Рассмотрение картины плоского движения упрощается тем обстоятельством, что вектор угловой скорости сохраняет в этом случае постоянное направление в пространстве, перпендикулярное плоскости движения, и не изменяет своей ориентировки относительно тела. При движении твердого тела около одной закрепленной точки все эти упрощающие обстоятельства исчезают: вектор угловой скорости, вообще говоря, изменяет направление в пространстве и свою ориентировку относительно тела, т. е. мгновенная ось вращения меняет свою ориентировку. Удобно рассматривать это движение в системе координат, жестко связанной с телом. Начало координат естественно поместить в точку закрепления тела. Она находится в покое. Получающиеся при этом уравнения движения называются уравнениями Эйлера.

Уравнения Эйлера. Уравнение движения центра масс тела имеет вид
\[
m \frac{d \mathbf{v}_{0}}{d t}=m \frac{d}{d t}\left(\left[\omega, \mathbf{r}_{0}\right]\right)=\mathbf{F},
\]

где $\mathbf{r}_{0}$ – радиус-вектор центра масс тела, проведенный из точки его закрепления. Реакции связей включены в $\mathbf{F}$.

Оси связанной с телом системы координат (i $\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{k}^{\prime}$ ) удобно направить по главным осям инерции. В этом случае тензор инерции сводится к трем своим главным значениям $I_{1}, I_{2}, I_{3}$, а момент импульса приобретает простой вид: $N_{1}=I_{1} \omega_{1}, N_{2}=I_{2} \omega_{2}, N_{3}=I_{3} \omega_{3}$, причем $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ – компоненты угловой скорости относительно движущихся вместе с телом осей координат. В уравнении моментов (48.2) производная $d \mathbf{N} / d t$ вычисляется относительно инерциальной системы координат. Необходимо определить эту величину относительно двияущейся системы координат, жестко связанной с телом.

Пусть некоторый вектор $\mathbf{A}$ задан компонептами относительно системы координат (i’, $\mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{k}^{\prime}$ ):
\[
\mathbf{A}=\mathbf{i}^{\prime} A_{x}^{\prime}+\mathbf{j}^{\prime} A_{y}^{\prime}+\mathbf{k}^{\prime} A_{z}^{\prime} .
\]

С течением времени изменяются компоненты $A_{x}^{\prime}, A_{y}^{\prime}, A_{z}^{\prime}$ относительно движущихся осей координат и ориентировка осей координат относительно инерциальной системы отсчета. Имеем
\[
\frac{d \mathbf{A}}{d t}=\mathbf{i}^{\prime} \frac{d A_{x}^{\prime}}{d t}+\mathbf{j}^{\prime} \frac{d A_{y}^{\prime}}{d t}+\mathbf{k}^{\prime} \frac{d A_{z}^{\prime}}{d t}+\frac{d \mathbf{i}^{\prime}}{d t} A_{x}^{\prime}+\frac{d \mathbf{j}^{\prime}}{d t} A_{y}^{\prime}+\frac{d \mathbf{k}^{\prime}}{d t} A_{z}^{\prime}
\]

Скорость точки вращающегося тела, радиус-вектор которой $\mathbf{r}$, равна $(d \mathbf{r} / d t)=[\omega, \mathbf{r}]$. Аналогично, следя за концом вектора i’, проведенным из точки на осп вращения, находим $\left(d \mathbf{i}^{\prime} / d t\right)=\left[\omega, \mathbf{i}^{\prime}\right]$. Такой жө вид имеют производные от $\mathbf{j}^{\prime}$ и $\mathbf{k}^{\prime}$. Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \mathbf{i}^{\prime}}{d t} A_{x}^{\prime}+\frac{d \mathbf{j}^{\prime}}{d t} A_{y}^{\prime}+\frac{d \mathbf{k}^{\prime}}{d t} A_{z}^{\prime}=\left[\omega, \mathbf{i}^{\prime} A_{x}^{\prime}\right]+\left[\omega, \mathbf{j}^{\prime} A_{!}^{\prime}\right]+\left[\omega, \mathbf{k}^{\prime} A_{z}^{\prime}\right]= \\
=\left[\omega, \mathbf{i}^{\prime} A_{x}^{\prime}+\mathbf{j}^{\prime} A_{y}^{\prime}+\mathbf{k}^{\prime} A_{z}^{\prime}\right]=[\omega, \mathbf{A}] .
\end{array}
\]

