Способы описания движения. Сейчас нас не интересует вопрос, чем вызвано движение материальной точки, почему она движется так, а не иначе, каковы причины ее движения. Задача состоит лишь в том, чтобы описать ее движение. Описать движение материальной точки – значит указать ее положение в любой момент времени, т. е. указать для каждого момента ту точку системы отсчета, с которой материальная точка в этот момент времени совпадает. При своем движении она проходит непрерывную последовательность точек системы отсчета, называемую траекторией движения.

Положение точек системы отсчета можно характеризовать различными способами, в соответствии с которыми можно описывать и движение точки.

Описание движения в координатной форме. Выберем систему координат, в которой положение точки характеризуется тремя координатами. В общем случае обозначим их как $x_{1}, x_{2}, x_{3}$. Как было сказано в $\S 5$, это означает для декартовых координат (см. рис. 3 ): $x_{1}=x, x_{2}=y, x_{3}=z$; для цилиндрических (см. рис. 4): $x_{1}=\rho$, $x_{2}=\varphi, x_{3}=z$; для сферических (см. рис. 5): $x_{1}=r, x_{2}=\varphi, x_{3}=\theta$. При движении точки эти координаты меняются со временем, т.е. являются некоторыми функциями времени. Описать движение значит указать эти функции:
\[
x_{1}=x_{1}(t), \quad x_{2}=x_{2}(t), \quad x_{3}=x_{3}(t) .
\]

Напомним, что функцией называется правило, по которому каждому значению одной переменной величины соотносится численное значение другой. Это правило условно обозначается некоторой буквой, например $y=f(x)$. Здесь $f$ символизирует то правило, с помощью которого каждому значению переменной величины $x$ соотносится определенное значение величины $y$. Однако, чтобы не вводить слишком мого букв, часто ту же самую функциональную зависимость записывают в виде $y=y(x)$. Символ $y$ в правой части этого равенства аналогичен $f$; символ $y$ в левой части указывает численное значение переменной $y$, которое при этом получается. Такой метод выражения функциональных зависимостей более экономен и широко применяется. Формулы (8.1) записаны таким способом.

Рассмотрим примеры описания движения этим способом. Пусть в некоторый момент $t=0$ точка начинает движение и удаляется по прямой от начального положения таким образом, что ее расстояние $s$ от начальной точки вдоль траектории пропорционально времени: $s=A t$, где $A$ – коэффициент пропорционалыости. Формулы, описывающие это двинение, зависят от того, какая система координат выбрана и как она расположена. Возьмем декартову систему координат, начало которой совместим с точкой начала движения, а одпу из осей, например ось $y$, направим вдоль скорости движения. Тогда формулы (8.1) принимают следующий вид:
\[
x_{1}=x=0, \quad x_{2}=y=A t, \quad x_{3}=z=0 .
\]

Если же, например, оси расположить таким образом, чтобы траектория движения лежала в координатной плоскости $(x, y)$ и совпадала с биссектрисой угла, проведенной между положительными направлениями этих осей, то формулы (8.1) запишутся так:
\[
x_{1}=x=A t / \sqrt{2}, \quad x_{2}=y=A t / \sqrt{2}, \quad x_{3}=z=0 .
\]

В сферической же системе координат, которую расположим относительно декартовых осей так, как указано на рис. 5 , а они при этом ориентированы относительно траектории движения так, как и в случае (8.2б), формулы (8.1) примут следующий вид:
\[
x_{1}=r=A t, \quad x_{2}=\varphi=\pi / 4, \quad x_{3}=\theta=\pi / 2 .
\]

Если начала систем координат не совмещать с точкой начала движения, то все формулы приобретут более сложный вид, особенно в сферических координатах, в чем рекомендуем убедиться в качестве упражнения.

