Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Способы описания движения. Сейчас нас не интересует вопрос, чем вызвано движение материальной точки, почему она движется так, а не иначе, каковы причины ее движения. Задача состоит лишь в том, чтобы описать ее движение. Описать движение материальной точки — значит указать ее положение в любой момент времени, т. е. указать для каждого момента ту точку системы отсчета, с которой материальная точка в этот момент времени совпадает. При своем движении она проходит непрерывную последовательность точек системы отсчета, называемую траекторией движения. Положение точек системы отсчета можно характеризовать различными способами, в соответствии с которыми можно описывать и движение точки. Описание движения в координатной форме. Выберем систему координат, в которой положение точки характеризуется тремя координатами. В общем случае обозначим их как $x_{1}, x_{2}, x_{3}$. Как было сказано в $\S 5$, это означает для декартовых координат (см. рис. 3 ): $x_{1}=x, x_{2}=y, x_{3}=z$; для цилиндрических (см. рис. 4): $x_{1}=\rho$, $x_{2}=\varphi, x_{3}=z$; для сферических (см. рис. 5): $x_{1}=r, x_{2}=\varphi, x_{3}=\theta$. При движении точки эти координаты меняются со временем, т.е. являются некоторыми функциями времени. Описать движение значит указать эти функции: Напомним, что функцией называется правило, по которому каждому значению одной переменной величины соотносится численное значение другой. Это правило условно обозначается некоторой буквой, например $y=f(x)$. Здесь $f$ символизирует то правило, с помощью которого каждому значению переменной величины $x$ соотносится определенное значение величины $y$. Однако, чтобы не вводить слишком мого букв, часто ту же самую функциональную зависимость записывают в виде $y=y(x)$. Символ $y$ в правой части этого равенства аналогичен $f$; символ $y$ в левой части указывает численное значение переменной $y$, которое при этом получается. Такой метод выражения функциональных зависимостей более экономен и широко применяется. Формулы (8.1) записаны таким способом. Рассмотрим примеры описания движения этим способом. Пусть в некоторый момент $t=0$ точка начинает движение и удаляется по прямой от начального положения таким образом, что ее расстояние $s$ от начальной точки вдоль траектории пропорционально времени: $s=A t$, где $A$ — коэффициент пропорционалыости. Формулы, описывающие это двинение, зависят от того, какая система координат выбрана и как она расположена. Возьмем декартову систему координат, начало которой совместим с точкой начала движения, а одпу из осей, например ось $y$, направим вдоль скорости движения. Тогда формулы (8.1) принимают следующий вид: Если же, например, оси расположить таким образом, чтобы траектория движения лежала в координатной плоскости $(x, y)$ и совпадала с биссектрисой угла, проведенной между положительными направлениями этих осей, то формулы (8.1) запишутся так: В сферической же системе координат, которую расположим относительно декартовых осей так, как указано на рис. 5 , а они при этом ориентированы относительно траектории движения так, как и в случае (8.2б), формулы (8.1) примут следующий вид: Если начала систем координат не совмещать с точкой начала движения, то все формулы приобретут более сложный вид, особенно в сферических координатах, в чем рекомендуем убедиться в качестве упражнения. Пусть по окружности радиуса $R$ равномерно движется точка. Положение ее в некоторый момент $t=0$ примем за начало отсчета. Проходимый точкой путь $s$ вдоль траектории, являющейся окруякностью, пропорциопален времени, т.е. $s=A t$, где $A$ — коэффициент пропорциональности. Декартову систему координат расположим таким образом, чтобы окруяность лежала в коордипатной плоскости $(x, y)$, пачало ее совпадало с центром окружности, а ось $z$ была бы направлепа так, чтобы паблюдателю, смотрящему на движение со стороны положительных значений оси $z$, оно представлялось происходящим против часовой стрелки. Кроме того, положительная часть оси $x$ пусть проходит через точку пачала движения. Тогда формулы (8.1) для описания указанного двшжения по окружности приобретают следующий вид: В сферической системе координат формулы (8.1) для этого случая запишутся в виде: В цилиндрической системе координат, которая расположена относительно декартовых осей так, как указано на рис. 4, а декартовы оси ориентированы относительно рассматриваемой траектории так же, как в (8.3а), формулы (8.1) примут вид: Все формулы значительно усложняются при несовпадении начала координат с центром окружности и шри других ориентировках осей координат. Описание движения в векторной форме. Положение точки может быть задано с помощью радиуса-вектора $r$ относительно некоторой точки, принятой за начало. Как было отмечено в § 5, такое задание положения точки предполагает не введение какой-то системы координат, а только наличие тела отсчета. Радиус-вектор $\mathbf{r}$ рассматривается как непосредственно задаваемая величина. При движении точки радиус-вектор ее непрерывно меняется. Конец его описывает траекторию. Движение задается в бескоординатной форме: Формула этого вида определяет векторную функцию скалярного аргумента. Векторной функцией скалярного аргумента называется правило, по которому каждому численному значению аргумента (в данном случае $t$ ) соотносится