Поэтому формула (52.3) может быть записана в виде
\[
\frac{d \mathbf{A}}{d t}=\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+[\boldsymbol{\omega}, \mathbf{A}]
\]

где $(\partial \mathbf{A} / \partial t)=\mathbf{i}^{\prime}\left(d A_{x}^{\prime} / d t\right)+\mathbf{j}^{\prime}\left(d A_{y}^{\prime} / d t\right)+\mathbf{k}^{\prime}\left(d A_{z}^{\prime} / d t\right)$ есть произвогная от $\mathbf{A}$, вычислениая в предиоложении, что оси (i’, $\mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{k}^{\prime}$ ) неповижны. Эта формула справедлива для любых векторов А. Применяя ее к величине $\mathrm{N}_{\text {в }}$ (48.2), можем представить уравнение моментов сіледующим образом:
\[
\frac{\partial \mathrm{N}}{\partial t}+[\omega, \mathrm{N}]=\mathbf{M}
\]

Принимая во внимание, что $N_{x}=I_{x} \omega_{x}, N_{y}-I_{y} \omega_{y}, N_{z}=I_{z} \omega_{z}$, уравнение (52.5) перепишем в компонентах отиосительно движущейся системы координат:
\[
\begin{array}{c}
I_{x} \frac{d \omega_{x}}{d t}+\left(I_{z}-I_{y}\right) \omega_{y} \omega_{z}=M_{x}, \\
I_{y} \frac{d \omega_{y}}{d t}+\left(I_{x}-I_{z}\right) \omega_{z} \omega_{x}=M_{y}, \\
I_{z} \frac{d \omega_{z}}{d t}+\left(I_{y}-I_{x}\right) \omega_{x} \omega_{y}=M_{z} .
\end{array}
\]

Подчеркнем еще раз, что все величины в этом уравнении отнесены к движущимся осям координат, жестко связанным с телом, а штрихи же не проставлены лишь для упрощения написания формул.

Эти уравнения называют уравнениями Эйлера. Они в принципе всегда позволяют определить движение тела, закрепленного в одной точке, хотя практически решение может быть весьма сложным и трудновыполнимым.

Свободные оси. Чтобы уравнения (52.6) полностью описывали движение без использования уравнения (52.1), необходимо за начало системы координат, в которой они написаны, взять центр масс тела и учесть, что момент реакции связей при этом равен нулю. Пусть на тело не действуют никакие силы и поэтому и моменты сил $M_{x}, M_{y}, M_{z}$ равны нулю. Направим оси системы координат, жестко связанной с телом, по центральным главным осям. Следовательно, $I_{x}, I_{y}, I_{z}$ в (52.6) являются центральными главными моментами инерции тела. Вообще говоря, они не равны друг другу. Выясним, какое свободпое двиякение тела возможно.

Из (52.6) сразу следует, что невозможно такое вращение тела, при котором угловая скорость сохраняет свое абсолютное значение и ориентировку относительно тела, но не совпадает по направлению ни с одной из центральных главных осей с разными моментами инерции. Допустим, что это возможно, т. е. что $\omega_{x}=$ const $
eq 0$, $\omega_{y}=$ const $
eq 0, \omega_{z}=$ const $
eq 0$. Тогда из уравнений следует, что должно быть
\[
\left(I_{z}-I_{y}\right) \omega_{y} \omega_{z} \triangleq 0, \quad\left(I_{x}-I_{z}\right) \omega_{z} \omega_{x}=0, \quad\left(I_{y}-I_{x}\right) \omega_{x} \omega_{y}=0 .
\]

Эти соотношения можно одновременно удовлетворить только в том случае, если две компоненты угловой скорости одновременно равны нулю. А это означает, что угловая скорость совпадает по направлению с одной из центральных главных осей. Пусть, например, $\omega_{y}=\omega_{z}=0$. Тогда (52.6a) будут удовлетворены. Угловая скорость направлена вдоль оси $x$, т. е. вдоль центральной главной оси.

