваримин, как правило, дает меньше косоугольных факторов, чем квартимин. Объединение этих двух критериев приводит к обобщенному критерию

где — веса, назначаемые для N и для С соответственно. После умножения соотношения (29) на и группировки членов, получаем общий критерий облимин

где

Этот общий критерий при переходит в квартимин (наибольшая косоугольность), при в биквартимин, а при в коваримин (наименьшая косоугольность). Еще раз отметим, что, как правило, применяется критерий облимин в нормированной форме, т. е. когда заменяется на

Другой критерий, тесно связанный с принципами облимина, но используемый в совершенно другом вычислительном алгоритме, называется критерием бинормамин. В нем заложена идея объективного выбора значения у в соотношении (30). По сравнению с критерием биквартимин, в котором бинормамин дает лучшие результаты для особо простых или особо сложных данных.

Прямой метод облимин

Дженрих и Сэмпсон (Jenrich, Sampson, 1966) предложили критерий, основанный на упрощении матрицы нагрузок первичных факторов (без использования вторичных осей). Этот критерий допускает эффективную программную реализацию. Минимизируемая функция имеет вид, аналогичный (30).

Отличие только в том, что используются нагрузки первичных факторов, а не нагрузки вторичной структуры. Критерий имеет вид

(31)

где — элементы матрицы нагрузок первичных факторов. Заметим, что в соотношении (31) по сравнению с (30), член с отрицательным знаком дан с сомножителем Как и в традиционном критерии облимин, выбор параметра а регулирует «степень» косоугольности получаемого решения.

Большие значения а соответствуют «наиболее» косоугольным решениям, а меньшие отрицательные значения — «наиболее» ортогональным решениям. В наиболее простом случае однофакторной модели следует положить . Необходимо сделать предостережение о том, что выбор а в прямом критерии облимин отличается от выбора у в (30). Подробно этот аспект рассматривался Харманом (Harman, 1975).

Другие методы косоугольного вращения

Существует много других методов косоугольного вращения. Мы упомянем некоторые наиболее известные.

Критерий облиткс (Saunders, 1953) основан на упрощении факторной структуры по принципу увеличения числа значительных и пренебрежимо малых нагрузок за счет остальных коэффициентов структуры. Этот критерий эквивалентен критерию квартимакс в случае ортогонального вращения, но приводит к решению, отличному от метода квартимин при использовании его без ограничения, связанного с ортогональностью.

Следует отметить еще два метода вращения. Это — метод ортоблик (orthoblique), предложенный Гаррисом и Кайзером (Hafrris, Kaiser, 1964), и метод максплейн (maxplane), рассмотренный Каттеллем и Мерлем и позднее Эбеном (Cattell, Muerle, 1960; Eben, 1966). Последний подход принципиально отличается ото всех упомянутых ранее.