VI. ФАКТОРНОЕ ШКАЛИРОВАНИЕ

После изучения результатов факторного анализа можно приступить к оценке факторных шкал. Для этого есть следующие основания. Во-первых, после определения скрытой факторной структуры измеряемых данных для объектов исследователю может понадобиться представить каждый из этих объектов в терминах значений факторов, а не измеряемых переменных. Во-вторых, может появиться необходимость использования одного или более факторов в качестве переменных для дальнейшего анализа. Действительно, за исключением психометрической литературы, факторный анализ применялся чаще в качестве средства создания новых факторных переменных (шкал) для других исследований, чем для изучения самой скрытой структуры. В этом разделе мы рассмотрим следующие методы оценки значений факторов: 1) регрессионные оценки; 2) оценки, основанные на искусственных переменных или критерии наименьших квадратов; 3) метод Бартлетта минимизации дисперсии ошибок и 4) оценки с ортогональными ограничениями. Дополнительно мы обсудим: 5) простой метод суммирования переменных с большими факторными нагрузками и 6) шкалирование с помощью главных компонент. Эти методы будут обсуждаться в связи с некоторыми важными аспектами факторного шкалирования.

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ФАКТОРНОГО ШКАЛИРОВАНИЯ

Для начала рассмотрим модельные данные. Предположим, что мы их получили, воспользовавшись однофакторной моделью. Главной целью факторного шкалирования является определение значений общего фактора (F) через наблюдаемые переменные . Как уже говорилось, невозможно точно выразить общий фактор посредством наблюдаемых переменных, поскольку каждая из них содержит также и характерную компоненту, которую нельзя отделить от всей переменной. Можно получить лишь оценку значений общих факторов через наблюдаемые переменные. Поэтому шкалирование факторов всегда связано с некоторой неопределенностью.

Возьмем однофакторную модель с тремя переменными. Допустим, что все факторные нагрузки одинаковы (или что все коэффициенты корреляции равны). Этот пример показан на рис. 7 слева. Для нашей модели вычислить наблюдаемые коэффициенты корреляции между переменными можно с помощью перемножения факторных нагрузок, причем, поскольку все нагрузки одинаковы, коэффициент корреляции будет равен квадрату факторной нагрузки:

Выражение (39) показывает, что наблюдаемые корреляции совпадают в данном случае с общностью любой из переменных (все три общности здесь равны).

В качестве оценки значения фактора берется линейная комбинация параметров . Так как каждая из этих переменных имеет одинаковую нагрузку от общего фактора, то естественно сложить их, беря соответствующие значения с одинаковым весом. Окончательное выражение будет иметь вид

а соответствующая диаграмма представлена в правой части рис. 7. Отметим, что оценка F фактически зависит от четырех переменных общего фактора F и трех характерных факторов Следовательно, из-за наличия характерных факторов, корреляция между F и F не равна 1. Ниже мы рассмотрим связь между скрытым общим фактором и его оценкой, т. е. получим надежность оценки.

Надежность факторного шкалирования

Дисперсию оценки F легко вычислить, используя свойства математических ожиданий:

Рис. 7. Графическая модель, иллюстрирующая зависимость между фактором и его оценкой

Поскольку в этом примере взяты единичные веса, выражение упрощается. Дальнейшее упрощение достигается в том случае, если дисперсии каждой переменной будут единичными, а коэффициенты корреляции будут попарно равны друг другу:

(из формулы (39) следует, что . Некоторая доля дисперсии F связана с характерными факторами. Их вклад равен: так как все общности в нашем примере равны. Таким образом, доля дисперсии F, связанная с общим фактором получается из соотношения

что соответствует формуле Спирмена — Брауна для надежности и специальному случаю альфа-параметра Кронбаха (Cronbach, 1951: Lord, Novick, 1968). Следует напомнить, что в данном случае можно заменить на г.

Для того чтобы показать степень неопределенности, или степень ожидаемой «надежности» факторного шкалирования, в табл. 11 представлены значения коэффициентов «надежности» для некоторых типичных значений общностей при различном числе переменных. Отметим, что при возрастании числа переменных для фиксированного значения общности (факторных нагрузок или корреляций) надежность возрастает. Кроме того, даже при весьма высокой факторной нагрузке (скажем, 0,8) надежность все же относительно низкая, если число переменных мало.

Следует иметь в виду, что при факторном шкалировании часто используют оценку F в стандартном виде — с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Разумеется, принципиального значения это обстоятельство не имеет.

Неодинаковые факторные нагрузки

До сих пор мы ограничивались не только одинаковыми факторными нагрузками в однофакторной модели, но и брали лишь данные без ошибок. Теперь попробуем усложнить задачу.

Рассмотрим ситуацию, когда факторные нагрузки в однофакторной модели неодинаковы. Получаем корреляционную матрицу более общего вида.

Таблица 11. Коэффициент надежности (корреляции между фактором, и его оценкой) для различных значений равных между собой факторных нагрузок и различного числа переменных

Если оценка фактора найдена в результате суммирования наблюдаемых параметров, надежность такой оценки будет равна:

Если все общности одинаковые, то из соотношения (43) вытекает (42). При заданной средней общности (или среднем коэффициенте корреляции) коэффициент надежности будет больше, когда нагрузки одинаковые. Таким образом, в табл. 11 даны оценки сверху для коэффициентов надежности при различных нагрузках.

Более серьезным является вопрос, следует ли при шкалировании фактора суммировать переменные с одинаковыми весами, если известно, что коэффициенты нагрузки не равны друг другу. Рассмотрим крайний случай. Пусть одна общность равна 1, т. е. наблюдаемая переменная полностью определяется скрытым фактором. Тогда этот фактор можно оценить одной переменной, не учитывая остальные; добавление других параметров с общностями, отличными от I, только ухудшит оценку. Поэтому и в общем случае при факторном шкалировании нельзя просто суммировать значения переменных. Если однофакторная модель точно описывает наблюдения, оптимальная оценка относительно проста; веса, назначаемые каждой переменной, получаются из соотношения

где В — вектор факторных нагрузок, a R — корреляционная матрица измеряемых переменных.

Соотношение (44), которое выводится из регрессии фактора на переменные, обеспечивает максимальную корреляцию между F и

где — регрессионные веса, задаваемые соотношением (44). При этом дисперсия оценки F равна

что эквивалентно суммированию всех элементов редуцированной корреляционной матрицы, причем каждый элемент умножается на произведение соответствующих весов до, и . На диагонали редуцированной матрицы будут стоять квадраты весов переменных. Поскольку эта величина равна она не превосходит максимальной общности Следовательно, если некоторая переменная является точным повторением скрытого фактора, ее вес будет единичным, а веса остальных — нулевыми.

Важно также отметить, что при использовании различных весов для получения оценки значения фактора переменная с большой нагрузкой часто более существенна, чем остальные переменные с малыми нагрузками. Следует помнить, что коэффициент надежности оценки не превосходит квадрата наибольшей факторной нагрузки.