Таким образом, свободное вращение твердого тела возможно лишь вокруг центральных главных осей. Эти оси называются свободными. Моменты иерции относительно этих осей, вообще говоря, различны. Можно доказать, что вращение тела будет устойчивым
Ось, совпадающая с вектором угловой скорости, в данном случае не является свободной, потому что в системе координат, связанной с телом, имеются центробежные силы инерции, стремящиеся изменить направление этой оси в пространстве

Осями устойчивого свободного вращения твердого тела являются лишь главные центральные оси тензора инерции с мансимальным и минимальным значениями момента инерции. Вращение вонруг главной центральной оси со средним моментом неустойчиво.
только относительно центральной главной оси с максимальным или минимальным моментом инерции. Вращение вокруг центральной главной оси со средним моментом инерции неустойчиво. При небольшом случайном отклонении оси вращения от этого направления возникают силы, увеличивающие отклонение. Это обстоятельство можно наглядно продемонстрировать на таком опыте. У тела в виде прямоугольного параллелепипеда центральными главными осями являются три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его геометрический центр параллельно сторонам. Параллелепипед имеет наибольшие и наименьшие моменты инерции относительно осей, параллельных его самой длинной и самой короткой сторонам. Если его подбросить с одновременным вращением вокруг одной из этих осей, то двияение происходит устойчиво с сохранениен направления оси вращения. Если же его вращать вокруг оси, параллельной средней стороне, то устойчивого движения не получается и тело начинает беспорядочно кувыркаться.
Чтобы наглядно представить, почему свободные оси должиы совпадать с центральными главными осями, возьмем тело в виде гантели. Проведем ось вращения в направлении, не совпадающем ни с одним из центральных главных направлений, например таком, которое указано на рис. 112.
Вопрос о силах инерции в неинерциальных системах координат подробно рассмотрен в гл. 14. Здесь нам достаточно отметить лишь хорошо известиый факт существования центробежных сил инерции. Ясно, что при вращении иродогьная ось тела под действием этих сил стремится изменить свое направление в пространстве и занять положіение, ноказанное на рис. 112 пуиктиром. В этом положении вращение является устойчивым, и а совпадает с паправлением центральной главной оси, относительно которой
К объяснению нутации
Ось өрощения, ьектор углоеой скорасти $\omega$ и sектор $N$ полного момента импульсо пежот одной ппоскости, өращающейся со скоростью нутеции sохруг последиего

тело обладает максимальным моментом инерции.

Нутация. Представим себе тело, которое обладает аксиальной симметрией относительно некоторой оси, т.е. является телом вращения (рис. 113). Ясно, что одна из центральных главных осей совпадает с осью симметрии, а две другие перпендикулярны ей. Ось $x$ направим вдоль оси симметрии, а осй $y$ и $z$ вдоль двух других центральных главных осей. Из условий симметрии следует, что $I_{x}=I_{1}, \quad I_{y}=I_{z}=I_{2}$. Уравнения (52.6) имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
I_{1} \frac{d \omega_{x}}{d t}=0 \\
I_{2} \frac{d \omega_{y}}{d t}+\left(I_{1}-I_{2}\right) \omega_{z} \omega_{x}=0 \\
I_{2} \frac{d \omega_{z}}{d t}+\left(I_{2}-I_{1}\right) \omega_{x} \omega_{y}=0
\end{array}
\]

Прежде всего из этих уравнений видно, что возможно движение, при котором $\omega_{x}=\omega_{1}=$ const, $\omega_{y}=\omega_{z}=0$, т. е. вращение вокруг оси симметрии тела с постоянной скоростью. Однако это не единственная возможность. Запитем второе и третье уравнения при условии $\omega_{x}=$ $=\omega_{1}=$ const в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
d \omega_{y} / d t+\gamma \omega_{z}=0, \\
d \omega_{z} / d t-\gamma \omega_{y}=0,
\end{array}
\]
!
При вращении вонруг свободных осей не вознинает сил, стремящихся изменить направление оси вращения или сместить ее параллельно самой себе в теле.

