Отличие законов движения искусственных спутников Земли от законов Кеплера. Движение искусственных спутников Земли не описывается законами Кеплера, что обусловливается двумя причинами:
1) Земля не является точно шаром с однородным распределением плотности по объему. Поэтому ее поле тяготения не эквивалентно полю тяготения точечной массы, расположенной в геометрическом центре Земли;
2) земная атмосфера оказывает тормозящее действие на движение искусственных спутников, вследствие чего их орбита меняет свою форму и размеры и в конечном результате спутники падают на Землю.

По отклонению движения спутников от кеплеровского можно вывести заключение о форме Земли, распределении плотности по ее объему, строении земной атмосферы. Поэтому именно изучение движения искусственных спутников позволило получить наиболее полные данные по этим вопросам. Кратко остановимся на них.

Проблема запуска искусственных спутников рассмотрена в главе о движении тел переменной массы.

Tрасса спутника. Если бы Земля была однородным шаром и не существовало атмосферы, то спутник двигался бы по орбите, плоскость которой сохраняет неизменную ориентацию в пространстве относительно системы неподвижных звезд. Элементы орбиты в этом случае определяются законами Кеплера. Поскольку Земля вращается, то при каждом последующем обороте спутник движется над разными точками земной поверхности. Зная трассу спутника за один какойлибо оборот, нетрудно предсказать его положение во все последующие моменты времени. Для этого необходимо учесть, что Земля вращается с запада на восток с угловой скоростью примерно ${15}^{\circ }$ в час. Поэтому на последующем обороте спутник пересекает ту же широту западнее на столько градусов, на сколько Земля повернется на восток за период вращения спутника (рис. 69).
Изменение трассы спутника вследствие вращения Земли и отклонения ее формы от шарообразной
Стрелка вдоль экветора вправо показывает маправение диижения точек земной поверхности из-за е- рращения округ оси. Стрелка влево (но запад) имеет двоякий смысл: она показыват смещение трассы спутника на запад и направление вращения плоскости его орбиты вокруг осп вращения Земли

Ввиду того, что плосность вращения спутнина почти неизменна относительно неподвижных звезд, а Земля вращается, то через один оборот спутнин пересечет неноторую финсированную широту западнее настольно, наснольно за один оборот точна земной поверхности на этой широте за счет вращения Земли переместится относительно неподвинных звезд в восточном направлении.
Из-за сопротивления земной атмосферы спутники не могут длительно двигаться на высотах ниже 160 км. Минимальный период обращения на такой высоте по круговой орбите равен примерно 88 мин, т.е. около полутора часов. За это время Земля поворачивается примерно на $22,5^{\circ }$. Ha широте ${50}^{\circ }$ этому углу соответствует расстояние в 1400 км. Следовательно, можно сказать, что спутник, период обращения которого $T=$ $=1,5$ ч, на широте ${50}^{\circ }$ будет наблюдаться при каждом последующем оборотө примерно на 1400 км западнее, чем на предыдущем.
Однако такой расчет дает достаточную точность предсказаний лишь для нескольких оборотов спутника. Если речь идет о значительном промежутке времени, то надо принять во внимание движение Земли вокруг Солнда. Поскольку один оборот вокруг Солнца совершается ею за 365 суток, то за одни сутки Земля вокруг Солнда описывает угол примерно в $1^{\circ }$ (точнее, $0,{99}^{\circ }$ ) в том же направлении, в каком вращается вокруг своей оси. Поэтому за 24 ч Земля поворачивается относительно неподвижных звезд не на ${360}^{\circ }$, а на ${361}^{\circ }$, и, следовательно, совершает один оборот не за 24 ч, а за 23 ч 56 мин. Поэтому трасса спутника по широте смещается на запад не на ${15}^{\circ }$ в час, а на $(15+1/24{)}^{\circ }$. Эта пошравка за несколько суток составляет несколько градусов.
Если бы Земля была однородным шаром и не имела атмосферы, то описанный метод подсчета давал бы возможность весьма точно предсказать положение спутника на длительное время вперед. Однако отличие формы Земли от шарообразной и неоднородность ее плотности, а также наличие атмосферы существенно изменяют характер движения спутников.
Форма Земли. Уже давно стало ясно, что форма Земли отличается от шарообразной. Первую численную оденку величины этого отклонения дал Ньютон, пользуясь законом всемирного тяготения. Идея расчета Ньютона была проста. Представим себе канал, идущий от полюса к центру Земли и оттуда по радиусу к одной из точек экватора. Ясно, что давление в каждом из каналов в центре Земли должно быть одинаковым. Вследствие вращения Земли вес некоторого элемента столба жидкости в канале, идущем к экватору, будет меньше веса соответствующего элемента столба жидкости на таком же расстоянии от дентра Земли в канале, идущем к полюсу. Поэтому для равенства давлений в центре Земли необходимо допустить, что канал, идущий к экватору, должен быть длиннее. Это означает, что Земля не является паром, а сплющена со стороны полюсов. Величина сжатия $f$ определяется формулой
$$f=(D_{\text{э }}-D_{п})/D_3,$$

где $D_9$ — экваториальный, $D_{п}$ — полярный диаметр Земли.
Проделав вычисления с учетом только что изложенных соображений, Ньютоп получил значение $f=1/298$. (Рекомендуется в качестве упражнения проделать эти вычисления.) Результаты его расчета были опубликованы в 1687 г. В течение всего последующего времени вплоть до настоящих дней сплющенность Земли изучалась экспериментально различными методами. Результаты находились вблизи значения, данного Ньютоном, хотя и несколько отличались. Наиболее широко принятой оценкой сжатия Земли к моменту запуска первых спутников была величина $1/297,1$. Наблюдения за движением спутников позволили получить значение этой величины с гораздо большей точностью и надежностью в сравнении с изложенными методами и существенно изменили только что указанную оценку.

Идея заключается в следующем. Если форма Земли отличается от шарообразной, то ее поле тяготения не сводится к полю тяготения материальной точки, помещенной в центре Земли. Если полагать форму Земли известной, то можно рассчитать поле тяготения и траекторию спутника. Эти вычисления в настоящее время проводятся только с помощью ЭВМ. Нам достаточно описать лишь результат. Если учесть сплющенность Земли, то плоскость орбиты уже не сохраняет неизменного положения относительно неподвижных звезд. Она поворачивается вокруг земной оси в направлении, противоположном вращению спутника. Например, если спутник движется вокруг земной оси в восточном направлении (см. рис. 69), то плоскость орбиты вращается в западном направлении. Если, не изменяя плоскости орбиты спутника, изменить направление его вращения на обратное, то и вращение плоскости орбиты изменится на обратное. Угол $i$ между плоскостями орбиты и экватора (рис. 69) остается постоянным. Если плоскость орбиты спутника проходит через ось вращения Земли, т. е. орбита является строго полярной, то она сохраняет свое положение относительно неподвижных звезд. Скорость вращения плоскости орбиты зависит от степени сжатия Земли
(2)
70.
Форма первых гармоник, характеризующих отклонение земной поверхности от сферической
и элементов орбиты. Поэтому, измерив элементы орбиты и скорость вращения ее плоскости, можно вычислить сжатие Земли.
Кроме вращения плоскости орбиты сжатие Земли приводит также к другому эффекту: перигелий орбиты вращается в ее плоскости и вследствие этого перемещается из северного полушария в южное и наоборот. Скорость вращения перигелия зависит от сжатия Земли и угла наклона орбиты. Измерение скорости вращения перигелия также позволило найти численную оценку сжатия Земли, которая согласуется с оценкой сжатия по вращению плоскости орбиты.
Измерения скоростөй поворота плоскостей орбит первых спутников привели к выводу, что сжатие Земли заключено между $1/298,2$ и $1/298,3$. Это означает, что экваториальный радиус Земли больше полярного на $42,77\mathrm{km}$, а не на $42,94\mathrm{km}$, как это получалось по существовавшей до этого оценке. Таким образом, форма Земли была уточнена на 170 м, что весьма существенно, поскольку геодезические измерения поверхности Земли проводились в то время с точностью до $10\mathrm{m}$.
Однако сжатие Земли не является ее единственным отклонением от шарообразной формы. Полное отклонение от шарообразности может быть математически представлено в виде суммы различных регулярных отклонений, называемых гармониками. Сжатие относится ко второй гармонике. Третьей гармоникой является грушевидность, четвертой — квадратообразность и т. д. На рис. 70 показано несколько первых гармоник, сумма которых определяет реальную форму Земли. Можно подсчитать, какие изменения в орбиту спутника вносит каждая из гармоник, и по результатам наблюдений судить о роли каждой из них в образовании формы Земли.
Третья гармоника, характеризующая грушевидность Земли, обусловливает изменение расстояния от перигелия до центра Земли в зависимости от того, в каком полушарии находится перигелий. При перемещении перигелия из одного полушария в другое его расстояние от центра Земли изменяется. Изучение орбит спутников показало, что грушевидность Земли составляет около 40 м с вытянутостью в сторону северного полюса. Это означает, что поверхность воды океана на северном полюсе на 40 м дальше от плосскости экватора, чем уровень моря в Антарктиде, находящегося примерно под трехкилометровым слоем льда.

Дают свой вклад в изменение элементов орбиты спутника также и следующие гармоники. Их учет позволил с большой точностью определить форму Земли. Ее наиболее существенные особенности сводятся к сжатию и грушевидной асимметрии между северным и южным полушариями.

Следующим важным результатом наблюдений за движением спутников явилось установление формы экватора. Уже до запуска спутников имелись указания на то, что лииия экватора не является точной окружностью. Они основывались на том факте, что сила тяготения немного меняется с долготой. Но это не приводит к существенным изменениям орбит спутников, потому что вследствие вращения Земли спутник проходит над всеми долготами и изменения силы тяготения по долготе усредняются. Однако это усреднение происходит посредством нөбольших ежедневных колебаний полокения спутников вдоль их траектории с амплитудой в несколько сотен метров. По этим колебаниям можно сделать заключение об изменении силы тяготения по долготе и о форме экватора. В первом приближении экватор похож на эллипс, большая полуось которого направлена от ${20}^{⌟}$западной долготы к ${160}^{\circ }$ восточной, а малая полуось — от ${110}^{\circ }$ западной долготы к ${70}^{\circ }$ восточной. Разница между величинами этих осей равна примерно 140 м. Однако әта картина также лишь приближенная. Дальнейшие уточнения формы экватора были произведены такжее по наблюдениям за движением спутников.

Атмосферное торможение. Вторым фактором, обусловливающим отклонение движения спутников от законов Кеплера, является трение спутников о земную атмосферу. Плотность воздуха с высотой уменышается по экспоненцильному закону, т. е. очень быстро. Тем не менее до высот примерно 160 км плотность воз;уха такова, что не дает возможности спутникам существовать ско:ько-нибудь продолґительное время, поскольку на такой высоте они быстро теряют энергию на торможение и падают на Землю. Чем больше высота спутника, тем более продолжительное время ои сущ ествует.

Общий характер изменения орбиты вследствие торможения состоит в следующем. Наибольшая потеря энергии спутника на торможение происходит в перигелии. Веледствие этого высоты перигелия и афелия уменьшаются, но высота афелия изменяется более значительно, чем перигелия, и поэтому вытянутость орбиты уменьшается. Скорость движения спутника по орбите увеличивается, а период обращения уменьшается. Орбита спутника в некоторых своих частях может оказаться ниже 160 км, тогда потери энергии на торможение становятся весьма значительными и он по быстро приближающейся к Земле траектории падает на Землю. Однако благодаря наличию защитных покрытий спутник не сгорает и можно с помощью парашюта произвести его мягкую посадку на земную поверхность.

Траекторию спутника с учетом изменения плотности атмосферы по высоте можно рассчитать. Поэтому знание траектории позволяет найти распределение плотности атмосферы. Наряду с этим аппаратура, помещенная на спутнике, дает возможность изучить также и многие другие характеристики околоземного пространства.
0 плотности атмосферы судят главным образом по изменению периода обращения спутника. Как уже было сказано, вследствие торможения земной атмосферой период обращения спутника (в соответствии с законами Кеплера) уменьшается, а его скорость увеличивается. Это обстоятельство, конечно, не противоречит закону сохранения энергии. Дөло в том, что полная энергия спутника слагается из положительной кинетической энергии и отрицательной потенциальной, причем полная энергия является отрицательной. Вследствие торможения высота движения спутника уменьшается, при этом его потенциальная энергия, согласно закону сохранения энергии, расходуется на совершение работы против сил трения и увеличение кинетической энергии спутника. По скорости уменьшения периода обращения спутника можно сделать заключение о плотности атмосферы. В настоящеө время имеются очень подробные данные о плотности атмосферы в широком интервале высот и зависимости плотности от различных факторов, полученные с помощью спутников.