Определение вектора. Многие физические величины характеризуются одним числом. $К$ ним, например, относятся температура, выражаемая числом градусов в определенной шкале, масса – числом граммов и т. д. Такие величины называются скалярами. Для характеристики многих других физических величин необходимо задать несколько чисел. Например, скорость определяется не только численным значешием, но и направлением. Нетрудно видеть, например, на рис. 5, что направление в пространстве полностью задается двумя числами – углами $\varphi$ и $\theta$. Поэтому скорость характеризуется всего тремя числами. Такие величины называются векторами. Можно сказать, что вектор определяется абсолютным значением и направлением. Однако не всякая физическая величина, характеризуемая тремя числами, является вектором. Чтобы быть вектором, эти три числа должны преобразовываться при переходе от одной системы координат к другой. Здесь мы лишь отметим это обстоятельство, оставив разъяснение его смысла до более позднего времени.

Вектор изображается направленным отрезком, длина которого в некотором масштабе равна представляемой вектором физической величине, а стрелка показывает ее направление. Векторы будут обозначаться в книге жирным шрифтом, например вектор $\mathbf{A}$, а их абсолютное численное значение – либо той же жирной буквой, заключенной между двумя вертикальными черточками: $|\mathbf{A}|$, либо той же буквой, что и вектор, но светлым шрифтом: $A$.

Сложение векторов и умножение вектора на число. Одной из важных физических реализаций понятия вектора является смещение. Если некоторая материальная точка перемещается из положения $M_{1}$ в положение $M_{2}$ (рис. $6, a$ ), то ее перемещение характеризуется вектором $\bar{M}_{1} \bar{M}_{2}$, который изображается отрезком, соединяющим точки $M_{1}$ и $M_{2}$ и направленным от $M_{1}$ к $M_{2}$. Если затем точка из $M_{2}$ перемещается в $M_{3}$, то эта последовательность двух перемещений, т. ө. сумма двух перемещений, эквивалентна одному перемещению $\bar{M}_{1} \bar{M}_{3}$, что записывается в виде векторного равенства:
\[
\overrightarrow{M_{1} M_{2}}+\overrightarrow{M_{2} M_{3}}=\overrightarrow{M_{1} M_{3}} \text {. }
\]

Эта формула выражает правило сложения векторов, которое иногда называется правилом параллелограмма, поскольку сумма векторов равна диагонали параллелограмма, стороны которого образованы слагаемыми векторами. Эта формула сложения, по определению, применима к любым векторам. На рис. 6,6 изображено сложение произвольных векторов А и В.

На примере сложения перемещений видно, что сумма векторов не зависит от порядка следования перемещений, т. е. от порядка слагаемых векторов перемещений (рис. 7, a):

Это правило распространяется на сложение векторов произвольной природы.

Умножение вектора на число сводится к умножению абсолютного значения вектора на это число без изменения направления, если число положительное, и с изменением направления на обратное, если число отрицательное (рис. 7, б).

Скаллрное произведение. Скалярным произведением (A, B) двух векторов $\mathbf{A}$ и В называется число, равное произведению абсолютных значений векторов на косинус угла между ними:

Нетрудно проверить, что для скалярного произведения справедливы следующие правила:
6.
Сложение векторов
Правило спожекия векторов является естественным обобщением очевидного правиле сложення перемещений
!
Направление в пространстве определяется двумя числами.
б)
7.
Коммутативность сложения векторов (a).и умножение вектора на число (б)
Сумmа авух пекторов не зевисит от порядка слагаемых. При умноженни вектора на отрицательное нисло его направление меняется на обратксе

Векторное произведение $[\mathbf{A}, \mathbf{B}]=\mathbf{D}$
Этот вектор перпендикулярен плоскости, : которой лежет перемножаемые векторы
!
Перемещение не есть отрезон траентории.

Правило сложения венторов есть определение, целесообразность ноторо. го подтверждается свойствами ряда простейших физичесних величин.