Нутацией называется движение оси вокруг вектора полного момента илпульса.
11 Механика и теория относительности где $\gamma=\left(I_{1}-I_{2}\right) \omega_{1} / I_{2}$. Эти уравнения имеют решение:
$\omega_{y}=A \cos \gamma t, \quad \omega_{z}=A \sin \gamma t$.
Вектор угловой скорости $\omega_{\perp}=\mathrm{j} \omega_{y}+\mathrm{k} \omega_{z}$, лежащий в плоскости $(y, z)$, вращается вокруг начала с круговой частотой $\gamma$. Полная угловая скорость
\[
\omega=\mathbf{i} \omega_{1}+\omega_{\perp} \text {. }
\]

Этот суммарный вектор движется вокруг оси $x$ по поверхности конуса с углом $\alpha$ при вершине ( $\operatorname{tg} \alpha=\omega_{1} / \omega_{1}$ ), т. е. угловая скорость вращения тела не совпадает с осью симметрии тела – осью $x$. Ось симметрии в свою очередь не остается неподвижной в пространстве. Она движется по поверхности конуса, ось которого неподвижна в пространстве, и совпадает с вектором полногомомента импульса $\mathrm{N}$, причем угловая скорость этого движения также равна $\gamma$. Следовательно, полное движение таково: плоскость, в ковращается с угловой скоростью $\gamma$ вокруг вектора $\mathrm{N}$, причем относительное положение вектора $\omega$ и оси симметрии при этом не меняется. Это движение оси симметрии тела вокруг неподвижного в пространстве вектора полного момента импульса $\mathbf{N}$ называется нутацией, $\gamma$ – скоростью нутации. При таком движении вектор $\omega$ вращается вокруг оси симметрии с той же скоростью $\gamma$, как это было описано выше. Амплитуда нутации зависит от причин (начальных условий), которые ее вызвали. Но частота ее определяется только моментами инерции и угловой скоростью вращения вокруг оси симметрии. Тело может вращаться и без нутации, если его угловая скорость направлена строго по оси симметрии.

К телам вращения относится также шар. У него $I_{x}=I_{y}=I_{2}$ и поэтому $\gamma=0$. Это означает, что у шара ось вращения всегда в отсутствие внешних сил сохраняет фиксированное положение относительно тела и никакой нутации быть не может. Это обусловлено тем, что любая осъ, проведенная через центр шара, является центральной главной осью инерции. Однако если шар неоднороден, то нутация у него может быть. В частности, наблюдается нутация оси вращения Земли. Это доказывает, что земной шар нельзя рассматривать как однородный.

Для Земли моменты инерции относительно осей, лежащих в экваториальной плоскости, можно считать равными друг другу. В формулах (52.7) и (52.8) ось $x$ считаем направленной вдоль оси вращения Земли. С учетом этого скорость нутации $\gamma$, как и в (52.8), равна $\gamma=$ $=\left(I_{1}-I_{2}\right) \omega_{1} / I_{2}$.Из измерений моментов инерции для Земли получено $\left(I_{1}-I_{2}\right) / I_{2} \approx 1 / 300$. Это означает, что период нутации земной оси должен быть примерно 300 дней, т. е. в течение 300 дней ось вращения совернает один оборот по поверхности конуса вокруг оси симметрии Земли. Эта ось находится из геодезических измерений,
а ось вращения – по наблюдению движения звезд. Она проходит через центр окружностей, которые описываются звездами в течение суток. Однако наблюдаемое движение значительно сложнее. Прежде всего оно нерегулярно, на него сильно влияют землетрясения и сезопные изменения, происходящие на поверхности Земли. Строго говоря, именно этими причинами обусловлена нутация оси вращения Земли, потому что в противном случае из-за потерь энергии на преодоление вязкости ось вращения была бы совмещена с осью симметрии и никакой нутации не удалось бы наблюдать. В действительности период нутации равен примерно 440 дням, что обусловлено, по-видимому, неабсолютной жесткостью Земли. Максимальное расстояние точки земной поверхности, через которую проходит ось вращения, от точки, через которую проходит ось симметрии, на северном полюсе не превышает 5 м.

