Неизменность абсолютного значения скорости. Как было отмечено выше в связи с формулой (34.6), магнитное поле не изменяет абсолітного значения скорости движущегося заряда. Это утверждение математически доказывается следующим образом.

Уравнение движения в нерелятивистском случае имеет вид $m_{0} \frac{d \mathbf{v}}{d t}=e[\mathbf{v}, \mathbf{B}]$

где $m_{0}$ – масса покоя частицы. Умножая обе части (35.1) скалярно на $\mathbf{v}$, получаем
\[
m_{0} \frac{d \mathbf{v}}{d t} \mathbf{v}=e([\mathbf{v}, \mathbf{B}], \mathbf{v})=0
\]

где учтено, что смешанное произведение двух параллельных векторов, стоящее в правой части, равно нулю. Из (35.2) следует
$m_{0} \frac{d \mathbf{v}}{d t} \mathbf{v}=\frac{d}{d t}\left(\frac{m_{0} v^{2}}{2}\right)=0$
и, значит,

что и требовалось установить.
В случае релятивистских скоростей неизменной остается релятивистская кинетическая энергия частицы. Для доказательства удобно исходить из (28.3), в которую входит сила Лоренца. Из равенства нулю правой части (28.3) следует

Это означает постоянство релятивистской кинетической энергии и, следовательно, абсолютного значения скорости. Поэтому можно сказать, что утверждение о постоянстве абсолютного значения скорости частицы при движении в магнитном поле справедливо как в нерелятивистском, так и в релятивистском случае.

Движение в однородном магнитном поле. При рассмотрении движения заряда в магнитном поле удобно скорость $v$ представить в виде суммы скоростей параллельно нагнитному нолю $\mathbf{v}_{\|}$и перпендикулярно ему $\mathbf{v}_{\perp}$ (рис. 74):
\[
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{\perp}+\mathbf{v}_{\|} \cdot
\]

Разложение вектора скорости заряда, движущегося в магнитном поле, на две составляющие: вдоль индукции В магнитного поля и перпендикулярно ей

Поскольку сила, действующан на заряд со стороны магнитного поля, перпендикулярна скорости, эта сила измендет лишь ев направление, но не изменнет абсолютно20 значения скорости. Следовательно, эта сила не проияводит работы.
Сила Лоренца, действующая на заряд, равна
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{F}=e\left[\mathbf{v}_{\perp}+\mathbf{v}_{\|}, \mathbf{B}\right]=e\left[\mathbf{v}_{\perp}, \mathbf{B}\right]+ \\
+e\left[\mathbf{v}_{\|}, \mathbf{B}\right]=e\left[\mathbf{v}_{\perp}, \mathbf{B}\right],
\end{array}
\]

где учтено, что составляющая силы Лоренца вдоль магнитного поля равна нулю, т. е.
\[
\mathbf{F}_{\|}=e[\mathbf{v}, \mathbf{B}]_{\|}=0
\]

составляющая, перпендикулярная магнитному полю,
$\mathbf{F}_{\perp}=e\left[\mathbf{v}_{\perp}, \mathbf{B}\right]$
зависит лишь от перпендикулярной составляющей скорости.

В нерелятивистском случае уравнения движения частицы для параллельной и перпендикулярной составляющих ее скорости имеют вид:
a) $m_{0} \frac{d v_{\|}}{d t}=0$;
б) $m_{0} \frac{d \mathbf{v}_{\perp}}{d t}=e\left[\mathbf{v}_{\perp}, \mathbf{B}\right]$.

Из (35.8a) следует

Это означает, что при движении в одно: родном магнитном поле, т.е. в поле, величина и направление которого во всех точках одни и те же, составляющая скорости вдоль поля постоянна. Таким образом, в направлении, параллельном вектору $B$, частица движется так, как если бы поля не было вообще.

Для анализа движения перпендикулярно магнитному полю рассмотрим уравнение (35.8б). Перепишем равенство (35.4) с учетом (35.6) в виде
\[
v^{2}=v_{\perp}^{2}+v_{\|}^{2}=\text { const, }
\]

откуда в силу (35.9) имеем

Таким образом, при движении в однородном магнитном поле сохраняется неизменным абсолютное значение не только полной скорости, но и ее перпендикулярной составляющей.

Посмотрим более внимательно на уравнение (35.8б). Угол между векторами $\mathbf{v}_{\perp}$ и В остается постоянным и равным $\pi / 2$. Абсолютные значения $v_{\perp}$ и В не изменяются. Сила в правой части (35.8б) перпендикулярна скорости и постоянна по абсолютному значению. Следовательно, это уравнение описывает движение с постоянным ускорением, направленным все время перпендикулярно скорости, т. е. движение по окружности. Левая часть (35.8б) выражает произведение массы частицы на центростремительное ускорение $v \frac{2}{1} / r$, где $r$ – радиус окружности, а правая часть центростремительную силу $|e| v_{\perp} B$. Поәтому можно записать
$m_{0} v_{\perp}^{2} / r=|e| v_{\perp} B$.
Это уравнение содержит в себе полную характеристику движения заряженной частицы по окружности в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю.

Направление вращения зависит от знака заряда. Из уравнения (35.8б) можно ваключить, что направление вращения отрицательного заряда связано с направлением магнитного поля В правилом правого винта, а положительного заряда правилом левого винта (рис. 75).

Из уравнения (35.12) получаются следующие выражения для угловой частоты вращения и радиуса орбиты:
\[
\begin{array}{l}
\omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{\left(2 \pi r / v_{\perp}\right)}=\frac{v_{\perp}}{r}=\frac{|e| B}{m_{0}} ; \\
r=\frac{v_{\perp}}{\omega}=\frac{m_{0} v_{\perp} \perp}{|e| B} .
\end{array}
\]

Полное движение заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле слагается из равномерного движения вдоль
?
1 Какое свойство скл, действующих на заряд со стороны магнитного поля, обусповливает неизменность абсолютного значения скорости заряда при движении в этом поле!
2
Чем определяются па-
раметры спиралк, по
которой движется за-
ряд в однороды магнитном поле!
75.

К определению направления вращения отрицательно заряженной частицы в магнитном поле индукции В

Траектория движения заряженной частицы в поперечном магнитном поле

Вид магнитного поля выбирается не произвольно, а лишь таним образом, чтобы удовлетворялись уравнения Максвелла. Этот вопрос рассматривается в курсе электричества и магнетизма.
поля и вращения в плоскости, перпендикулярной ему. Это означает, что частица движется по спирали, причем ее шаг $l$ зависит от параллельной составляющей скорости $v_{\|}$и периода вращения $T$ по окружности, т. е.
\[
l=v_{\|} T=v_{\|} \cdot 2 \pi / \omega \text {. }
\]

В случае больших скоростей движение остается без изменения. Формулы (35.12) и (35.13) также сохраняют свой вид, но под $m$ в них следует понимать релятивистскую массу $m=m_{0} / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$, где $m_{0}$ – масса покоя частицы. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что ввиду постоянства скорости при движении в однородном магнитном поле релятивистское уравнение движения
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{m_{0} \mathbf{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\right)=e[\mathbf{v}, \mathbf{B}]
\]

принимает вид
\[
\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \frac{d \mathbf{v}}{d t}=e[\mathbf{v}, \mathbf{B}],
\]
т. е. становится полностью эквивалентным нерелятивистскому уравнению (35.1), но с заменой массы покоя $m_{0}$ на релятивистскую. Поэтому все последующие рассуждения и формулы остаются справедливыми, но вместо массы покоя $m_{0}$ надо использовать релятивистскую массу $m$.

Движение в поперечном неоднородном магнитном поле. В общем виде эта задача достаточно сложна, и мы ограничимся лишь случаем, когда заряженная частица движется, не сильно отклоняясь от прямолинейной траектории, все время приблизительно перпендикулярно магнитному полю, которое постоянно по направлению, меняется по величине. Пусть оно задается формулами (рис. 76):
\[
B_{x}=B(z), \quad B_{y}=B_{z}=0 .
\]

Будем считать, что частица движется вдоль оси $z$. В этом же направлении изменяется по произвольному закону величина магнитного поля $B(z)$. В момент $t=0$ частица находится в начале координат и имеет скорость $v$ в сторону положительных значений оси $z$. Как непосредственно видно, сила Лоренца в этом случае все время действует в плоскости ( $y, z$ ) и, следовательно, движение частицы совершается в этой плоскости. Рассматриваются лишь малые отклонения частицы от оси $z$. Это означает, что скорость вдоль оси $z$ много больше, чем скорость вдоль оси $y$ :
\[
\left(v_{y} / v_{z}\right) \ll 1 \text {. }
\]

Поэтому постоянную в магнитном поле скорость $v$ можно представить в виде
\[
v=\sqrt{v_{z}^{2}+v_{y}^{2}}=v_{z}\left(1+\frac{v_{y}^{2}}{v_{z}^{2}}\right)^{1 / 2} \approx v_{z}+\frac{1}{2} v_{z} \frac{v_{y}^{2}}{v_{z}^{2}}+\ldots,
\]

где произведено разложение квадратного корня в ряд и сохранен лишь первый по $\left(v_{y}^{2} / v_{z}^{2}\right)$ член разложения. Отсюда видно, что с точностью до малых величин $\left[\left(v_{y}^{2} / v_{z}^{2}\right) \ll 1\right]$ скорость частицы вдоль оси $z$ не изменяется, т. е.
$v=v_{z}=$ const.
Теперь распишем уравнение движения (35.1) в координатах, воспользовавшись формулой (5.18) для векторного произведения:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=0, \quad m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=e v_{z} B, \quad m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=-e v_{y} B .
\]

Ввиду малости $v_{y}$ в сравнении с $v_{z}$ сила в уравнении для $z$-й координаты много меныше силы в уравнении для $y$-й координаты. Поэтому, учитывая (35.20), можно силу в правой части третьего уравнения (35.21) считать равной нулю и записать его в виде $m\left(d^{2} z / d t^{2}\right)=0$.
Поэтому, задав начальные условия:
\[
x(0)=0, \quad y(0)=0, \quad z(0)=0,
\]
\[
(d x(0) / d t)=0, \quad(d y(0) / d t)=0, \quad(d z(0) / d t)=v,
\]

для $x(t)$ и $z(t)$ получим следующие выражения:
\[
x(t)=0, \quad z(t)=v t,
\]

а используя формулы
\[
\frac{d y}{d t}=\frac{d y}{d z} \frac{d z}{d t}=\frac{d y}{d z} v, \quad \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\frac{d^{2} y}{d z^{2}} v^{2},
\]

уравнение для $y$ можно переписать в виде
\[
\frac{d^{2} y}{d z^{2}}=\frac{e}{m v} B(z) \text {. }
\]
Решение этого уравнения после двух последовательных интегрирований имеет вид
$y\left(z_{0}\right)=(e / m v) b$,
где
$b=\int_{0}^{z_{0}} d \xi \int_{0}^{\xi} B(\eta) d \eta=\int_{0}^{z_{0}}\left(z_{0}-\eta\right) B(\eta) d \eta$
есть постоянная прибора длиной $z_{0}$, через который пролетает заряженная частица. Эта постояная зависит от копфигурации поля и является известной величиной. Измерив отклонение $y\left(z_{0}\right)$ и зная скорость $v$ движения частицы, можно найти отношение $\mathrm{e} / \mathrm{m}$. Именно таким способом было определено отношение заряда к массе электрона в одном из самых ранних измерений этого отношения.