Физичесная величина, характеризующаяся тремя числами, чаще всего является вентором. Однако это не всегда. Чтобы быть вентором, она должна определенным образом преобразовываться при переходе от одной системы ноординат к другой.
Векторное произведение. Векторным произведением $[\mathbf{A}, \mathbf{B}]$ векторов $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ называется вектор $\mathbf{D}=[\mathbf{A}, \mathbf{B}]$, определяемый следующим образом (рис. 8):
1) ои перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы $\mathbf{A}$ и В, и паправлен в ту сторопу, в которую будет двигаться винт, если его головку вращать в том же направлении, в каком необходимо поворачивать вектор $\mathbf{A}$ для совпадения с вектором В по краттайшему пути. Иначе говоря, векторы А, В и [A, B] друг относительно друга ориентированы так же, как и положительные направления осей $x, y, z$ правой системы координат;
2) по абсолютному значению он равен произведению абсолютных значений перемножаемых векторов на синус угла между ними:
\[
|\mathbf{D}|=|\mathbf{A}, \mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}| \sin (\widehat{\mathbf{A}, \mathbf{B}}) \text {. }
\]

Здесь существенно, что угол между векторами $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ отсчитывается от первого сомножителя А ко второму В по кратчайшему расстоянию, т. е. угол меньше или равен $\pi$, благодаря чему синус в (6.5) не может быть отрицательным. Как видно из (6.5), можно также сказать, что абсолютное значение векторного произведения равно площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах (puc. 8).

Легко проверить следующие свойства векторного произведения:

Представление векторов с помощью единичного вектора. Направление вектора можно указать с помощью единичного безразмерного вектора. Любой вектор А можно представить в следующем виде:
\[
\mathbf{A}=\frac{\mathbf{A}}{|\mathbf{A}|}|\mathbf{A}|=\mathbf{n}|\mathbf{A}|=\mathbf{n} A,
\]

где $\mathbf{n}=\mathbf{A} /|\mathbf{A}|$ есть единичный безразмерный вектор, фиксирующий направление вектора $\mathbf{A}$.

Преимущества векторных обозначений. Понятие вектора и все связанные с ним операции вводятся независимо от какойлибо системы координат. Благодаря этому имеется возможность оперировать непосредственно физическими величинами, не обращаясь к их выражению в какой-либо конкретной системе координат. Различные соотношения между физическими величинами в векторной форме обычно имеют значительно более простой и наглядный вид, чем в соответствующей координатной форме. Все это составляет большое преимущество векторных обозначений и обеспечивает им широкое применение. C другой стороны, очень часто проведение конкретных численных расчетов гораздо проще в координатной форме, где они носят чисто арифметический характер. Если расчеты проводить непосредственно по векторным формулам, не обращаясь к координатной системе, то наряду с арифметикой необходимо зачастую пользоваться довольно сложными пространственными геометрическими представлениями, что не всегда удобно. Поэтому важно уметь записывать все векторные выражения и операции в координатной форме. В первую очередь необходимо это уметь делать в декартовых координатах.

Радиус-вектор. Положение точки характеризуется тремя числами в соответствующей системе координат. Каждую точку можно представить себе как конечный пункт перемещения из некоторой начальной, называемой началом отсчета, и характеризовать вектором перемещения, соединяющим начальную и рассматриваемую
i
Сумма и скалярное произведение векторов не зависят от порядка венторов.
9.

К понятию радиуса-вектора Положение пюбой точки пространство относительно точки $O$. принятой за начальную, полностью $x$ aрактеризуется ее редиусом-вектоpoм $\mathrm{r}$
?
1 Какие два способа геометрического построения суммы векторов Вы знаете! Зависит ли скалярное произведение or порядка сомножителей? Докажите свой ответ.
3
Как зависит векторное произведение от порядка сомножителей?
4 Изменится ли onpeделение векторного произведения, если вместо правой декартовой системы координат пользоваться певой!
5 Что такое компоненты вектора! По какому правипу опредепяется их знак?