Гироскопы. Аксиально симметричное тело, приведенное в очень быстрое вращевие вокруг своей оси симметрии, называется гироскопом. Примерами его могут служить волчок, диск, быстро вращающийся вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно поверхности. Гироскопом является также тело вращения, изображенное на рис. 113 , при условии, что угловая скорость $\omega_{1}$ достаточно велика.

Прецесеия гироскопа. Предположим, что гироскоп закреплен в точке центра масс, но его ось может свободно поворачиваться в любом направлении. Такое закрепление осуществляют с помощью карданного подвеса (рис. 114), обеспечивающего свободное изменение ориентации оси гироскопа в трех взаимно перпендикулярных направлениях. На рисунках нет необходимости изображать карданный подвес (см. рис. 115). Пусть к гироскопу приложен момент внешних сил. Гироскоп вращается вокруг своей оси с очень большой угловой скоростью $\omega$, поэтому возможная нутация его оси вращения по поверхности конуса вокруг геометрической оси (см. рис. 113) очень мала. При рассмотрении движения оси гироскопа под действием момента внешних сил ею можно пренебречь. Поэтому будем считать, что ось вращения все время совшадает с осью симметрии гироскопа и момент импульса $\mathbf{N}=I \omega$. Ось вращения совпадает с центральной главной осью инерции гироскопа, причем она выбирается так, чтобы быть устойчивой. Вокруг этой оси осуществляется свободное устойчивое вращение. Это направление осй устойчивого вращения сохраняется. Например, если, взявшись за основание карданного подвеса, изменять произвольным образом его ориентировку, то шарниры будут вращаться таким образом, чтобы ось сохраняла неизменное направление в пространстве. Поэтому если кардан укреплен на каком-либо теле, например на ракете, то при произвольном движении ракеты ось сохраняет неизменное нашравление в пространстве относительно системы неподвижных звезд. Находясь на ракете, в любой момент можно определить ее ориентировку в пространстве, зная положение ракеты относительно

Карданный подвес обеспечивает беспрепятственное изменение взаимной ориентировки тела и подвеса, с которым оно связано
!
Прецессией называөтся дөижение оси гироснопа под действием внешнего момента сил, приложенных к ней.
оси. Это обстоятельство делает гироскоп важнейшим навигационным инструментом при полете ракет. Он является также главным элементом автопилота – устройства, которое обеспечивает автоматическое управление полетом самолета. Известны также многие другие его применения. 0 некоторых из вих будет сказано позднее.
Допустим, что точка подвеса гироскопа не совпадает точно с его центром масс. Тогда при ускоренном движении кардана под действием сил инерции к оси гироскопа прилагается момент сил. Если кардан установлен на земле, то сила тяжести также создает момент сил, приложенных к оси гироскопа. При наличии момента сил эта ось начинает двигаться и изменяет свое направление в пространстве. Это движение под действием момента внешних сил называется прецессией гироскопа.
Направление и скорость прецессии. Основное свойство гироскопа, которое объясняет его поведение под действием сил, состоит в том, что вектор момента импульса $\mathbf{N}$ примерно совпадает с вектором угловой скорости $\omega$, направленным примерно вдоль центральной главной оси гироскопа, вокруг которой происходит вращение. Строго говоря, эти три вектора не совпадают. Однако отклонения от совпадения очень малы и ими будем пренебрегать. Поэтому будем считать, что вектор $\mathbf{N}=I \omega$ всегда совпадает с центральной главной осью гироскопа. Такое совпадение обеспечивается гироскопическими силами. Их природа будет выяснена в гл. 14. Здесь же заметим лишь, что они обусловлены так называемыми кориолисовыми силами.
К гироскопу удобно применить уравнение моментов
$d \mathbf{N} / d t=\mathbf{M}$,
поскольку изменение $\mathrm{N}$ описывает непосредственно движение его оси. Зная $M$, всегда можно определить направление движения оси по соотношению $d \mathbf{N}=\mathbf{M} d t$. На рис. 115 ось гироскопа расположена горизонтально, а сила $F$ создает момент $M=l F$, перпендикулярный плоскости чөртежа. Если бы гироскоп не находился в быстром вращении, то под действием силы $\mathbf{F}$ его ось должна была бы наклониться вправо. Но наличие вращения полностью изменяет результат действия силы. Поскольку $d \mathrm{~N}=\mathrm{M} d t$, конец оси начнет двигаться в горизонтальной плоскости. Если при этом $F$ сохраняет постоянное значение (например, если $\mathbf{F}$ создается грузом, подвешенным к гироскопу на некотором расстоянии от точки опоры), то движение конца происходит с постоянной угловой скоростью $\Omega$. Ось гироскопа вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку опоры гироскопа, с угловой скоростью прецессии. В результате прецессии полная скорость вращения $\omega+\Omega$ не совнадает с осью гироскопа. Однако, ввиду того что $\omega \gg \Omega$, это несовпадение незначительно, и по-прежнему, несмотря на наличие предессии, можно считать, что угловая скорость быстрого вращения все время совпадает с осью гироскопа и с моментом импульса $\mathbf{N}$.
115.
Прецессия гироскопа
Ось быстрого еращения гироскопа, пектор угловой скорости $\omega$ и момент импульса $\mathrm{N}$ считеем совпадающими
116.
Вектор $N$ изменяется лишь по направлению, его абсолютное значение сохраняетcя
Период гироскопического маятника характеризует способность его оси вращения сохранять неизменное направление в пространстве при действии на него момента внешних сил.
117.

