V. ВВЕДЕНИЕ В КОНФИРМАТОРНЫЙ ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Рассматривая разведочный факторный анализ, мы выделяли те предположения, которые необходимы для его применения. Наиболее важные из этих предположений — принципы факторной причинности и экономии. Методика факторного анализа состоит в том, что априори принимается определенная модель взаимосвязи между наблюдаемыми переменными, а затем находится решение, наиболее полно согласующееся с наблюдениями. Возникает законный вопрос: существует ли возможность какого-либо подтверждения факторной модели? Как уже упоминалось, нет способа доказать существование определенной причинной структуры исходя из наблюдаемой ковариационной структуры. Тем не менее можно оценить, до какой степени правдоподобие факторной модели эмпирически подтверждено.

СТЕПЕНЬ ЭМПИРИЧЕСКОГО ПОДТВЕРЖДЕНИЯ ГИПОТЕЗ О ФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ

По сравнению с разведочным анализом в конфирматорном факторном анализе рассматриваются более специфические гипотезы о факторной структуре. Следовательно, имеется вероятность, что если на самом деле данные не полностью соответствуют модели, то определенные гипотезы будут отвергнуты.

В этом смысле модели в конфирматорном анализе являются самопроверяющимися. Если данная гипотеза подтверждается результатами наблюдений, появляется большая уверенность в том, что рассматриваемая факторная модель соответствует действительности. Перед тем как обсуждать конфирматорный факторный анализ, важно получить представление об эмпирическом подтверждении модели в целом, а также решить, можно ли использовать факторный анализ для наших данных или нет.

Пример

Применение факторной модели к двумерной корреляционной матрице не дает никакой новой информации, так как модель с одним общим фактором всегда совместима с ней. Таким образом, в этой ситуации факторный анализ неприменим вовсе не потому, что факторная модель несовместима с данными. Причина в другом — степень эмпирического подтверждения модели (или, короче, его информативность) нулевая, и, кроме того, нет единственного решения.

Рассмотрим зависимость между первыми двумя переменными в модели, представленной на рис. 1. Если задан произвольный коэффициент корреляции, можно выбрать первую факторную нагрузку на интервале от —1 до +1 (за исключением 0). При этом существует другая факторная нагрузка, обеспечивающая совместимость с наблюдаемой корреляцией. Короче говоря, всегда есть факторное решение, совместное с данными.

Ситуация несколько меняется, когда факторный анализ применяется к корреляционной матрице с тремя переменными. Если оказывается, что однофакторная модель совместима с данными, степень эмпирического подтверждения уже ненулевая, так как некоторые случайно выбранные корреляционные матрицы несовместимы с однофакторной моделью. В частности, для того, чтобы корреляционная матрица с тремя параметрами была совместима с однофакторной моделью, три коэффициента корреляции должны удовлетворять следующим условиям: 1) либо все коэффициенты корреляции положительные, либо четное число из них является отрицательным; 2) абсолютная величина любого коэффициента должна быть больше или равна абсолютной величине произведения остальных двух коэффициентов:

Интересно проанализировать условие (32). Рассмотрим верхнюю часть рис. 1 и введем такие обозначения:

где — факторные нагрузки, — общности.

Перемножим два коэффициента корреляции:

Поскольку общности не превышают 1, то из (33) вытекает условие (32):

Аналогичные рассуждения можно провести и для других пар коэффициентов корреляции. Но не все случайно выбранные корреляционные матрицы для трех переменных удовлетворяют сформулированным условиям. Поэтому тот факт, что экспериментальные данные согласуются с однофакторной моделью является информативным, однако не слишком информативным, так как условию (32) удовлетворяют достаточно много случайно выбранных корреляционных матриц для трех переменных.

Корреляционная матрица для четырех переменных, основанная на однофакторной модели, удовлетворяет трем дополнительным условиям:

Эти условия легко получить:

Вообще, чем больше число переменных, тем больше число условий, которым должна удовлетворять корреляционная матрица для данной факторной модели. Таким образом, совместимость однофакторной модели с корреляционной матрицей для четырех переменных дает исследователю эмпирическое подтверждение, что факторные предположения не совсем произвольны. Следовательно, некоторое заключение о факторной структуре информативно только тогда, когда корреляционная матрица удовлетворяет некоторым ограничениям. Лишь в этом случае можно судить, соответствует ли данная факторная модель экспериментальным данным. Более того, чем больше отношение числа переменных к числу гипотетических факторов, тем весомее эмпирическое подтверждение факторной модели, поскольку увеличивается число структурных ограничений, накладываемых на корреляционную матрицу с целью согласования с данной моделью.

Вспомним теперь, что применение факторного анализа предполагает наложение различных допущений на экспериментальные данные. Поэтому можно отвергнуть факторную модель только на основе того, что эти предположения являются либо произвольными, либо неподходящими. Тем не менее такое суждение смягчается, когда степень эмпирического подтверждения высока, поскольку следует считаться со структурными ограничениями в данных. С одной стороны, можно сказать, что информативность факторного анализа зависит от условий его применения.

С другой стороны, в факторном решении содержится информация о его пригодности: чем больше Число эмпирических ограничений, которым должно удовлетворять решение, тем больше степень уверенности в том, что факторная модель соответствует данным. С этой точки зрения даже разведочный факторный анализ дает информацию о пригодности и экономичности модели.