Радиус-вентор не связан с сүществованием накой-либо системы ноординат.

Если выбрать ноннретную систему ноординат, то радиус-вектор можно выразить в этой системе.
10.

Компоненты радиуса-вектора $\mathbf{r}$ в пространственной декартовой системе координат (a) и произвольного вектора А в той же системе на плоскости (б)
Компонентами яектора называются его проекцни на осн координат. Компоненты являются алгебраическими величинами, и их энак опре- деляется энаком коскнуса угпо единкчного вектора соответствующей оск. Компоненты радиусавектора – это координаты точки, херактаризуемой им
точки (рис. 9). Этот вектор называется радиусом-вектором. Если положение точки задается радиусом-вектором, то нет необходимости использовать какую-либо систему координат. При этом упрощаются и делаются более наглядными многие физические соотношения. Поэтому, как. правило, мы будем везде оперировать с векторами, а положение точек характеризовать их радиусами-векторами. Переход к координатам при необходимости может быть всегда осуществлен по раз и навсегда установленным формулам, которые сейчас будут выведены.
Компоненты вектора в декартовой системе координат. Пусть некоторая точка $O$ принята за начало отсчета. Возьмем (прямоугольную) декартову систему координат, начало которой совпадает с точкой $O$. Положение любой точки можно охарактеризовать либо ее радиусом-вектором $\mathbf{r}$, либо тремя числами $(x, y, z)$, являющимися декартовыми координатами этой точки. Установим связь между $\mathbf{r}$ и числами $x, y, z$. Для этого полезно ввести едииичные безразмерные векторы, направленные вдоль положительных значений осей $x, y, z$ и обозначаемые соответственно как $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$. Принимая во внимание правило сложения векторов (6.1) и формулу (6.7), можно, как это непосредственно видно на рис. $10, a$, представить радиус-вектор в в виде суммы трех векторов (i $x$, jy и $\mathbf{k} z$ ), также направленных вдоль осей координат:
\[
\mathbf{r}=\mathbf{i} x+\mathrm{j} y+\mathbf{k} z \text {. }
\]

Числа $x, y, z$ называются компонентами радиуса-вектора $\mathbf{r}$. Они совпадают с координатами точки, которую характеризует $\mathbf{r}$.

Не только радиус-вектор, но и любой другой вектор может быть представлен в виде суммы векторов, направленных вдоль осей координат (рис. 10, б):
\[
\mathbf{A}=\mathbf{i} A_{x}+\mathrm{j} A_{y}+\mathbf{k} A_{z} .
\]

Числа $A_{x}, A_{y}, A_{z}$ называются компонентами вектора $\mathbf{A}$ вдоль осей $x, y, z$. Для того чтобы уметь вычислять компоненты вектора и выражать все векторные операции в координатной форме, необходимо знать несколько соотношений между единичными векторами $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$.

Соотношение между векторами $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$. Принимая во внимание, что эти векторы взаимно перпендикулярны и единичны, получаем:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{i}^{2}=\mathbf{j}^{2}=\mathbf{k}^{2}=1 \\
(\mathbf{i}, \mathbf{j})=0, \quad(\mathbf{i}, \mathbf{k})=0, \quad(\mathbf{j}, \mathbf{k})=0 .
\end{array}
\]

Согласно определению векторного произведения, сразу находим:
\[
\begin{array}{lll}
{[i, j]=k,} & {[j, k]=\mathbf{i},} & {[k, i]=j,} \\
{[i, i]=0,} & {[j, j]=0,} & {[k, k]=0 .}
\end{array}
\]

Вычисление компонент вектора. Умножая скалярно левую и правую части равенства (6.9) последовательно на $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ и принимая во внимание (6.10), сразу получаем:
\[
A_{x}=(\mathbf{A}, \mathbf{i}), \quad A_{y}=(\mathbf{A}, \mathbf{j}) \quad A_{z}=(\mathbf{A}, \mathbf{k}) .
\]