Гироскопический маятник
Угловая скорость вращения легко может быть вычислена. На рис. 116 изображен ход прецессии гироскопа в горизонтальной плоскости. Точка $O$ есть след оси прецессии. Очевидно, что $d N=$ $=M d t=N d \varphi$. Отсюда согласно определению находим угловую скорость:
\[
\Omega=\frac{d \varphi}{d t}=\frac{M}{N}=\frac{M}{I \omega} .
\]

Характерной особенностью прецессии является то, что она не имеет «инерции» – прецессионное движение прекращается в момент прекращения действия момента сил, как это видно непосредственно из (52.11). Поэтому ее поведение аналогично не скорости, а ускорению, потому что ускорение прекращается одновременно с прекращением действия силы.

Гироскопический маятник. Рассмотрим случай, когда ось гироскопа закрешлена в одной точке и подвешена за нить на ее конце (рис. 117; ср. с рис. 115). Кроме того, в этом случае ось расположена не горизонтально, а под углом $\alpha$ к вер-
тикали. Непосредственно видно, что $M=m g l \sin \alpha, d N=$ $=N \sin \alpha d \varphi=m g l \sin \alpha d t$ и, следовательно, $\Omega=(d \varphi / d t)=(m g l / N)$. Таким образом, угловая скорость не зависит от угла наклона оси гироскопа к вертикали. Это связано с тем, что при изменении угла изменяются одновременно момент силы и расстояние в горизонтальной плоскости от оси вращения до конца вектора N. Независимость скорости прецессии такого гироскопа от угла наклона его оси дало повод назвать его гироскопическим маятником. Период обращения этого маятника $T=2 \pi / \Omega=2 \pi I \omega / \mathrm{mgl}$ при достаточно больших значениях момента инерции $I$ и угловой скорости вращения $\omega$ и малой величине $l$ может быть очень большим и составлять минуты и даже часы. Математический маятник с таким большим периодом имел бы громадную длину. Длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду прецессии гироскопического маятника, называется приведенной длиной гироскопического маятника. Поскольку период математического маятника с длиной $l_{0}$ равен $T=2 \pi \sqrt{l_{0} / g}$, приведенная длина рассмотренного гироскопического маятника равна $l_{0}=g(I \omega / m g l)$, т. е. при достаточно больших $I \omega$ и малых $l$ может быть действительно очень большой.

