§ 2. Проективные координаты. Проективные преобразования.

1. Проективные координаты. Две аффинные системы координат и в связке О четырехмерного пространства называются эквивалентными между собою, если имеется такое что

Относительно двух эквивалентных координатных систем всякий луч связки (всякая точка проективного пространства) имеет одни и те же четверки координат.

Как и в случае связки в трехмерном пространстве, класс эквивалентных между собою аффинных координатных систем в связке О пространства называется системой проективных координат в связке О.

Четверками координат любого луча m (любой гиперплоскости а) в связке относительно данной системы проективных координат являются, по определению, четверки координат этого луча (этой гиперплоскости) относительно любой аффинной системы координат (в связке О), определяющей данную проективную координатную систему. Переименовав связку в проективное пространство и повторяя рассуждения § 5 главы XXI, убеждаемся в том, что каждая проективная координатная система в проективном пространстве задается пятью точками, из которых никакие четыре не лежат в одной плоскости: четырьмя вершинами

координатного тетраэдра и пятой «единичной» точкой Е. Эти пять точек называются фундаментальными точками данной координатной системы.

В арифметическом проективном пространстве имеется привилегированная система координат, определенная точками

Относительно этой «привилегированной», или «однородной», системы координат четверками координат любой точки арифметического проективного пространства как раз и служат те числовые четверки, классом которых и является, по определению, данная точка

Если наряду с исходной «привилегированной», или «однородной», системой координат в арифметическом пространстве дана («новая») проективная система координат какими-нибудь четверками однородных координат своих фундаментальных точек:

то, предварительно умножив, если нужно, каждую из четверок

на надлежаще подобранные числовые множители всегда можно предположить, что пять четверок (1) являются согласованными между собою в смысле векторного равенства

(см. об этом гл. XXI, § 5).

В этом предположении однородные координаты произвольной точки М связаны с проективными координатами той же точки относительно системы координат формулами преобразования координат:

( — произвольный числовой множитель). Матрица коэффициентов в этих формулах невырождающаяся.

Как и в случае плоскости, мы можем сказать: переход от исходной («однородной») системы координат к новой системе проективных координат задается невырождающейся матрицей порядка 4 (а не 3, как было в случае этом единственная разница). Самый переход от старых координат к новым осуществляется формулами (2).

2. Проективно-аффинное пространство. До сих пор у нас не было оснований к выделению среди точек, плоскостей или прямых проективного пространства несобственных, или бесконечно удаленных. Проективное пространство, в котором одна какая-нибудь плоскость выделена и названа «несобственной», называется проективноаффинным пространством; точки и прямые, лежащие в несобственной плоскости, тоже называются несобственными. Так как каждая собственная плоскость (т. е. плоскость, отличная от несобственной) пересекается с несобственной плоскостью по прямой, а каждая собственная прямая (т. е. прямая, не лежащая в несобственной плоскости) пересекается с несобственной плоскостью по одной точке, то на каждой собственной плоскости проективно-аффинного пространства имеется одна несобственная прямая, а на каждой собственной прямой имеется одна несобственная точка. Повод для выделения в проективном пространстве его несобственных элементов тот же, как и в случае проективной плоскости. Мы вкратце повторим относящиеся сюда рассуждения.

Пусть в четырехмерном аффинном пространстве дано трехмерное подпространство и в нем — аффинная система координат Назовем аффинную систему координат пространства естественно связанной с координатной системой трехмерного подпространства если начало О системы не лежит в подпространстве Первые три единичных вектора в системе те же, что и в системе а четвертый вектор есть вектор Очевидно, в системе координат уравнение подпространства пространства есть

Возьмем теперь в пространстве связку О с центром О. Если М — произвольная точка гиперплоскости координаты которой в системе суть , то координаты этой точки в системе суть

Поэтому четверками координат луча связки О являются все четверки пропорциональные четверке . Все такие четверки называются четверками однородных координат точки М «в системе однородных координат, соответствующей аффинной координатной системе . Таким образом, однородные координаты точки М связаны с ее аффинными координатами в системе пропорцией

так что аффинные координаты выражаются через однородные по формулам:

Соответствие между точками М гиперплоскости и лучами связки О называется перспективным соответствием.. При этом соответствии каждой точке М гиперплоскости имеющей однородные координаты соответствует луч связки, имеющий те же координаты в системе .