Нетрудно видеть, что компоненты векторов по осям декартовой прямоугольной системы координат являются не чем иным, как проекциями этих векторов на оси, вычисленные с учетом знака. Например,
\[
A_{x}=(\mathbf{A}, \mathbf{i})=|\mathbf{A}||\mathbf{i}| \cos (\widehat{\mathbf{A}, \mathbf{i}})=|\mathbf{A}| \cos (\widehat{\mathbf{A}, \hat{\mathbf{i}}})
\]

где $(\widehat{\mathbf{A}, \mathbf{i}})$ – угол между вектором $\mathbf{A}$ и направлением оси $x$, что и доказывает сделанное утверждение. Аналогичным образом обстоит дело с другими компонентами.

Выражение векторньх операций в координатах. Для получения этих выражений необходимо векторы представить в виде (6.9) и
воспользоваться полученими ранее формулами для единичных векторов. Пусть задано:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}=\mathbf{i} A_{x}+\mathbf{j} A_{y}+\mathbf{k} A_{z}, \\
\mathbf{B}=\mathbf{i} B_{x}+\mathrm{j} B_{y}+\mathbf{k} B_{z} .
\end{array}
\]

Складывая векторы А и В, получаем
\[
\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{i}\left(A_{x}+B_{x}\right)+\mathbf{j}\left(A_{y}+B_{y}\right)+\mathbf{k}\left(A_{z}+B_{z}\right) .
\]

Таким образом, компоненты суммы двух векторов равны сумме соответствующих компонент слагаемых:
\[
C_{x}=A_{x}+B_{x}, \quad C_{y}=A_{y}+B_{y}, \quad C_{z}=A_{z}+B_{z} .
\]

Нетрудно видеть, что аналогичным образом умножение вектора на число сводится к умножению каждой из его компонент на это число. Для скалярного произведения с учетом (6.10) получим следующее выражение:
\[
(\mathbf{A}, \mathbf{B})=A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z} \text {. }
\]

Для векторного произведения прямое вычисление с учетом дает
\[
[\mathbf{A}, \mathbf{B}]=\mathbf{i}\left(A_{y} B_{z}-A_{z} B_{y}\right)+\mathbf{j}\left(A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z}\right)+\mathbf{k}\left(A_{x} B_{y}-A_{y} B_{x}\right) .
\]

Поэтому можно написать:
$[\mathbf{A}, \mathbf{B}]_{x}=A_{y} B_{z}-A_{z} B_{y}$,
$[\mathbf{A}, \mathbf{B}]_{y}=A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z}$,
$[\mathbf{A}, \mathbf{B}]_{z}=A_{x} B_{y}-A_{y} B_{x}$.
Преобразование декартовых координат. Используя векторные представления, легко найти формулы преобразования координат при переходе от одной декартовой системы к другой. В общем случае не совпадают ни начало систем координат, ни направление осей, как это изображено на рис. 11. Положение начала штрихованной системы координат относительно начала нештрихованной задается вектором а. Из чертежа непосредственно видно, что радиусы-векторы $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}^{\prime}$, характеризующие положение точки в нештрихованной и штрихованной системах, связаны соотношением
\[
\mathbf{r}=\mathbf{a}+\mathbf{r}^{\prime} .
\]

Если $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}^{\prime}$ выразить через их компоненты по соответствующим осям координат, то можно написать:
\[
\mathbf{i} x+\mathbf{j} y+\mathbf{k} z=\mathbf{a}+\mathbf{i}^{\prime} x^{\prime}+\mathbf{j}^{\prime} y^{\prime}+\mathbf{k}^{\prime} z^{\prime} .
\]

Для нахождения связи между координатами точек необходимо скалярно умножить обе части этого равенства на соответствующий единичный вектор. Например, чтобы найти координату $x$,