Яйцеобразный волчок. Если волчок опирается на подставку очень острым концом, то его ось прецессирует, двигаясь по поверхности конуса, как это было только что рассмотрено. Это гироскошический маятник, но точка его ошоры находится ниже центра массы.

Если же волчок опирается на достаточно щирокий конец, так что нельзя считать, что он соприкасается с поверхностью в одной точке на оси вращения, явление значительно усложняется. Если волчок имеет яйцеобразную форму и при вращении опирается на поверхности своим более острым концом, то его ось стремится принять вертикальное положение, а при опоре на более тупой конец ось сначала опускается до горизонтального положения, а затем принимает вертикальное положение, но таким образом, чтобы вращение волчка продолжалось уже на более остром конце.

Такое поведение обусловливается действием сил трения (см. гл. 12), которые создают момент, вызывающий движение оси волчка в вертикальной плоскости. Пусть на гироскопический маятник действуют некоторые факторы, которые стремятся увеличить скорость его прецессии, например сила $\mathbf{F}$, приложенная к оси в направлении ее прецессии (рис. $118, a$ ). Нетрудно видеть, что эта сила создает относительно точки закрепления гироскопа момент $\mathbf{M}$, направленный вверх, который и вызовет подъем оси гироскопа. Из аналогичного рассмотрения можно заключить, что факторы, приводящие к уменьшению скорости прецессии, приводят к опусканию оси.

Применим эти соображения к движению яйцеобразных волчков. На рис. 118,6 , в изображен такой волчок, движущийся на остром и тупом кощах. Соприкасаясь с поверхностью стола не по оси

Подъем и опускание оси яйцеобразного волчка
вращения, волчок начинает катиться по столу благодаря наличию сил трения в точке соприкосновения со столом. Непосредственно видно на рис. 118,6 , что это качение приводит к дополнительному движению оси вращения в том же направлении, в каком она движется из-за прецессии, скорость прецессии при этом увеличивается и, следовательно, ось гироскопа будет подниматься. В случае на рис. 118, в картина двиэкения волчкаяйца изменяется. Здесь центр масс находится по другую сторону от вертикали в точке качения, а направление вращения гироскопа (т. е. направление N) то же самое. Прецессия изменяется на обратную. Однако качение в этом случае вызывает дополнительное движение оси против направления прецессии, вследствие чего ось гироскопа будет опускаться.
К этим заключениям можно прийти также и непосредственно, рассматривая момент сил трения относительно центра масс волчка. В обоих случаях сила трения направлена перпендикулярно чертежу к нам (рис. 118, 6, в). При движении на остром конце центр масс волчка находится справа от вертикали, проведенной через точку соприкосновения волчка со столом. Следовательно, момент силы трения относительно центра масс направлен так, что стремится повернуть вектор $\mathbf{N}$ к вертикали. Благодаря этому волчок стремится стать на острый конец. При движении на тупом конце центр масс волчка находится слева от вертикали, проведенной через точку соприкосновения волчка со столом. В этом случае момент силы трения относительно центра масс направлен так, что стремится повернуть вектор $\mathbf{N}$ к горизонтали.
Практически яйцеобразный волчок может устойчиво двигаться только при соприкосновении со столом острым кондом. При соприкосновении тупым концом волчок движется неустойчиво и быстро становится на острый конец. Искусные демонстраторы на лекциях очень красиво делают такого рода эксперименты.

Несвободный гироскоп. При закреплении только одной точки ось гироскопа может двигаться в любых направлениях. Поэтому такой гироскоп называют свободным. Если ось гироскопа закреплена в двух точках, то движения ее ограничены. Пусть, например, ось закрешлена так, как показано на рис. 119 ; она может свободно вращаться в горизонтальной плоскости, но не может двигаться в вертикальной. Такой гироскоп называется несвободным. Движение несвободного гироскопа коренным образом отличается от движения свободного при том же самом моменте сил. Для анализа движения оси несвободного гироскопа необходимо принять во внимание момент, создаваемый силами реакции опоры в точках закрепления оси.

