Выражение для сил инерции. Пусть неинерциальная система движется прямолинейно вдоль оси $x$ инерциальной системы (рис. 153). Ясно, что связь между координатами дается формулами:
\[
x=x_{0}+x^{\prime}, y=y^{\prime}, z=z^{\prime}, t=t^{\prime} .
\]
Отсюда следует, что
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{d x_{0}}{d t}+\frac{d x^{\prime}}{d t}, \quad v=v_{0}+v^{\prime}
\]
где $v=d x / d t, v_{0}=d x_{0} / d t, v^{\prime}=d x^{\prime} / d t$ называются соответственно абсолютной, переносной и относительной скоростями.
Переходя в (64.2) к ускорениям, находим:
\[
\frac{d v}{d t}=\frac{d v_{0}}{d t}+\frac{d v^{\prime}}{d t}, w=w_{0}+w^{\prime}
\]
где
\[
w=d v / d t, w_{0}=d v_{0} / d t, w^{\prime}=d v^{\prime} / d t
\]
называются соответственно абсолютным, переносным и относительным ускорениями. Следовательно, в соответствии с определением (63.4) выражение для сил инерции в движущейся прямолинейно неинерциальной системе отсчета имеет вид
\[
F_{\text {ин }}=m\left(w^{\prime}-w\right)=-m w_{0},
\]
или в векторной форме
\[
\mathbf{F}_{\text {ин }}=-m \mathbf{w}_{0},
\]
т. е. сила инерции направлена противоположно переносному ускорению неинерциальной системы.
Маятник на тележке. Рассмотрим равновесное состояние маятника в неинерциальной системе координат, движущейся в горизонтальном направлении с поступательным ускорением $\mathrm{w}_{0}$ (рис. 154). Силы, действующие на маятник, указаны непосредственно на рисунке. Уравнение движения маятника имеет вид
\[
\begin{array}{l}
m \mathbf{w}^{\prime}=\mathbf{T}+\mathbf{P}+\mathbf{F}_{\text {ин }}= \\
=\mathbf{T}+\mathbf{P}-m_{\mathbf{w}_{0}}=0,
\end{array}
\]
т. е. $\mathbf{w}^{\prime}=0$, Ясно также, что $\operatorname{tg} \alpha=$ $=w_{0} / g$, где $\alpha$ – угол между подвесом маятника и вертикалью.
В инерциальной системе координат действующие силы и уравнение движения изменяются (рис. 155). Сила инерции в этом случае отсутствует, имеются только сила $\mathbf{T}$ со стороны натянутой нити и сила тяжести $\mathbf{P}=m \mathbf{g}$. Условие равновесия гласит:
\[
m \mathbf{w}=\mathbf{T}+\mathbf{P}=m \mathbf{w}_{0} .
\]
Очевидно также, что $\operatorname{tg} \alpha=w_{0} / g$.
Маятник Любимова. Очень эффектной демонстрацией явлений в прямолинейно движущихся неинерциальных системах является маятник Любимова. Маятник подвешен на массивной рамке, которая может свободно падать, скользя по вер-
453.
Неинерциальная система, движущаяся прямолинейно
!
Силы инерции существуют лишь в неинерциальных системах отсчета. В инерциальных системах никаних сил инерции нет.
154.
Равновесие маятника в неинерциальной системе отсчета
Равновесие ускоренно движущегося маятника в инерциальной системе отсчета
!
Невесомость наступает при условии, ногда инертная и гравитационнан массы равны. В настонщев времн ато равенство проверено анспериментально с очень большой точностью.
?
1 Когда и почему возникает необходимость рассматривать силы инерция?
2 В чем заключается общий метод опреции?
3 Какие силы инерции существуют в поступательно движущихся неинерциальных системах!
тикальным направляющим тросам, трение о которые очень мало (рис. 156, a). Когда рамка покоится, маятник совершает собственные колебания. Рамка может быть приведена в состояние свободного падения в любой фазе колебаний маятника. Двикение его при свободном падении рамки зависит от того, в какой фазе колебаний началось свободное падение. Если маятник в момент начала свободного падения находится в точке максимального отклонения, то он остается в этой точке неподвияным относительно рамки. Если же он в указанный момент находился не в точке максимального отклонения, то он имеет относительно рамки некоторую скорость. При падении рамки абсолютное значение этой скорости относительно рамки не изменяется, меняется лишь ее направление относительно рамки. В результате маятник вращается равномерно вокруг точки подвеса.
Рассмотрим это явление в неинерциаальной системе отсчета, связанной с рамкой (рис. 156, б). Уравнение движения имеет вид
$m \mathbf{w}^{\prime}=\mathbf{T}+\mathbf{P}+\mathbf{F}_{\text {ин }}=$
$=\mathbf{T}+m \mathrm{~g}-m \mathrm{~g}=\mathbf{T}$.
Таким образом, это есть движение материальной точки под действием сил натяжения нити по окружности с центром в точке ее закрепления. Движение происходит по окружности с линейной скоростью, равной начальной. Сила натяжения нити является той центростремительной силой, которая обеспечивает равномерное движение маятника по окружности и равна $m v^{\prime 2} / l$, где $l$ – длина подвеса маятника, а $v^{\prime}$ есть скорость движения маятника относительно рамки.
В инерциальной системе координат силы инерции отсутствуют. Силы, действующие на маятник, показаны на рис. 156 , в – это силы натяжения нити и тяжести. Уравнение движения имеет вид $m_{\mathbf{w}}=\mathbf{P}+\mathbf{T}=m \mathrm{~g}+\mathbf{T}$.
Чтобы найти решение уравнения (64.10), цредставим полное ускорение маятника как сумму двух ускорений: $w=w_{1}+\cdot w_{2}$ и тогда (64.10) может быть записано в виде совокупности двух уравнений:
\[
m \mathbf{w}_{\mathbf{1}}=\mathbf{T}, \quad m \mathbf{w}_{2}=m \mathbf{g},
\]
второе из которых имеет решение $\mathrm{w}_{2}=\mathrm{g}$, т. е. описывает свободное падение маятника, а первое полностью совпадает с (64.9) и описывает вращение вокруг точки подвеса.
В приведенных примерах анализ движения был одинаково прост и нагляден как в неинерциальной системе координат, так и в инерциальной. Это объясняется тем, что примеры были выбраны именно такими с целью иллюстрации соотношения между инерциальными и неинерциальными системами. Однако очень часто решение задачи в неинерциальной системе оказывается значительно более простым, чем в инерциальной. Например, анализ скатывания цилиндра с наклонной плоскости, которая находится в равноускоренном движении в произвольном направлении, значительно проще в неинерциальной системе координат, связанной с наклонной плоскостью, чем в инерциальной системе, в которой плоскость движется ускоренно