Пусть по окружности радиуса $R$ равномерно движется точка. Положение ее в некоторый момент $t=0$ примем за начало отсчета. Проходимый точкой путь $s$ вдоль траектории, являющейся окруякностью, пропорциопален времени, т.е. $s=A t$, где $A$ – коэффициент пропорциональности. Декартову систему координат расположим таким образом, чтобы окруяность лежала в коордипатной плоскости $(x, y)$, пачало ее совпадало с центром окружности, а ось $z$ была бы направлепа так, чтобы паблюдателю, смотрящему на движение со стороны положительных значений оси $z$, оно представлялось происходящим против часовой стрелки. Кроме того, положительная часть оси $x$ пусть проходит через точку пачала движения. Тогда формулы (8.1) для описания указанного двшжения по окружности приобретают следующий вид:
\[
x_{1}=x=R \cos (A t / R), \quad x_{2}=y=R \sin (A t / R), \quad x_{3}=z=0 .
\]

В сферической системе координат формулы (8.1) для этого случая запишутся в виде:
\[
x_{1}=r=R, \quad x_{2}=\varphi=A t / R, \quad x_{3}=\theta=\pi / 2 .
\]

В цилиндрической системе координат, которая расположена относительно декартовых осей так, как указано на рис. 4, а декартовы оси ориентированы относительно рассматриваемой траектории так же, как в (8.3а), формулы (8.1) примут вид:
\[
x_{1}=\rho=R, \quad x_{2}=\varphi=A t / R, \quad x_{3}=z=0 .
\]

Все формулы значительно усложняются при несовпадении начала координат с центром окружности и шри других ориентировках осей координат.

Описание движения в векторной форме. Положение точки может быть задано с помощью радиуса-вектора $r$ относительно некоторой точки, принятой за начало. Как было отмечено в § 5, такое задание положения точки предполагает не введение какой-то системы координат, а только наличие тела отсчета. Радиус-вектор $\mathbf{r}$ рассматривается как непосредственно задаваемая величина. При движении точки радиус-вектор ее непрерывно меняется. Конец его описывает траекторию. Движение задается в бескоординатной форме:
\[
\mathbf{r}=\mathbf{r}(t) \text {. }
\]

Формула этого вида определяет векторную функцию скалярного аргумента. Векторной функцией скалярного аргумента называется правило, по которому каждому численному значению аргумента (в данном случае $t$ ) соотносится некоторый вектор (в данном случае r). В формуле (8.4) это правило обозначается как $\mathbf{r}$ в правой части, а вектор, получаемый по этому правилу, – как $r$ в левой части. Так же как и в формулах (8.1), такое употребление одного и того же символа в двух различных смыслах путаницы не вызывает.

Формулами (8.2а)-(8.2в), имеющими различный вид, описывается одно и то же движение. Чтобы представить это движение в виде (8.4), обозначим через $\tau$ единичный безразмерный вектор в направлении движения, а начало отсчета радиусов-векторов совместим с точкой начала движения. Тогда рассматриваемое движение описывается формулой, не зависящей от системы координат:
\[
\mathbf{r}=\boldsymbol{\tau} \text { At. }
\]

Подчеркнем еще раз, что формулу (8.4) следует понимать не как краткую запись трех скалярных равенств вида (8.1), а как
К понятиям перемещения, скорости и ускорения
Средняя скорость при движении между даумя точками траектории совпадает по направлению с вектором перемещения. Она, вообще говоря, Не направлена по касательной к траетірин ни ни Точка $O$ – ночдло отсчета
!

Скорость всвгда направлена по касательной к траентории.
!
Ускорение может составить любой угол относительно скорости, т. ө. может быть направлено под любым углом к траектории.
?
1
Какие способы описания движения Вы знаете!
В чем состоят преимүщества векторных обозначений и векторной записи движения!
исходную, которую при необходимости можно расписать в виде трех скалярных равенств, но существует она независимо от возможности такого представления.
Описание движения с помощью параметров траектории. Если траектория задана, то задача сводится к указанию закона движения вдоль нее. Некоторая точка траектории принимается за начальную, а любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ вдоль нее от начальной точки. В этом случае движение описывается следующей формулой:
\[
s=s(t) .
\]

Например, закон движения по окружности, задаваемого формулой (8.3a), имеет вид
\[
s=A t,
\]

причем известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных значений $s$ совнадает с направлением движения точки по окружности.

Вектор перемещения. Вектор перемещения $\Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)$ числеші равен расстоянию между конечной и начальной точками, направлен от начальной к конечной (рис. 13) и соединяет
точки траектории, в которых материальная точка находилась в моменты $t$ и $t+\Delta t$.

Скорость. Вектор средней скорости $\mathbf{v}_{\mathrm{cp}}$ при перемещении между двумя точками определяется как вектор, совнадающий по направлению с перемещением и равный абсолютному значению вектора перемещения, деленному на время перемещения (рис. 13):
$\mathbf{v}_{\mathrm{cp}}(t, t+\Delta t)=\frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|} \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{\Delta t}=\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}$.
В скобках у $\mathbf{v}_{\mathrm{cp}}$ указан промежуток времени, для которого средняя скорость вычислена. Если в пределах промежутка $\Delta t$ рассмотреть более маленькие промежутки времени, то средняя скорость на них отличается от средней скорости на всем промежутке. Будем уменьшать промежуток времени. Тогда будут уменьшаться и все более мелкие промежутки времени. Средние скорости в этих более мелких промежутках будут по-прежнему отличаться от средней скорости во всем промежутке, но это различие уменьшается с уменьшением промежутка $\Delta t$. При неограниченном уменьшении $\Delta t$ средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью v:
В декартовой системе координат, представив $\mathbf{r}$ в виде
\[
\mathbf{r}(t)=\mathbf{i} x(t)+\mathbf{j} y(t)+\mathbf{k} z(t)
\]

и учтя, что величины $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ постоянны по времени, получаем
\[
\mathbf{v}=\frac{d \mathbf{r}}{d t}=\mathbf{i} \frac{d x}{d t}+\mathbf{j} \frac{d y}{d t}+\mathbf{k} \frac{d z}{d t} \text {. }
\]

Следовательно, компоненты скорости даются формулами:

Если движение задано через параметры траектории, то известны траектория и зависимость пути от времени. Путь отсчитывается от точки траектории, принятой за начальную. Каждая точка траектории характеризуется своим значением $s$. Следовательно, ее радиус-вектор является функцией от $s$ и траектория может быть задана уравнением
\[
\mathbf{r}=\mathbf{r}(s) .
\]

Следовательно, в формуле (8.9) можно рассматривать $\mathbf{r}(t)$ как сложную функцию $\mathbf{r}[s(t)]$ и вычислить ее производные по правилу дифференцирования сложной функции:
\[
\mathbf{v}=\frac{d \mathbf{r}}{d t}=\frac{d \mathbf{r}}{d s} \frac{d s}{d t} .
\]

Величина $\Delta s$ – расстояние между двумя точками вдоль траектории, $|\Delta \mathbf{r}|$ – расстояние между ними по прямой линии. Ясно, что по мере сближения точек разница в этих величинах уменьшается. Поэтому можно написать:
\[
\frac{d \mathbf{r}}{d s}=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta s}=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|} \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{\Delta s}=\boldsymbol{\tau},
\]

где $\tau$ – единичный вектор, касательный к траектории. Кроме того, по определению, $(d s / d t)=v$ есть абсолютное значение скорости по траектории. Поэтому формула (8.13) приобретает вид
\[
\mathbf{v}=\tau v .
\]

Отсюда следует, что скорость направлена по касательной к траектории.

Ускорение. Ускорением называется скорость изменения скорости. Пусть в моменты $t$ и $t+\Delta t$ скорости равны соответственно $\mathbf{v}(t)$ и $\mathbf{v}(t+\Delta t)$. Значит, в течение промежутка времени $\Delta t$ скорость изменилась на $\Delta \mathbf{v}=\mathbf{v}(t+\Delta t)-\mathbf{v}(t)$. Среднее ускорение за $\Delta t$ равно (рис. 13)
$\mathbf{w}_{\mathrm{cp}}(t, t+\Delta t)=\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}$.

Будем изображать векторы $\mathbf{v}(t)$ в различные промежутки времени исходящими из общего начала. Конец вектора $\mathbf{v}(t)$ опишет кривую, которая называется годографом скоростей (рис. 14). Уменьшая неограниченно промежуток времени $\Delta t$, на котором вычисляется средняя скорость, получаем в пределе ускорение

Учитывая, что $\mathbf{v}=d r / d t$, a $\mathbf{r}=\mathbf{i} x+\mathrm{j} y+\mathbf{k} 2$, ускорение можно выразить в виде $\mathrm{w}=d^{2} \mathrm{r} / d t^{2}$, или
\[
\mathbf{w}=\mathbf{i} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\mathbf{j} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\mathbf{k} \frac{d^{2} 2}{d t^{2}} .
\]

Следовательно, компоненты ускорения в декартовой системе координат выражаются формулами:
Теперь необходимо изучить вопрос об ориентировке ускорения относительно скорости и траектории движения. На рис. 14 видно, что ускорение всегда касательно годографу скорости, но может иметь произвольный угол относительно нее. Поскольку скорость всегда касательна к траектории движения, это означает, что ускорение может быть направлено под любым углом к касательной к траектории движения. Чтобы выяснить, от чего зависит направление ускорения, вычислим его, исходя из формулы (8.14):
\[
\mathbf{w}=\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\frac{d}{d t}(\tau v)=\frac{d \tau}{d t} v+\tau \frac{d v}{d t} .
\]

Единичный касательный вектор $\tau$ полностью определяется точкой траектории, а точка траектории однозначно характеризуется своим расстоянием $s$ от точки, принятой за начальную. Поэтому вектор $\tau$ является функцией от $s$, т. е. $\tau=$ $=\tau(s)$, а $s$ является функцией от времени. Поэтому можно написать $(d \tau / d t)=$ $=(d \tau / d s)(d s / d t)$. Вектор $\tau$ по абсолютному значенио неизменен. Отсюда следует, что вектор ( $d \tau / d s$ ) перпендикулярен $\tau$. Чтобы в этом убедиться, достаточно продифференцировать равенство $\tau^{2}=1$, выражающее постоянство абсолютного значения вектора $\tau:\left[d\left(\tau^{2}\right) / d s\right]=$ $=2(\tau d \tau / d s)=0$. Но если скалярное произведение двух векторов равно нулю и ни один из них не равен нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Таким образом, действительно, $\tau$ и $d \tau / d s$
14.
Годограф скоростей
Это кривая, которую описывает конец вектора скорости, проведенного из фиксированного начала (точка O)
!
Нормальная компонента уснорения не изменяет абсолютного значения снорости, а изменяет лишь еө направлөние.
Измөнөние абсолютного значения скорости обусловлено тольно тангенциальной составляющөй ускорения.
взаимно перпендикулярны. Вектор $\tau$ направлен по касательной к траектории. Следовательно, вектор $d \tau / d s$ перпендикулярен этой касательной, т. е. направлен по нормали, которая называется главной. Единичный вектор в направлении главной нормали обозначается $\mathbf{n}$. Значение вектора $d \tau / d s$ равно $(1 / R)$, где $R$ называется радиусом кривизны траектории.
Точка, отстоящая от траектории на расстоянии $R$ в направлении главной нормали $\mathbf{n}$, называется центром кривизны траектории. Таким образом, можно написать
\[
\frac{d \tau}{d s}=\frac{\mathbf{n}}{R} .
\]

Учитывая, что $(d s / d t)=v$ есть абсолютное значение скорости, можно формулу (8.19) с учетом (8.20) записать окончательно в виде
15.

Разложение вектора полного ускорения $w$ на составляющие: тангенциальное $w_{\tau}$ $n$ нормальное $\mathbf{w}_{n}$ ускорения
точка $O$ есть центр крияизны траөктории; $\tau$ – единичный касательный гектор; n- өдиничный вектор в напраєлении гпавной нормали

Полное ускорение состоит из двух взаимно перпендикулярных векторов; ускорения $\boldsymbol{\tau}(d v / d t)=\mathbf{w}_{\tau}, \quad$ направленного вдоль траектории движения и называемого тангенциальным, и ускорения $\left(\mathrm{n} v^{2} / R\right)=$ $=\mathrm{w}_{n}$, направленного перпендикулярно траектории по главной нормали, т. е. к центру кривизны траектории (рис. 15), и называемого нормальным. Из (8.21) после возведения его в квадрат и с учетом того, что $(\mathbf{n}, \boldsymbol{\tau})=0$, находим абсолютное значение полного ускорения:
\[
w=\sqrt{\mathbf{w}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{v^{2}}{R}\right)^{2}+\left(\frac{d v}{d t}\right)^{2}} .
\]