некоторый вектор (в данном случае r). В формуле (8.4) это правило обозначается как $\mathbf{r}$ в правой части, а вектор, получаемый по этому правилу, — как $r$ в левой части. Так же как и в формулах (8.1), такое употребление одного и того же символа в двух различных смыслах путаницы не вызывает. Формулами (8.2а)-(8.2в), имеющими различный вид, описывается одно и то же движение. Чтобы представить это движение в виде (8.4), обозначим через $\tau$ единичный безразмерный вектор в направлении движения, а начало отсчета радиусов-векторов совместим с точкой начала движения. Тогда рассматриваемое движение описывается формулой, не зависящей от системы координат: Подчеркнем еще раз, что формулу (8.4) следует понимать не как краткую запись трех скалярных равенств вида (8.1), а как Скорость всвгда направлена по касательной к траентории. Например, закон движения по окружности, задаваемого формулой (8.3a), имеет вид причем известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных значений $s$ совнадает с направлением движения точки по окружности. Вектор перемещения. Вектор перемещения $\Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)$ числеші равен расстоянию между конечной и начальной точками, направлен от начальной к конечной (рис. 13) и соединяет Скорость. Вектор средней скорости $\mathbf{v}_{\mathrm{cp}}$ при перемещении между двумя точками определяется как вектор, совнадающий по направлению с перемещением и равный абсолютному значению вектора перемещения, деленному на время перемещения (рис. 13): и учтя, что величины $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ постоянны по времени, получаем Следовательно, компоненты скорости даются формулами: Если движение задано через параметры траектории, то известны траектория и зависимость пути от времени. Путь отсчитывается от точки траектории, принятой за начальную. Каждая точка траектории характеризуется своим значением $s$. Следовательно, ее радиус-вектор является функцией от $s$ и траектория может быть задана уравнением Следовательно, в формуле (8.9) можно рассматривать $\mathbf{r}(t)$ как сложную функцию $\mathbf{r}[s(t)]$ и вычислить ее производные по правилу дифференцирования сложной функции: Величина $\Delta s$ — расстояние между двумя точками вдоль траектории, $|\Delta \mathbf{r}|$ — расстояние между ними по прямой линии. Ясно, что по мере сближения точек разница в этих величинах уменьшается. Поэтому можно написать: где $\tau$ — единичный вектор, касательный к траектории. Кроме того, по определению, $(d s / d t)=v$ есть абсолютное значение скорости по траектории. Поэтому формула (8.13) приобретает вид Отсюда следует, что скорость направлена по касательной к траектории. Ускорение. Ускорением называется скорость изменения скорости. Пусть в моменты $t$ и $t+\Delta t$ скорости равны соответственно $\mathbf{v}(t)$ и $\mathbf{v}(t+\Delta t)$. Значит, в течение промежутка времени $\Delta t$ скорость изменилась на $\Delta \mathbf{v}=\mathbf{v}(t+\Delta t)-\mathbf{v}(t)$. Среднее ускорение за $\Delta t$ равно (рис. 13) Будем изображать векторы $\mathbf{v}(t)$ в различные промежутки времени исходящими из общего начала. Конец вектора $\mathbf{v}(t)$ опишет кривую, которая называется годографом скоростей (рис. 14). Уменьшая неограниченно промежуток времени $\Delta t$, на котором вычисляется средняя скорость, получаем в пределе ускорение Учитывая, что $\mathbf{v}=d r / d t$, a $\mathbf{r}=\mathbf{i} x+\mathrm{j} y+\mathbf{k} 2$, ускорение можно выразить в виде $\mathrm{w}=d^{2} \mathrm{r} / d t^{2}$, или Следовательно, компоненты ускорения в декартовой системе координат выражаются формулами: Единичный касательный вектор $\tau$ полностью определяется точкой траектории, а точка траектории однозначно характеризуется своим расстоянием $s$ от точки, принятой за начальную. Поэтому вектор $\tau$ является функцией от $s$, т. е. $\tau=$ $=\tau(s)$, а $s$ является функцией от времени. Поэтому можно написать $(d \tau / d t)=$ $=(d \tau / d s)(d s / d t)$. Вектор $\tau$ по абсолютному значенио неизменен. Отсюда следует, что вектор ( $d \tau / d s$ ) перпендикулярен $\tau$. Чтобы в этом убедиться, достаточно продифференцировать равенство $\tau^{2}=1$, выражающее постоянство абсолютного значения вектора $\tau:\left[d\left(\tau^{2}\right) / d s\right]=$ $=2(\tau d \tau / d s)=0$. Но если скалярное произведение двух векторов равно нулю и ни один из них не равен нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Таким образом, действительно, $\tau$ и $d \tau / d s$ Учитывая, что $(d s / d t)=v$ есть абсолютное значение скорости, можно формулу (8.19) с учетом (8.20) записать окончательно в виде Разложение вектора полного ускорения $w$ на составляющие: тангенциальное $w_{\tau}$ $n$ нормальное $\mathbf{w}_{n}$ ускорения Полное ускорение состоит из двух взаимно перпендикулярных векторов; ускорения $\boldsymbol{\tau}(d v / d t)=\mathbf{w}_{\tau}, \quad$ направленного вдоль траектории движения и называемого тангенциальным, и ускорения $\left(\mathrm{n} v^{2} / R\right)=$ $=\mathrm{w}_{n}$, направленного перпендикулярно траектории по главной нормали, т. е. к центру кривизны траектории (рис. 15), и называемого нормальным. Из (8.21) после возведения его в квадрат и с учетом того, что $(\mathbf{n}, \boldsymbol{\tau})=0$, находим абсолютное значение полного ускорения:
|
1 |
Оглавление
|