Обратно, каждому лучу связки, у которого четвертая координата соответствует точка М гиперплоскости с теми же координатами Однако лучам связки у которых не соответствует никакая точка М гиперплоскости Чтобы перспективное соответствие между связкой О и гиперплоскостью сделать взаимно однозначным, нужно дополнить гиперплоскость несобственными точками, которым и приписать четверки однородных координат . Пополненная таким образом гиперплоскость превращается в проективное пространство которое, естественно, делается арифметическим, если отождествить каждую его точку М с классом четверок ее однородных координат.

Таким образом, арифметическое проективное пространство естественно рассматривать как проективное пространство, происшедшее от пополнения несобственными элементами обыкновенного трехмерного аффинного пространства с заданной в нем системой аффинных координат Несобственные точки этого пространства суть точки у которых Эти точки образуют несобственную плоскость, уравнение которой есть

Каждая несобственная точка однозначно определяет класс коллинеарных векторои трехмерного пространства а именно всех векторов, тройка координат которых (в данной аффинной координатной системе суть тройка первых трех однородных координат точки М. Другими словами, как и на плоскости, так и в пространстве несобственные точки взаимно однозначно соответствуют различным направлениям; это «бесконечно удаленные» точки пространства, удаленные в данном направлении (точка ) удалена в бесконечность в направлении, общем всем прямым, имеющим направляющий вектор .

3. Проективные преобразования. Проективные преобразования проективного пространства определяются совершенно так же, как проективные преобразования проективной плоскости. Задать в проективном пространстве проективное преобразование — значит задать, наряду с исходной координатной системой (например, однородной системой координат арифметического пространства), некоторую новую систему проективных координат; определяемое этим преобразование состоит в том, что каждой точке М пространства ставится в соответствие точка, имеющая в новой координатной системе те самые координаты, которые точка М имела в исходной системе координат.

Замечание 1. Совершенно так же определяются и проективные отображения одного проективного пространства на другое.

Из определения проективного преобразования следует (так же как в случае плоскости), что проективное преобразование можно определить как такое преобразование, которое ставит в соответствие каждой точке арифметического проективного пространства точку М, однородные координаты которой суть

При этом матрица коэффициентов С есть невырождающаяся матрица. Поэтому задать проективное преобразование проективного пространства — значит задать невырождающуюся матрицу четвертого порядка.

Совершенно так же, как теорему 4 главы XXI, мы теперь доказываем основную теорему о проективных преобразованиях пространства, а именно следующее предложение.

Теорема 1. Пусть — две пятерки точек проективного пространства, удовлетворяющие тому условию, что никакие четыре точки, принадлежащие одной из этих двух пятерок, не компланарны, т. е. не лежат в одной и той же плоскости. Тогда существует одно - единственное проективное преобразование пространства переводящее первую пятерку точек во вторую, т. е. переводящее точки соответственно в это преобразование ставит в соответствие каждой точке М пространства ту точку М, которая в проективной системе координат имеет те самые координаты, которые точка М имела в системе

Из этой теоремы вытекают следствия, аналогичные следствиям теоремы 4 главы XXI (см. в главе XXI замечание 3 на стр. 604), в частности утверждение, что посредством проективного преобразования пространства можно (и притом бесконечным числом способов) перевести любую данную плоскость в любую другую . При этом преобразовании плоскость проективно отображается на плоскость . Можно, в частности, легко написать и формулы, аналогичные формулам, данным на стр. 604, по которым любую координатную плоскость можно перевести в любую другую.

Из определения проективного преобразования следует, что произведение двух проективных преобразований пространства снова является проективным преобразованием. Так как преобразование, обратное к проективному, очевидно, также является проективным, то из сказанного вытекает основной факт.

Теорема 2. Проективные преобразования проективного пространства образуют группу (подгруппу в группе всех преобразований пространства).

Впрочем, теорема 2 легко выводится непосредственно из определения проективных преобразований посредством матриц: если проективное преобразование задается матрицей С, то обратное преобразование задается матрицей если преобразования и задаются соответственно матрицами Q и то произведение этих преобразований задается произведением их матриц.

Непосредственно переносится на пространство и все сказанное в главе XXI, § 6, п. 4, о проективно-аффинных преобразованиях; с оговорками, аналогичными тем, которые были сделаны на стр. 608 по поводу теоремы 6 главы XXI, мы можем теперь сказать:

Аффинные преобразования суть проективные преобразования, при которых несобственная плоскость отображается на себя.

Наконец, и для пространства имеют силу формулы, аналогичные формулам (8) на стр. 608, дающие запись (в аффинных координатах) образов собственных точек пространства при проективном преобразовании его, а именно: