Система уравнений. Твердое тело является системой материальных точек, расстояние между которыми постоянно. Поәтому все утверждения и уравнения § 23 , касавшиеся системы материальных точек, справедливы и для твердого тела. Как было отмечено в § 23 , уравнения (23.6) и (23.15), которые здесь необходимо еще раз выписать:
\[
\begin{aligned}
d \mathbf{p} / d t & =\mathbf{F} \\
d \mathbf{N} / d t & =\mathbf{M},
\end{aligned}
\]

не являются в строгом смысле уравнениями движения системы материальных точек. Определить движение системы материальных точек – это значит указать двнжение каждой ее точки. Однако два векторных уравнения (48.1) и (48.2) не дают такой возмокности даяке для двух материальных точек, если только они пе связаны жестко между собой. Чтобы найти движение системы материальных точек, необходимо (48.1) и (48.2) дополнить уравнениями, учитывающимп их взаимодействие. Поэтому уравнення (48.1) и (48.2), строго говоря, не являются замкнутой системой уравнений движения системь материальных точек в произвольном случае.

Замкнутость системы уравнений. Однако для твердого тела как спстемы материальных точек эти уравнения являются замкнутой системой уравнений движения, т. е. с помощью них без каких-либо других дополнительных условнї и уравнений можно полностью найти двнжение твердого тела в заданных внешних силовых полях. Необходимо еще лишь знание начальных условий движения. Чтобы в этом убедиться, стедует вспомнить основные положения кинематики твердого тела, изложеншы в § 10. Ориентировка твердого тела в пространстве полностью определяется направлением осей прямоугольной декартовой системы коордипат, яестко связанной с телом, т. е. направлением единичных векторов $\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{k}^{\prime}$ этой системы коордипат. В ней положение каждой точки тела фиксировано и задается либо радиусом-вектором $\mathbf{r}^{\prime}$ относительно пачала, либо декартовыми коордипатами точки ( $\left.x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$. Поскольку сисгема этих координат жестко связана с телом, координаты каждой его точки имеют в ней постояное значение. Ориентировка этой системы координат относительно инерциальной системы координат, в которой рассматривается движение тела и в которой справедливы уравнения (48.1) и (48.2), полностью определяется тремя углами Эйлера: $\varphi, \theta, \psi$ (см. рис. 19). Положение точки твердого тела, с которой связано начало системы координат (i’, $\mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{k}^{\prime}$ ), задается радиусом-вектором $\mathbf{r}_{0}$ этой точки относительно инерциальной системы координат или декартовыми координатами этой точки ( $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ ). Поэтому положение твердого тела как системы с шестью степенями свободы описывается шестыо величинами ( $\left.\varphi, \theta, \psi, x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$. Скорость каждой точки тела слагается из поступательного движения со скоростью $\mathrm{v}_{0}=d \mathbf{r} / d t$ точки твердого тела, в которой находится начало координат ( $\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{k}^{\prime}$ ), и вращательного с мгновенной угловой скоростью $\boldsymbol{1}$ вокруг оси, проходящей через это начало, и выражается формулой (10.5), которую еще раз необходимо выписать:
\[
v=v_{0}+\left[\omega, r^{\prime}\right] \text {. }
\]

Угловая скорость $\omega$ выражается через производные по времени от углов Эйлера. Следовательно, скорость всех точек твердого тела полностью определяется их полояением и производными по времени от величин, готорые характеризуют положение точек. Отсюда следует, что p, F, N и M, входящие в (48.1) и (48.2), выражаются через те же величины. Уравнения (48.1) и (48.2) в координатах являются шестыо скалярными уравнениями. Таким образом, имеется шесть уравнений для пести величин, характеризующих положение твердого тела, т. е. число уравнений равно числу неизвестных и поэтому (48.1) и (48.2) могут в полном смысле быть названы уравнениями
Вентор момента имэульса твердого тела, занрепленного в некоторой точкө, не совпадает по направлению с вентором угловой снорости. Связь между этими векторами описывается $с$ помощью тензора инерции.
104.

К понятию тензора инерции, характеризующего инерциальные свойства твердого тела
движения твердого тела. При этом надо лишь учесть, что под силами и моментами сил, стоящих в правой части этих уравнений, надо иметь в виду не только обычные силы и моменты обычных сил, но и силы реакций связей, наложенных на твердое тело, и их моменты.
Выбор системы координат. Выбор точки $O^{\prime}$, с которой целесообразно связать систему координат ( $\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{k}^{\prime}$ ), а также ориентировка этой системы относительно тела являются произвольными и диктуются лишь соображениями удобства. Удачный выбор позволяет существенно упростить эти уравнения, и позднее будет сделан для конкретных случаев движения. Один из удачных выборов точки $O^{\prime}$ был уже использован в § 23 – это центр масс. В этом случае (48.1) превращается в уравнение (23.10):
$m\left(d \mathbf{v}_{0} / d t\right)=\mathrm{F}$,
которое называется уравнением движения дентра масс и аналогично уравнению движения материальной точки. (Реакции связей вклютены в F.) Однако не всегда такой выбор точки $O^{\prime}$ в твердом теле является наиболее удачным, как это будет видно из последующего. Поскольку поступательное движение твердого тела не отличается от движения материальной точки, необходимо в первую очередь охарактеризовать вращение твердого тела вокруг оси.