Если сила F горизонтальна (рис. 119), то она создает момент $\mathbf{M}$, направленный вверх. Если бы гироскоп был свободным, под действием этого момента правый конец гироскопа должен подняться. Однако точки закрепления мешают этому. С их стороны на ось действуют силы реакции $\mathbf{F}_{p_{1}}$ и $\mathbf{F}_{\text {p2 }}$, которые создают мо-
?
1 Что такое оси свободного вращения! Какие из них устойчивы
2 В чем состоит нутация! Or чего зависит скорость нутации? Почему однородный шар не может иметь нутационного движения!
3 Можете ли Вы нарисовать примерно картину, на которой полный момент импупьса, мгновенная yгповая скорость и ось симметрии пежат в одной ппоскости, вращающейся со скоростью нутации вокруг вектора полного момента импупьса! Что такое прецессия гироскопаl Чем прецессия отличаетея or нутации!

Прецессия магнитного момента в магнитном поле
?
При каких уеловиях можно считать, что вектор момента импульса гироскопа, мгновенная угповая скорость вращения и ось симметрии совпадают?
2 Как уетроен карданный подвес! Какие применения гироскопов Вы знаете!
От чего зависит скорость прецессии?
Можете пи Вы объяснить особенности поведения яйцеобразного волчка! Почему его ось меняет угоп наклона к горизонту! Почему несвободный гироскоп становится єпоспушными!
мент $\mathbf{M}_{p}$, перпендикулярный плоскости чертежа. Под действием этого момента правый конец оси гироскопа движется в горизонтальной плоскости в направлении первоначальной силы $F$. Поэтому несвободный гироскоп является послушным: его ось поворачивается туда, куда ее стремится повернуть внешняя сила. У свободного же гироскопа ось поворачивается в плоскости, перпендикулярной силе.
Ларморова прецессия. Электроны, движущиеся в атоме, аналогичны замкнутым точкам. Благодаря их движению возникает магнитный момент атома. C другой стороны, электроны обладают массой и вследствие их движения вокруг ядра возникает момент импульса атома. Marнитные и механические моменты, обусловленные движением электронов в атоме, называются орбитальными. Кроме того, как это уже было сказано ранее, каждый электрон обладает спином – собственным моментом импульса и соответствующим собственным магнитным моментом. Полный момент импульса атома является суммой орбитальных моментов и спинов всех электронов. Аналогично, полный магнитный момент атома равен сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов всех его электронов. Вообще говоря, полный магнитный момент атома не параллелен его полному моменту импульса. Однако спины электронов в атоме стремятся максимально компенсировать друг друга и поэтому в первом приближении не будем принимать во внимание собственные магнитные моменты и спины электронов. Тогда полный момент импульса атома $\mathbf{N}$ равен сумме орбитальных моментов импульса электронов, а его полный магнитный момент $\mu$ – сумме орбитальных магнитных моментов электронов. В этом случае векторы $\mathrm{N}$ и $\mu$ параллельны друг другу и соотношение между ними может быть представлено в виде
\[
\mu=g \mathbf{N},
\]

где $g$ – коэффициент пропорциональности. В теории магнетизма доказывается, что на магнитный момент $\mu$ в магнитном поле индукции В действует момент сил $\mathbf{M}=[\mu, \mathbf{B}]$. Следовательно, для движения механического момента атома в магнитном поле уравнение (52.11) принимает вид
\[
d \mathbf{N} / d t=g[\mathbf{N}, \mathbf{B}]=-g[\mathbf{B}, \mathbf{N}] .
\]

Его сравнение с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося около оси со скоростью $\omega$ :
\[
\mathbf{v}=d \mathbf{r} / d t=[\omega, \mathbf{r}],
\]

показывает, что вектор $\mathrm{N}$ движется вокруг направления магнитного поля с угловой скоростью $\omega=-\mathrm{gB}$ (рис. 120). Это движение называется ларморовой прецессией, названной так по имени ученого Лармора, выяснившего физическое значение этой прецессии. Она имеет важное значение в теории магнетизма. С ее помощью объясняется явление диамагнетизма.