Вектор а характеризует положеиие начала штрихованной системы координат относительно нештрихоанной, а коскнусы углов между ортами той и другой систем опрев пространстве

надо произвести это умножение на вектор i. В результате получим
$x=(\mathbf{a}, \mathbf{i})+\left(\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{i}\right) x^{\prime}+\left(\mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{i}\right) y^{\prime}+\left(\mathbf{k}^{\prime}, \mathbf{i}\right) z^{\prime}$, или, что то же самое,
\[
\begin{array}{l}
x=a_{x}+\cos \left(\widehat{\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{i}}\right) x^{\prime}+\cos \left(\widehat{\mathbf{j}^{\prime},} \mathbf{i}\right) y^{\prime}+ \\
+\cos \left(\widehat{\mathbf{k}^{\prime}}, \mathbf{i}\right) z^{\prime} \text {. } \\
\end{array}
\]

Таким образом, для преобразования необходимо знать углы между осями координат и взаимное расположение начал координат.

Аналогичным образом находим выражение для координат $y$ и $z$. Чтобы найти обратные формулы прсобразования для $x^{\prime}, y^{\prime}$, $z^{\prime}$, необходимо произвести скалярное умножение на соответствующий единичный вектор i’, $\mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{k}^{\prime}$. Например, умножая обе части (6.18) на $\mathbf{i}^{\prime}$, найдем
\[
\left(\mathbf{i}, \mathbf{i}^{\prime}\right) x+\left(\mathbf{j}, \mathbf{i}^{\prime}\right) y+\left(\mathbf{k}, \mathbf{i}^{\prime}\right) z=\left(\mathbf{a}, \mathbf{i}^{\prime}\right)+x^{\prime} \text {, }
\]

или
\[
\begin{aligned}
x^{\prime} & =-a_{x}^{\prime}+\cos \left(\widehat{\mathbf{i}, \mathbf{i}^{\prime}}\right) x+\cos \left(\widehat{\mathbf{j}, \mathbf{i}^{\prime}}\right) y+ \\
& +\cos \left(\widehat{\mathbf{k}, \mathbf{i}^{\prime}}\right) z .
\end{aligned}
\]

В этой формуле $a_{x}^{\prime}=\left(\mathbf{a}, \mathbf{i}^{\prime}\right)$ есть $x$-я компонента вектора а в штрихованной системе координат. Этот вектор направ-
Радиус-вентор, no определению, исходит из начала ноординат. Другие векторы имеют начало, вообще говоря, в других точнах.
Связь положения точни относительно различных начал с помощью радиусов-венторов очень проста. Эта свнзь выражается через величины ноннретных систем ноординат с помощью формул преобразования координат и имөет более сложный вид.
лен к началу штрихованной системы. Если изменить его паправление так, чтобы он начинался в точке $O^{\prime}$ штрихованной системы координат и заканчивался в точке $O$ нештрихованной, то в формуле (6.19) в первом члене правой части знак изменится на обратный и она станет полностью аналогичной формуле (6.18a). Если пачала систем координат совпадают, то вектор а обращается в нуль.
Чтобы упростить формулы преобразования, введем обозначения:
\[
\begin{array}{ll}
x=x_{1}, & y=x_{2}, \quad z=x_{3} \\
x^{\prime}=x_{1^{\prime}}, & y^{\prime}=x_{2^{\prime}}, \quad z^{\prime}=x_{3^{\prime}} ; \\
\mathbf{i}=\mathbf{e}_{1}, \quad \mathbf{j}=\mathbf{e}_{2}, \quad \mathbf{k}=\mathbf{e}_{3}, \\
\mathbf{i}^{\prime}=\mathbf{e}_{1^{\prime}}, \quad \mathbf{j}^{\prime}=\mathbf{e}_{2^{\prime}}, \quad \mathbf{k}^{\prime}=\mathbf{e}_{3^{\prime}}, \\
\cos \left(\mathbf{e}_{m}, \mathbf{e}_{n^{\prime}}\right)=\alpha_{m n^{\prime}}\left(m=1,2,3 ; n^{\prime}=1^{\prime}, 2^{\prime}, 3^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Обозначение штрихом отнесено к индексу, что, как это сейтас будет видно, более удобно. Тогда преобразования (6.18a) при $\mathbf{a}=0$ запишутся следующим образом:

В таком виде их очень просто запомнить. Аналогично можно записать преобразовапия (6.19). Рекомендуется сделать это в качестве упражнения.

Рассмотрим применение формул (6.20) для двухмерного случая $\left(x_{3}=0, x_{3^{\prime}}=0\right)$, изображенного на рис. 12 :
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{11^{\prime}}=\cos \left(\widehat{\mathbf{e}_{1} \cdot \mathbf{e}_{1^{\prime}}}\right)=\cos \varphi, \alpha_{12^{\prime}}=\cos \left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2^{\prime}}}\right)=-\sin \varphi, \\
\alpha_{21^{\prime}}=\cos \left(\widehat{\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{1^{\prime}}}\right)=\sin \varphi, \alpha_{22^{\prime}}=\cos \left(\widehat{\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{2^{\prime}}}\right)=\cos \varphi .
\end{array}
\]

Поэтому формулы преобразования (6.20) принимают следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\cos \varphi \cdot x_{1^{\prime}}-\sin \varphi \cdot x_{2^{\prime}}, \\
x_{2}=\sin \varphi \cdot x_{1^{\prime}}+\cos \varphi \cdot x_{2^{\prime}} .
\end{array}
\]

Преобразование компонент векторов. Раньше уже было отмечено, что не всякая физическая величина, характеризуемая тремя числами, является вектором.

Чтобы физическая величина была вектором, необходимо, чтобы эти три числа вели себя при переходе из одной системы координат в другую как компоненты радиуса-вектора при преобразованиях (6.20].

Формулы (6.20) описывают преобразования компонент радиусавектора при произвольных относительных движениях систем координат, начала которых совпадают. Можно показать, что әти дви-

В двухмерном случае при совпадении начал взаммная оркентировка осей координат полностью характеризуется углом поворота между осями $x_{1}$ и $x_{1}^{\prime}$

жения сводятся к вращениям. Естественно потребовать, чтобы при указанном преобразовании координат компоненты любого вектора преобразовывались бы по тем же формулам, что и компоненты радиусавектора, т. е. по формулам (6.20), в которые вместо величин $x_{m}$ и $x_{n^{\prime}}$ должны входить соответствующие компоненты вектора, а коэффициенты $\alpha_{n m^{\prime}}$ должны быть теми же самыми. Если три числа, характеризующие физическую величину, преобразуются по указанным формулам, то она называется вектором, а числа – компонентами вектора.

Может случиться, что физическая величина в некоторой системе координат определяется тремя числами, однако при переходе в другую систему координат преобразуется не по формулам вида (6.20), а по некоторым цругим. Тогда эта величина не будет вектором. Например, известна важная физическая величина, описывающая поведение твердого тела при вращениях и называемая моментом инерции. В системе координат, оси которой совпадают с так называемыми главными осями, момент инерции задается тремя числами $I_{x}, I_{y}, I_{2}$. Однако при переходе в другую систему координат әти числа преобразуются не по формулам
?
1 Какие компоненты 2 имеет радиус-вектср? В чем состоит метод нахождения координатных выражений для векторных oneраций!
Каким условиям допжны удовлетворять три числа, характеризующие физическую величину, чтобы она была вектором!

(6.20), а по другим формулам. Более того, в другой системе координат рассматриваемая физическая величина характеризуется не тремя числами, а шестью. Это означает, что она является симметричным тензором (более подробно об этом см. в § 49). Важнейшим свойством физической величины является ее поведение при преобразованиях систем координат. Это обстоятельство будет неоднократно использоваться в последующем.